Rekursio

Ääretön heijastus esimerkkinä rekursiosta : Henkilö istuu peilin kanssa, jota pidetään suuremman seinäpeilin edessä. Seuraava peilikuva sisältää itsensä osana.

Kuten rekursio ( Latinalaisen recurrere 'käynnissä takaisin ) periaatteena on ääretön prosessi, joka itsessään sisältää osana tai käyttämällä itse määriteltävissä kutsutaan. Yleensä rekursiiviset prosessit voidaan kuvata suhteellisen lyhyesti tai ne voidaan käynnistää suhteellisen lyhyellä käskyllä. Osittaisprosessit tai peräkkäin luodut objektit eivät ole toisistaan riippumattomia rekursiotapauksissa, mutta jokaisen vaihe- tai objektiparin välillä on erityinen, rekursiivinen suhde.

"Termi [rekursio] on hyvin laaja." Luonnossa se on usein havaittavissa oleva prosessi (esim. Kasvien kasvun aikana ). Se syntyy uudelleen monilla kulttuurialueilla , esimerkiksi kuvataiteella , missä ilmiö kutsutaan mise en abyme . Rekursio on yhteinen nimitys on matematiikan ja tietojenkäsittelytieteen .

Rekursio on myös ongelmanratkaisustrategia. Monimutkaiset kysymykset voidaan usein käsitellä erittäin tyylikkäästi rekursiivisesti muotoiltujen sääntöjen avulla. Perusperiaatteena on sitten supistaa yleinen tehtävä saman luokan yksinkertaisemmaksi tehtäväksi. Se sisältää Käytetään myös ns. Rekursiivisessa ohjelmoinnissa : Rekursion luomiseksi menettelyn , toiminnon tai menetelmän on vain kutsuttava itseään . Tämä prosessi jatkuu, kunnes ohjelmassa oleva keskeytysolosuhde tulee voimaan.

Matematiikassa rekursiivista formulointia käytetään etuna selittämään toimintoja (katso rekursiivinen määritelmä ).

Johdantoesimerkkejä rekursiosta

Rekursiivinen grafiikka

Pythagoras-puu

Pythagoras-puun "itäminen"

Rekursiivisia sääntöjä voidaan käyttää myös grafiikan luomisessa, mikä johtaa ns. Fraktaaleihin - esteettisesti miellyttäviin, luonnollisen näköisiin rakenteisiin. Yksi esimerkki on Pythagoras-puu . Se syntyy seuraavan säännön mukaisesti (kolmas vaihe näyttää rekursiota):

Rakenna neliö tietylle perustasolle .
Piirrä yläosaan kolmio, jolla on tietyt kulmat ja korkeus.
Levitä edellä mainitut kaksi vaihetta uudestaan uuden luodun kolmion kahteen vapaaseen sivuun.

Tämä algoritmi avautuu sitten määrättyyn rekursiosyvyyteen : Jos se ajetaan kerran läpi, luodaan kolmio, jonka molemmilla puolilla on neliö. Näyttää siltä, että kuva on Pythagoraan lause - tästä nimi. Mitä suurempi rekursiosyvyys, sitä enemmän rakenne muistuttaa puuta.

Voit ohittaa yllä olevan kuvauksen kaksi ensimmäistä vaihetta ja aloittaa rekursiivisen prosessin Pythagoraan lauseen kuvauksella:

Tämän kuvan avulla voit luoda vielä kaksi samanlaista kuvaa, joista jokaisella on suuri neliö, joka on identtinen edellisen kuvan kahden pienen neliön kanssa .
Luo samalla menettelyllä kaksi samanlaista kuvaa jne. Kustakin ensimmäisessä vaiheessa luotusta kuvasta.

Rekursio kieliopissa

Kielioppi luonnollista kieltä käytetään kielitieteen muun muassa. kuvataan ns. lauseen rakennesääntöjen avulla . Useimmat kielitieteilijät uskovat, että kaikilla ihmiskielillä on ominaisuus olla rekursiivisia (toisin kuin eläinkunnan signaalijärjestelmät). Tämä johtuu siitä, että luokalla merkityn kielioppiyksikön hajotessa sama luokka voi esiintyä uudelleen. Eräs esimerkki on ilmiö sivulauseet , joka on kuvattu tässä seuraavat yksinkertaistetun tuotannon sääntö:

S → NP VP (lause koostuu substantiivilauseesta (aiheena) ja verbilauseesta )
VP → V NP * (verbilause koostuu verbistä ja nollasta moniin substantiivilauseisiin verbiobjekteina)
VP → VS (verbilause koostuu verbistä ja toissijaisesta lauseesta verbiobjektina)

Tämän kieliopin avulla voit valita, kirjoitetaanko "VP" säännöllä 2 vai 3. Siinä tapauksessa, että vaiheet 1 ja 3 kutsutaan, saadaan rekursio: Symboli S näkyy säännön 3 tulona, mikä puolestaan edustaa säännön 1 alkua.

Rekursio matematiikassa

Rekursiolla on tärkeä rooli matematiikassa, esimerkiksi funktioiden rekursiivisessa määrittelyssä . Kerroin- ja Fibonacci-sekvenssin laskenta on esitetty alla esimerkkinä . Matematiikassa rekursiomenetelmät ja rekursiiviset määritelmät eivät kuitenkaan rajoitu luonnollisten lukujen funktioihin.

Henkilöstö

Funktio kertoma luonnollinen luku määritellään tuotteen numerot 1 : ${\ displaystyle n \ geq 1}$ ${\ displaystyle n}$

{\ displaystyle n! = 1 \ cdot 2 \ cdot 3 \ dotsm n = \ prod _ {k = 1} ^ {n} k}

Esimerkkejä

{\ displaystyle {\ begin {array} {rll} 1! & = 1 & = 1 \\ 2! & = 1 \ cdot 2 & = 2 \\ 3! & = 1 \ cdot 2 \ cdot 3 & = 6 \ \ 4! & = 1 \ kertaa 2 \ kertaa 3 \ kertaa 4 & = 24 \\\ end {array}}}

Jos tätä luetteloa jatketaan, rekursiivisuus johtuu melkein automaattisesti. 5: n laskemiseksi! et aloita alusta, mutta voit palata aiempiin tuloksiin, joten

{\ displaystyle 5! = 4! \ cdot 5 = 120}

Yleensä toiminto voidaan määrittää rekursiivisesti :

{\ displaystyle n! = \ vasen \ {{\ begin {matrix} 1 && {\ text {if}} n = 1 && {\ text {(rekursion alku)}} \\ (n-1)! \ cdot n && {\ text {else}} && {\ text {(rekursiovaihe)}} \ end {matrix}} \ right.}

Fibonacci-sekvenssi

Klassinen esimerkki rekursiivisesta funktiosta on Fibonacci-sekvenssi , jossa jokainen sekvenssin toinen termi on kahden edellisen summa:

{\ displaystyle 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34, \ dotsc}

Päinvastoin kuin faktoriafunktiota, tässä ei ole triviaalia suljettua esitystä. Yksinkertaisin kuvaus on rekursiivinen määritelmä:

{\ displaystyle \ operaattorin nimi {fib} (n) = \ vasen \ {{\ begin {matrix} 0 && {\ text {if}} n = 0 && {\ text {(rekursion alku)}} \\ 1 && {\ text {if}} n = 1 && {\ text {(rekursio alkaa)}} \\\ operaattorin nimi {fib} (n-1) + \ operaattorin nimi {fib} (n-2) && {\ text { muuten}} && {\ text {(Rekursiovaihe)}} \ end {matrix}} \ right.}

Tämä rekursiivinen määritelmä on kaskadoitu. Tätä määritelmää käyttämällä kolmas Fibonacci-luku lasketaan seuraavasti:

{\ displaystyle {\ begin {matrix} \ operaattorin nimi {fib} (3) & = & \ operaattorin nimi {fib} (2) + \ operaattorin nimi {fib} (1) & {\ text {(rekursiovaihe)}} \\ & = & \ operaattorin nimi {fib} (1) + \ operaattorin nimi {fib} (0) + \ operaattorin nimi {fib} (1) & {\ text {(rekursiovaihe)}} \\ & = & 1+ \ operaattorinimi { fib} (0) + \ operaattorin nimi {fib} (1) & {\ text {(rekursio alkaa)}} \\ & = & 1 + 0 + \ operaattorin nimi {fib} (1) & {\ text {(alku rekursiosta)}} \\ & = & 1 + 0 + 1 & {\ text {(rekursion alku)}} \\ & = & 2 \ loppu {matriisi}}}

Laskenta tehdään täällä useita kertoja. Tämä osoittaa, että optimointia on mahdollista. ${\ displaystyle \ operaattorin nimi {fib} (1)}$

Muodolliset rekursiotyypit

Yleisin rekursiomuoto on lineaarinen rekursio , jossa kussakin rekursiivisen määritelmän tapauksessa voi esiintyä enintään yksi rekursiivinen puhelu. Laskenta kulkee sitten puheluketjua pitkin. Tällaisessa rekursiossa puhelupuu ei sisällä mitään haaroja.

Primitiivinen rekursio on erikoistapaus lineaarisen rekursiota, joka aina jota iterointia voidaan korvata (katso alla #For suhde rekursion ja iteraation ). Tässä funktiot määritetään luonnollisilla numeroilla, jolloin ensimmäinen parametri kasvaa tai vähenee yhdellä jokaisessa rekursiivisessa puhelussa. Jokainen primitiivinen-rekursiivinen määritelmä voidaan korvata silmukan (esim. Silmukan tai Vaikka Loop ) avulla on pino .

Päätelaite tai toistuvia rekursio ( tail rekursio tai lopussa rekursio ) kuvataan erityinen tapauksessa lineaarinen rekursiota, jossa kukin rekursiivista kutsua on viimeinen toiminta rekursiivista kutsua. Lopetusrekursiot voidaan korvata while-silmukoilla ja päinvastoin. (Toisin kuin loppurekurssi on pään rekursio ; katso kohta Ääretön regressi ).

Alle sisäkkäistä rekursio määritellään rekursiota, joka esiintyy rekursiokutsua parametrin ilmaisuja rekursiokutsua. Tätä rekursiomuotoa on erittäin vaikea ymmärtää.

Porrastettu rekursio kuvaa tapausta, jossa useita rekursiivisia puheluita on vierekkäin. Rekursiiviset puhelut muodostavat sitten puun. Porrastettua rekursiota pidetään tyylikkäänä, mutta ilman lisätoimenpiteitä se voi johtaa eksponentiaaliseen laskentaponnisteluun. Sitä käytetään usein lähtökohtana toisen, tehokkaamman formulaation saamiseksi.

Keskinäinen rekursio viitataan määritelmään useita toimintoja keskinäisten toisistaan. Se voidaan jäljittää kaksinkertaisen arvon funktion tavalliseen rekursioon.

Rekursio ohjelmoinnissa

Korkeammat ohjelmointikielet, jotka toimivat toimintojen kanssa, sallivat yleensä myös rekursio. Useimmissa tapauksissa ratkaisut voidaan määrittää rekursiivisesti tai iteratiivisesti.

Rekursio ja iterointi välisestä suhteesta

Rekursio ja iterointi ovat olennaisesti yhtä tehokkaita lähestymistapoja. Samoja tai samankaltaisia prosesseja toistetaan useita kertoja, ero on käytetyssä algoritmissa .

Iteraation tapauksessa komennon, joka koostuu useista osista, on ajauduttava useiden silmukoiden läpi ( for, while ...), kunnes keskeytysehto täyttyy. Rekursiotapauksissa riittää, että yksinkertaisesti lisätään menettelyt tai toiminnot pyyntöön, että niitä käytetään uudelleen säännöllisesti muutetun parametrin kanssa, kunnes lopetusehto täyttyy.

Rekursio tulee yleensä toimeen pienemmällä lähdekoodilla ja on selkeämpi (kokeneille käyttäjille) - apumuuttujia ja silmukkalaskureita ei silloin tarvitse määritellä. Käsittelyn osalta iteratiiviset prosessit ovat yleensä tehokkaampia ja vaativat vähemmän tallennustilaa. Syynä on se, että toistuvat funktiokutsut sijoitetaan pinoon kaikkien väliaikaisesti tallennettujen arvojen kanssa . Erityisesti rekursioon voi sisältyä myös puskurin ylivuoto (StackOverflow). Kun ohjelmointi reaaliaikaisia järjestelmiä on mikro , rekursio siksi usein välttää.

Jotkut ohjelmointikielet (esimerkiksi toiminnallisessa ohjelmoinnissa ) eivät salli iterointia, joten rekursiivinen toteutus on aina valittava. Tällaiset kielet käyttävät optimointiin usein primitiivisiä rekursioita, jotka toteutetaan sisäisesti iteraatioina (jotkut LISP- ja Scheme-tulkkeista jatkavat kuten yllä).

On huomattava, että joidenkin toimintojen naiivi toteutus (esim. Fibonacci-luvut ) edellyttää, että osittaiset ratkaisut lasketaan useita kertoja. Tässä esimerkissä korjaustoimenpiteen tarjoaa muistiointi , joka perustuu jo laskettujen väliaikaisten ratkaisujen uudelleenkäyttöön. Rekursio on olennainen osa joissakin tehokkaiden algoritmien suunnittelustrategioissa , erityisesti jaa ja hallitse -strategiassa (jaa ja valloita ) . Muut lähestymistavat (esimerkiksi ns. Ahneet algoritmit ) edellyttävät iteratiivista lähestymistapaa. Rekursiolla ja primitiivisillä rekursiivisilla funktioilla on tärkeä rooli teoreettisessa tietojenkäsittelytieteessä , etenkin monimutkaisuus- ja laskentateoriassa (katso myös lambda-laskenta ja Ackermannin funktio ).

Vuonna kääntäjä , joka on rekursiivinen laskeutuminen (Rekursiivinen Descent) tekniikka, jossa kieli rekursiivisesti jäsentää on.

Ohjelmointiesimerkkejä

Seuraava esimerkki näyttää yksinkertaisen ja suositun tekijäfunktion toteuttamisen Python- ohjelmointikielessä . Rekursiivinen muunnos on selkeyden vuoksi kontrastissa iteratiivisen variantin kanssa. Rekursio ilmaistaan sillä, että funktio kutsuu itseään argumentilla, joka on pienennetty yhdellä. Molemmat toteutukset suorittavat algoritmin lineaarisella ajonaikaisella monimutkaisuudella sisääntuloparametrista riippuen. Vaikka tilan monimutkaisuus pysyy vakiona iteratiivisessa muunnoksessa, muistivaatimus kasvaa lineaarisesti rekursiivisessa muunnoksessa, koska jokaiselle rekursiiviselle funktiokutsulle on varattava uusi muistialue paikallisille muuttujille ja paluuosoitteelle. Toiminnallisessa ohjelmoinnissa dynaaminen muistinhallinta toteutetaan puhelupinon avulla .

Iteratiivinen ohjelmointi	Rekursiivinen ohjelmointi
def factorial(number): result = 1 while number > 1: result *= number number -= 1 return result	def factorial(number): if number <= 1: return 1 return number * factorial(number - 1)

Seuraava esimerkki toteuttaa Fibonacci-sekvenssin C- ohjelmointikielellä . Rekursiivinen muunnos on moninkertainen rekursio, joka johtaa eksponentiaaliseen ajonaikaan ja avaruuden monimutkaisuuteen. Rekursiivisen funktion kutsu haarautuu binääripuuhun , jossa identtiset osittaiset tulokset lasketaan useita kertoja. Useimmiten Fibonacci-luvut lasketaan kahdessa ensimmäisessä paikassa, jotka määrittelevät rekursiossa lopetusehdot. Iteratiivisessa muunnoksessa ajonaikakompleksisuus on lineaarinen ja avaruuden kompleksisuus vakio.

Iteratiivinen ohjelmointi

Rekursiivinen ohjelmointi

int fibonacci(int number) {
    int first = 0, second = 1;

    for (int count = 0; count < number; ++count) {
        int summand = first;
        first = second;
        second += summand;
    }

    return first;
}

int fibonacci(int number) {
    if (number <= 0)
        return 0;

    if (number == 1)
        return 1;

    return fibonacci(number - 1) + fibonacci(number - 2);
}

Rekursioiden ratkaiseminen

Rekursiota ratkaistaessa etsitään toisaalta ajonaikaisia ponnistuksia ja toisaalta rekursioiden nimenomaista muotoa.

Vaivaa voidaan määrittää asymptoottinen Θ- tai Ο sidottu käyttäen isäntä lause tai korvaaminen menetelmällä. Jopa älykkäät nopeudet myöhemmällä induktiolla tarjoavat tavan ylärajan keston määrittämiseksi.

Nimenomainen muoto (kutsutaan myös suljetussa muodossa) rekursiokertoimen yhtälö voidaan löytää, esimerkiksi generoiva funktio. Toinen mahdollisuus on toistumisen peräkkäisten funktion arvojen johtaminen muodostamalla ero.

Eri tapoja käyttää rekursiota eri ja laajemmissa tieteissä

Rekursio-käsitettä käytetään eri tavoin eri tieteenaloilla. Viisi käyttötyyppiä voidaan erottaa: Kognitiivisen psykologian "organisaatio-syntaktinen" rekursio, tekniikan teorian "toiminnallinen-toiminnallinen" rekursio ja kulttuurisen evoluution ja sivilisaatioteorian "prosessin emulatiivinen" rekursio.

Kognitiivinen psykologia

Evoluutiokognitiivinen psykologi Michael Corballis laati kirjassaan The Recursive Mind ”organisatorisen-syntaktisen” rekursiokonseptin . Se osoittaa, että ihmisen kyky sijoittaa merkityksen ja toiminnan tasot missä tahansa syvyydessä ja avata syntaktiset merkkijonot yhteen toiminnallisten yksiköiden kesken, koska ne tapahtuvat periaatteessa työkalujen käyttäytymisessä ja yhteistyössä, edeltää kielikykyä ja on yleinen piirre ihmisen kognitiosta ja toiminnan organisoinnista. . Ihmisen vahva kyky henkiseen aikamatkailuun ja mieliteoria perustuu kykyyn rekursio.

Tekniikan teoria

Järjestelmateoreetikko W. Brian Arthur kehitti kirjassaan The Nature of Technology "operatiivisen-toiminnallisen" rekursiokonseptin . Arthur osoittaa, että kaikilla tekniikoilla on hierarkkinen elementtien ja toiminnallisten tasojen sisäkkäin sijoittaminen siten, että alemmat elementit saavat toiminnallisen toiminnallisuutensa rekursiolla ylemmille tasoille, kuten esimerkki lentotukialusyhdistyksestä osoittaa: hävittäjän turbiini koostuu yksittäisistä osat tai "suoritettavat tiedostot", kuten ruuvit ja ilmaterät, jotka on rekursiivisesti upotettu turbiinin yleiseen toimintaan, koska samalla turbiini on hävittäjän rekursiivisesti sisäkkäin "suoritettava", hävittäjä on "suoritettava" "lentotukialusyhdistyksen" ja tämä on lentueen "suoritettava".

Kulttuurisen evoluution tutkimus ja sivilisaatioteoria

Sivilisaation kulttuurisen evoluution ja historian koko tekninen ja kulttuurinen kehitys on "prozessemulativen" -rekursiomallia, kuten sosiologi Prior Löffler on osoittanut. ”Prosessiemulatiivinen” rekursio kuvaa kehitysmekanismia, jossa instrumentaalinen tai henkinen prosessi abstraktioidaan ja otetaan uudelleen käyttöön materiaalina tai mediaemulaationa. Tämä voidaan osoittaa varhaisessa teknologisessa evoluutiossa, jossa kukin kehitysvaihe voidaan kuvata rekursioasteiksi. Tämänhetkisen tietämyksen mukaan, joka on tiivistetty "kulttuurikapasiteetin laajentamisen malliin", yksinkertaiset kivityökalut ("modulaarinen kulttuuri",> 2,6 Ma ) seuraavat kehitysnäkökulmasta komposiittityökalut, kuten vasarakivet kahvoilla tai keihäät luun pistettä ( "komposiitti kulttuuri ",> 500 ka ), sitten muodostuu toisiaan täydentäviä, itsenäisiä moduuleita, kuten jousi ja nuoli tai neula ja lanka ( "komplementaarinen kulttuuri",> 70 ka ), sitten ihanteellinen työkaluja, kuten luolamaalauksia, soittimet tai ansat ("ihanteellinen kulttuuri",> 40 ka ). Kumulatiivisten kehitysvaiheiden teknologiarakenteet perustuvat edellisten vaiheiden prosessien "prosessiemulatiiviseen" rekursioon. Esimerkiksi jousi ja nuoli ("täydentävä kulttuuri") jäljittelee rekursiivisesti keihään heittoprosessia ("yhdistelmäkulttuuri"), ja ansa ("ihanteellinen kulttuuri") rekursiivisesti jäljittelee metsästäjien ryhmän läsnäoloa tai ansamekanismi jäljittelee keulan laukaisumekanismia ("täydentävä kulttuuri"). Yleisenä periaatteena "prosessiemulatiivinen" rekursio kulkee läpi koko tekniikan historian: Esimerkiksi mikroaaltouuni perustuu "prosessimulatiiviseen" rekursioon, koska se jäljittelee ruoan kuumentamisprosessia esimerkiksi uunissa; Digitaalinen mallintunnistus perustuu prosessimulatiiviseen ihmisen mallintamisen rekursioon jne. Osoitettiin, että "prosessimulatiivisen" rekursioiden kehitysperiaate on myös koko sivilisaatiohistorian kehityksen perusta ja esiintyy tekniikan lisäksi. muilla aloilla, kuten taloustiede, media, politiikka, kognitiivisten rakenteiden, taiteen ja matematiikan kehittäminen, ja näiden alueiden kukin kehitysvaihe perustuu edellisen kehitysvaiheen prosessien rekursiiviseen jäljittelyyn. Tällä tavalla sivilisaation historian kumulatiiviset peräkkäiset kehitysvaiheet ( varhain edistyneet sivilisaatiot , aksiaalinen ja moderni aika ) voidaan selittää "prosessimulatiivisten" rekursioiden ilmaisuna.

Katso myös

nettilinkit

Wikisanakirja: rekursio - selitykset merkityksille, sanan alkuperälle, synonyymeille, käännöksille

Wikisanakirja: rekursiivinen - selitykset merkityksille, sanan alkuperälle, synonyymeille, käännöksille

kirjallisuus

Niklaus Wirth: Algoritmit ja tietorakenteet . 5. painos. BG Teubner, Stuttgart 2000. (1. painos: 1975). ISBN 978-3-519-22250-7 , doi: 10.1007 / 978-3-322-80154-8 .

Huomautukset

Yksittäiset todisteet

↑ Niklaus Wirth , sivu 149: 3. Rekursio, 3.1. esittely
↑ Niklaus Wirth : Algorithmen und Datenstruktur , BG Teubner 1983, sivu 150: " Rekursiumin ydin on mahdollisuus määritellä ääretön määrä esineitä rajallisen lauseen avulla."
B ^a^b Bussmann, Hadumod, toim. (1990): Lexikon der Sprachwissenschaft. Alfred-Kröner-Verlag, Stuttgart, s. 640: Rekursio on termi kielitieteessä, "joka kuvaa kieliopien muodollista ominaisuutta tuottaa ääretön määrä lauseita rajallisella elementtiluettelolla ja rajallisella sääntöjoukolla". (Kielen, luonnon, taiteen ja runouden esimerkkien lisäksi mainitsee matematiikan ja ohjelmoinnin, esim. Uni-leipzig: Rekursio kielellä ).
↑ Douglas R.Hofstadter : Gödel, Escher, Bach , dtv , 2004, sivu 137
↑ Katso esim. B. Andrew Carnie: Rakenteellinen rakenne. Toinen painos. Oxford University Press, 2010. Rekursiivisuuden aihe v. a. S. 84ff.
↑ Ainoastaan Pirahã- kielelle on esitetty väitöskirja, jonka mukaan kieliopissa ei esiintyisi palautumista, koska siinä ei ole toissijaisia lausekkeita. Tämä analyysi on kiistanalainen, katso lisätietoja linkitetystä artikkelista.
↑ Näiden viiden tyypin osalta katso Davor Löffler: Generatiiviset realiteetit I. Teknologinen sivilisaatio uudena aksiaalisena aikakautena ja sivilisaation tasona. 2000-luvun antropologia . Weilerswist: Velbrück Wissenschaft, 2019, s.195–204.
↑ Vrt. Davor Löffler: Generatiiviset realiteetit I. Teknologinen sivilisaatio uudena aksiaalisena aikakautena ja sivilisaation tasona. 2000-luvun antropologia . Weilerswist: Velbrück Wissenschaft, 2019, s.197 f.
↑ Michael C.Corballis, Rekursiivinen mieli. Ihmiskielen, ajatuksen ja sivilisaation alkuperä . Princeton, NJ / Oxford: Princeton University Press, 2013.
↑ Katso Michael C.Corballis: Rekursiivinen mieli. Ihmiskielen, ajatuksen ja sivilisaation alkuperä . Princeton, NJ / Oxford: Princeton University Press, 2013, s.82-165.
↑ Vrt. Davor Löffler: Generatiiviset realiteetit I. Teknologinen sivilisaatio uudena aksiaalisena aikakautena ja sivilisaation tasona. 2000-luvun antropologia . Weilerswist: Velbrück Wissenschaft, 2019, s.198 f.
^ W. Brian Arthur: Teknologian luonne. Mikä se on ja miten se kehittyy . Lontoo: Penguin Books, 2009.
↑ Katso W.Brian Arthur: tekniikan luonne. Mikä se on ja miten se kehittyy . Lontoo: Penguin Books, 2009, s.29
↑ Katso W.Brian Arthur: tekniikan luonne. Mikä se on ja miten se kehittyy . Lontoo: Penguin Books, 2009, s.39-44
↑ Vrt. Davor Löffler: Generatiiviset realiteetit I. Teknologinen sivilisaatio uudena aksiaalisena aikakautena ja sivilisaation tasona. 2000-luvun antropologia . Weilerswist: Velbrück Wissenschaft, 2019, s.199–204.
↑ Miriam N.Haidle, Michael Bolus, Mark Collard ym.: Kulttuurin luonne: kahdeksan asteen malli homiinien ja muiden eläinten kulttuurikapasiteetin kehittymiselle ja laajentamiselle . Julkaisussa: Journal of Anthropological Sciences , osa 93, 2015, s.43-70.
↑ Katso Miriam N.Haidle, Michael Bolus, Mark Collard ym.: Kulttuurin luonne: kahdeksan asteen malli homiinien ja muiden eläinten kulttuurikapasiteetin kehittymiselle ja laajentamiselle . Julkaisussa: Journal of Anthropological Sciences , osa 93, 2015, s.56 f.
↑ Katso Miriam N.Haidle, Michael Bolus, Mark Collard ym.: Kulttuurin luonne: kahdeksan asteen malli homiinien ja muiden eläinten kulttuurikapasiteetin kehittymiselle ja laajentamiselle . Julkaisussa: Journal of Anthropological Sciences , osa 93, 2015, s. 57 f.
↑ Miriam N.Haidle, Michael Bolus, Mark Collard ym.: Kulttuurin luonne: kahdeksan asteen malli homiinien ja muiden eläinten kulttuurikapasiteetin kehittymiselle ja laajentamiselle . Julkaisussa: Journal of Anthropological Sciences , osa 93, 2015, s.58.
↑ Miriam N.Haidle, Michael Bolus, Mark Collard ym.: Kulttuurin luonne: kahdeksan asteen malli homiinien ja muiden eläinten kulttuurikapasiteetin kehittymiselle ja laajentamiselle . Julkaisussa: Journal of Anthropological Sciences , osa 93, 2015, s.58-60.
↑ Yhteenvetotaulukko löytyy julkaisusta Davor Löffler: Generative Realities I.Teknologinen sivilisaatio uudena aksiaalisena aikakautena ja sivilisaation vaiheena. 2000-luvun antropologia . Weilerswist: Velbrück Wissenschaft, 2019, s. 600 f.
↑ Vrt. Davor Löffler: Generatiiviset realiteetit I. Teknologinen sivilisaatio uudena aksiaalisena aikakautena ja sivilisaation tasona. 2000-luvun antropologia . Weilerswist: Velbrück Wissenschaft, 2019, s. 621–640.

[1] Niklaus Wirth , sivu 149: 3. Rekursio, 3.1. esittely

[2] Niklaus Wirth : Algorithmen und Datenstruktur , BG Teubner 1983, sivu 150: " Rekursiumin ydin on mahdollisuus määritellä ääretön määrä esineitä rajallisen lauseen avulla."

[Buss-3] B ^a^b Bussmann, Hadumod, toim. (1990): Lexikon der Sprachwissenschaft. Alfred-Kröner-Verlag, Stuttgart, s. 640: Rekursio on termi kielitieteessä, "joka kuvaa kieliopien muodollista ominaisuutta tuottaa ääretön määrä lauseita rajallisella elementtiluettelolla ja rajallisella sääntöjoukolla". (Kielen, luonnon, taiteen ja runouden esimerkkien lisäksi mainitsee matematiikan ja ohjelmoinnin, esim. Uni-leipzig: Rekursio kielellä ).

[4] Douglas R.Hofstadter : Gödel, Escher, Bach , dtv , 2004, sivu 137

[5] Katso esim. B. Andrew Carnie: Rakenteellinen rakenne. Toinen painos. Oxford University Press, 2010. Rekursiivisuuden aihe v. a. S. 84ff.

[6] Ainoastaan Pirahã- kielelle on esitetty väitöskirja, jonka mukaan kieliopissa ei esiintyisi palautumista, koska siinä ei ole toissijaisia lausekkeita. Tämä analyysi on kiistanalainen, katso lisätietoja linkitetystä artikkelista.

[7] Näiden viiden tyypin osalta katso Davor Löffler: Generatiiviset realiteetit I. Teknologinen sivilisaatio uudena aksiaalisena aikakautena ja sivilisaation tasona. 2000-luvun antropologia . Weilerswist: Velbrück Wissenschaft, 2019, s.195–204.

[8] Vrt. Davor Löffler: Generatiiviset realiteetit I. Teknologinen sivilisaatio uudena aksiaalisena aikakautena ja sivilisaation tasona. 2000-luvun antropologia . Weilerswist: Velbrück Wissenschaft, 2019, s.197 f.

[9] Michael C.Corballis, Rekursiivinen mieli. Ihmiskielen, ajatuksen ja sivilisaation alkuperä . Princeton, NJ / Oxford: Princeton University Press, 2013.

[10] Katso Michael C.Corballis: Rekursiivinen mieli. Ihmiskielen, ajatuksen ja sivilisaation alkuperä . Princeton, NJ / Oxford: Princeton University Press, 2013, s.82-165.

[11] Vrt. Davor Löffler: Generatiiviset realiteetit I. Teknologinen sivilisaatio uudena aksiaalisena aikakautena ja sivilisaation tasona. 2000-luvun antropologia . Weilerswist: Velbrück Wissenschaft, 2019, s.198 f.

[12] W. Brian Arthur: Teknologian luonne. Mikä se on ja miten se kehittyy . Lontoo: Penguin Books, 2009.

[13] Katso W.Brian Arthur: tekniikan luonne. Mikä se on ja miten se kehittyy . Lontoo: Penguin Books, 2009, s.29

[14] Katso W.Brian Arthur: tekniikan luonne. Mikä se on ja miten se kehittyy . Lontoo: Penguin Books, 2009, s.39-44

[15] Vrt. Davor Löffler: Generatiiviset realiteetit I. Teknologinen sivilisaatio uudena aksiaalisena aikakautena ja sivilisaation tasona. 2000-luvun antropologia . Weilerswist: Velbrück Wissenschaft, 2019, s.199–204.

[16] Miriam N.Haidle, Michael Bolus, Mark Collard ym.: Kulttuurin luonne: kahdeksan asteen malli homiinien ja muiden eläinten kulttuurikapasiteetin kehittymiselle ja laajentamiselle . Julkaisussa: Journal of Anthropological Sciences , osa 93, 2015, s.43-70.

[17] Katso Miriam N.Haidle, Michael Bolus, Mark Collard ym.: Kulttuurin luonne: kahdeksan asteen malli homiinien ja muiden eläinten kulttuurikapasiteetin kehittymiselle ja laajentamiselle . Julkaisussa: Journal of Anthropological Sciences , osa 93, 2015, s.56 f.

[18] Katso Miriam N.Haidle, Michael Bolus, Mark Collard ym.: Kulttuurin luonne: kahdeksan asteen malli homiinien ja muiden eläinten kulttuurikapasiteetin kehittymiselle ja laajentamiselle . Julkaisussa: Journal of Anthropological Sciences , osa 93, 2015, s. 57 f.

[19] Miriam N.Haidle, Michael Bolus, Mark Collard ym.: Kulttuurin luonne: kahdeksan asteen malli homiinien ja muiden eläinten kulttuurikapasiteetin kehittymiselle ja laajentamiselle . Julkaisussa: Journal of Anthropological Sciences , osa 93, 2015, s.58.

[20] Miriam N.Haidle, Michael Bolus, Mark Collard ym.: Kulttuurin luonne: kahdeksan asteen malli homiinien ja muiden eläinten kulttuurikapasiteetin kehittymiselle ja laajentamiselle . Julkaisussa: Journal of Anthropological Sciences , osa 93, 2015, s.58-60.

[21] Yhteenvetotaulukko löytyy julkaisusta Davor Löffler: Generative Realities I.Teknologinen sivilisaatio uudena aksiaalisena aikakautena ja sivilisaation vaiheena. 2000-luvun antropologia . Weilerswist: Velbrück Wissenschaft, 2019, s. 600 f.

[22] Vrt. Davor Löffler: Generatiiviset realiteetit I. Teknologinen sivilisaatio uudena aksiaalisena aikakautena ja sivilisaation tasona. 2000-luvun antropologia . Weilerswist: Velbrück Wissenschaft, 2019, s. 621–640.

Languages