Riemannin hypoteesi

Riemannin hypoteesi tai hypoteesi on yksi merkittävimmistä ratkaisemattomia ongelmia on matematiikkaa . Sen muotoili ensimmäisen kerran vuonna 1859 Bernhard Riemann teoksessaan alkulukujen määrästä tietyn määrän alla . Kun David Hilbert otti sen 1900 -luvun 23 tärkeän ongelman luetteloon vuonna 1900 , Clay Mathematics Institute sisällytti sen matematiikan seitsemän vuosituhannen ongelmien luetteloon vuonna 2000 . Cambridgen (Massachusetts) instituutti on myöntänyt miljoonan Yhdysvaltain dollarin palkintorahat ongelman ratkaisevasta ratkaisusta matemaattisen todistuksen muodossa .

Yksinkertaisesti sanottuna Riemannin hypoteesi sanoo, että alkuluvujen 2, 3, 5, 7, 11 ... järjestys käyttäytyy "mahdollisimman satunnaisesti". Tämä tulisi ilmaista esimerkiksi sillä, että tapahtumasarja, jolla numerolla on parillinen määrä alkutekijöitä , kuten tai jolla on pariton määrä alkutekijöitä, kuten , toimii pitkällä aikavälillä on myös usein toistuva nakata kanssa pään ja numero voi olla. Teoria, joka ratkaisee Riemannin hypoteesin ja joka antaisi syvemmän selityksen tälle alkuluvujen satunnaisuudelle, voisi siis matemaatikkojen näkökulmasta johtaa täysin uudenlaiseen ymmärrykseen numeroista yleensä. ${\ displaystyle 6 = 2 \ cdot 3}$${\ displaystyle 66 = 2 \ kertaa 3 \ kertaa 11}$

Jos tämä on käännetty teknistä kieltä analyyttinen lukuteoria , Riemannin hypoteesi vastaa toteamalla, että kaikki monimutkaiset nollia Riemannin Zeta funktio on ns kriittiset nauhat on todellinen osa ¹ / ₂ . Se on jo tunnettu ja todistettu, että Zeta funktio on todellinen nollia (niin kutsuttu "triviaali" nollaa), sekä ääretön määrä ei-reaaliaikaisia nollat todellinen osa ¹ / ₂ . Riemannin hypoteesi sanoo, että muita nollia ei ole, ts. Tämä tarkoittaa sitä, että kaikki zeta -funktion ei -triviaalit nollat sijaitsevat suoralla viivalla kuvitellun akselin suuntaisten numeroiden tasolla . ${\ displaystyle -2, -4, -6, \ piste}$

Riemannin hypoteesi on erittäin tärkeä nykyaikaiselle matematiikalle. Siitä voidaan päätellä paljon tärkeitä todisteita useista tähän asti ratkaisemattomista ongelmista, erityisesti lukuteoriassa. Tämä koskee perustutkimuksen ongelmia , kuten alkuluvun jakautumista alkuluvun lauseen tai avoimen Goldbachin oletuksen yhteydessä , sekä sovellettua matematiikkaa, kuten nopeita alkukokeita . Samalla sen katsotaan olevan myös erittäin vaikeaa todistaa. Yksi syy tähän on se, että asiantuntijoiden näkökulmasta ihmiskunnalla ei vielä ole tarvittavia matemaattisia työkaluja hyökätäkseen lainkaan. Merkittävien matemaatikkojen aiemmat todistusyritykset epäonnistuivat.

Tietokoneiden laaja käyttö mahdollisti Riemannin hypoteesin tarkistamisen zeta -toiminnon ensimmäisten 10 biljoonan nollin osalta. Koska kuitenkin on todistettavasti ääretön määrä ei-real nollat todellinen osa ¹ / ₂ , se voi vain kumota tällä tavoin antamalla selkeän counterexample, mutta ei ole todistettu. Counterexample olisi ei-reaaliaikaisia nolla kriittinen nauhan todellinen osa ei yhtä kuin ¹ / ₂ .

esittely

alkuluvut

Keskiössä lukuteoria , että matematiikan, joka käsittelee ominaisuuksia luonnolliset luvut 1, 2, 3, 4 ..., ovat alkulukuja 2, 3, 5, 7, 11 .... Nämä erottuvat ominaisuudestaan, että niillä on täsmälleen kaksi tekijää , nimittäin 1. ja itse. 1 ei ole alkuluku. Eukleides pystyi jo osoittamaan, että alkulukuja on ääretön määrä, minkä vuoksi luettelo 2, 3, 5, 7, 11 ... ei koskaan lopu. Sen tulosta kutsutaan Eukleidesin lauseeksi.

Alkuluvut ovat niin sanotusti kokonaislukujen atomeja , koska jokainen positiivinen kokonaisluku voidaan hajottaa yksiselitteisesti moninkertaisesti sellaisiksi. Esimerkiksi 21 = 3,7 ja 110 = 2,5 · 11. Tästä perusominaisuudesta huolimatta useiden vuosituhansien matematiikkahistorian jälkeen ei tiedetä yksinkertaista mallia, jonka alkuluvut ovat niiden järjestyksessä. Niiden luonne on yksi matematiikan merkittävimmistä avoimista kysymyksistä.

Alkulukulause

Vaikka alkuluvujen järjestyksen 2, 3, 5, 7, 11 ... yksityiskohtaista ymmärtämistä ei pidetä saavutettavana, voit etsiä kuvioita, jos laajennat näkemystäsi. Esimerkiksi ajatus siitä, että tilastollisten menetelmien avulla useiden ihmisten käyttäytymistä (esimerkiksi kulutuksen ja äänestyskäyttäytymisen suhteen) voidaan usein kuvata yllättävän tarkasti, vaikka yksittäinen henkilö on erittäin monimutkainen. Karkeasti ottaen tämä liittyy siihen tosiasiaan, että kasvavat määrät asiaankuuluvaa dataa antavat yhä luotettavampia tietoja . Kun kyseessä ovat alkuluvut, tällainen laajentuminen johtaa muun muassa kysymykseen siitä, kuinka monta alkulukua on kiinteän luvun alapuolella.

Esimerkiksi vain 4 alkulukua, nimittäin 2, 3, 5 ja 7, ovat pienempiä kuin luku 10. 50: n tapauksessa on jo 15 pienempää alkulukua, nimittäin

${\ displaystyle 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47.}$

Numeroteorian kysymys on, onko olemassa universaalia ja yksinkertaista periaatetta ainakin arvioida, kuinka monta alkulukua on tietyn rajan alla. Tällaiset todettiin ensimmäisen kerran vuosina 1792/93 silloinen 15-vuotias Carl Friedrich Gauss , kun hän oli opiskellut logaritmi taulukoita . Gauss oletti, että kaikkien alkulukujen lukumäärä 2: sta suureen lukuun x vastaa suunnilleen x -akselin ja funktion välistä aluetta välillä 2 -x . Missä on luonnollinen logaritmi . Lähestyminen siis pätee ${\ displaystyle t \ mapsto {\ tfrac {1} {\ log (t)}}}$${\ displaystyle \ log (t)}$

Alkulukujen määrä enintään x ${\ displaystyle \ kb \ int _ {2} ^ {x} {\ frac {1} {\ log (t)}} \ mathrm {d} t.}$

Kiinteä oikealla ei voida laskea alkeis sulkea koska kehrwertige logaritmia ei peruskoulun primitiivinen on. Se määrittelee siten "itsenäisen" funktion, joka tunnetaan myös integraalilogaritmina . Gauss ei esittänyt mitään matemaattisia todisteita oletuksistaan, ja kesti yli 100 vuotta, ennen kuin yksi - Jacques Hadamardista ja Charles -Jean de La Vallée Poussinista - valmistettiin vuonna 1895. Todiste ei tarkoita sitä, että kaikkia kuviteltavia arvoja olisi kokeiltu, mikä on mahdotonta lukemattomalla lukumäärällä, vaan että matemaattisiin aksioomiin perustuva looginen argumentti todistaa tosiasiat täysin yleisesti. Esitettyä teoriaa kutsutaan edelleen alkuluvun lauseeksi .

Alkuluvun lauseessa annettu approksimaatio antaa varsin hyviä arvoja. Esimerkiksi luvun 73 893 alapuolella on täsmälleen 7293 alkulukua, ja se pitää paikkansa

${\ displaystyle \ int _ {2} ^ {73 \, 893} {\ frac {1} {\ log (t)}} \ mathrm {d} t \ noin 7331 {,} 35.}$

Alkuluvun lause kuvaa alkuluvun etäisyyksien keskimääräisen käyttäytymisen. Yksi tulkinta hänen lausunnostaan ​​on, että satunnaisluku välillä 2 ja erittäin suuri n on alkuluku, jolla on likimääräinen todennäköisyys . Se ei kuitenkaan tarjoa yksityiskohtaisia ​​tietoja alkuluvun sekvenssistä. ${\ displaystyle {\ tfrac {1} {\ log (n)}}}$

Riemannin ajatuksia

Alkuperäinen teos vuodelta 1859

Vuonna 1859 Bernhard Riemann kirjoitti kiitoksena Berliinin tiedeakatemiaan pääsystä 9-sivuisen asiakirjan, joka myöhemmin loi perustan modernille analyyttiselle numeroteorialle . Hänen työnsä pyrki todistamaan Gaussin olettamat alkuluvuteoreemista ja syventämään sitä. Koska essee oli kuitenkin äärimmäisen luonnollinen ja lukuisia siinä esitettyjä lausuntoja ei ollut tiukasti todistettu, matemaatikot hyväksyivät vielä jonkin aikaa. Tähän päivään asti kaikki Riemannin lausunnot hänen työssään, lukuun ottamatta Riemannin hypoteesia, joka on muotoiltu siellä alalauseessa, katsotaan todistetuiksi.

Riemannin zeta -toiminto

Mahdollinen työkalu tämän kaavan todistamiseen on Riemannin zeta -funktio . Se hyödyntää sitä tosiasiaa, että se ilmaisee yksiselitteisen alkutekijäämisen lain analyysikielellä . Joten alkulukujen ominaisuudet tallennetaan piilotettuina tähän funktioon. Ratkaisevia piirteitä, jotka mahdollistavat johtopäätösten tekemisen alkuluvuista, ovat zeta -funktion nollat , eli kaikki pisteet, joissa se saa arvon 0. Nämä muodostavat korjaustermin yllä olevalle kaavalle, joka muuntaa ne täsmälliseksi lausekkeeksi. Tuloksena oleva tarkka kaava tietää alkulukujen jakautumisen viimeiseen yksityiskohtaan asti. Tämä ei kuitenkaan tarkoita sitä, että alkulukuja koskevat kysymykset olisi ratkaistu: laskentatyö lisääntyy jyrkästi arvojen kasvaessa, joten tämän kaavan mukaiset käytännön laskelmat eivät ole tehokkaita. Sitä vastoin nykyaikaiset alkutestit sopivat paremmin numeeriseen tutkimukseen . Tarkka kaava kiinnostaa kuitenkin teoreettisesti: se sisältää virhemarginaalin yksinkertaisen ennusteen ja todellisen alkuluvun jakauman välillä. Oletetaan, että tämä virhe (kaikkien mahdollisuuksien rajoissa) on pienin mahdollinen. Tarkan kaavan sisällä, jonka pitäisi antaa numeron alkeislukujen määrä , myös termit lasketaan yhteen nollien ollessa. Jos todellinen osa ja on nyt suurempi, tämä lisää myös koko, mikä tarkoittaa, että etäisyys arvio Alkulukulause ja varsinainen jakelu olisi myös suurempi. Voidaan osoittaa, että äärettömän määrän arvojen todellinen osa on yhtä suuri , minkä vuoksi virheen vähimmäismäärä on ehdottomasti . Riemannin hypoteesi sanoo nyt, että kriittisessä kaistassa ei ole muita nollia, jotka käyttäytyvät eri tavalla kuin aiemmin tunnetut. ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle x ^ {\ rho}}$${\ displaystyle \ rho}$${\ displaystyle \ rho}$${\ displaystyle x ^ {\ rho},}$${\ displaystyle \ rho}$${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}}}$${\ displaystyle x ^ {{\ frac {1} {2}} + \ varepsilon}}$

Virheen dekoodauksella ei ole merkitystä numeeristen tietojen kannalta . Pikemminkin puhdas matematiikka pyrkii selvittämään aiemmin piilotetun syyn siihen, miksi virhe (jos sovellettavissa) on mahdollisimman pieni. Matemaatikot toivovat, että tämän säännöllisyyden muodollinen perustelu antaa perustavanlaatuisen käsityksen numeroiden luonteesta.

Riemannin zeta -toiminto

Riemannin zeta-funktio on kompleksiarvoinen funktio, joka toimii kompleksiluvulla , jonka todellinen osa on jaettu äärettömällä summalla ${\ displaystyle s}$${\ displaystyle \ operaattorinimi {Re} (s)> 1}$

${\ displaystyle \ zeta (s) = \ summa _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {s}}} = 1 + {\ frac {1} {2 ^ {s }}} + {\ frac {1} {3 ^ {s}}} + {\ frac {1} {4 ^ {s}}} + \ piste}$

on määritelty.

Yksi Riemannin zeta -funktion tärkeimmistä ominaisuuksista on sen yhteys alkulukuihin . Se luo suhteen monimutkaisen analyysin ja lukuteorian (ks. Analyyttinen lukuteoria ) välillä ja muodostaa Riemannin hypoteesin lähtökohdan. Seuraava lauseke, joka juontaa juurensa Leonhard Euleriin (1748), edustaa yhteyttä kaavassa

${\ displaystyle \ zeta (s) = \ summa _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {s}}} = \ prod _ {p \ {\ text {prim}} } {\ frac {1} {1 - {\ frac {1} {p ^ {s}}}}} = {\ frac {1} {\ vasen (1 - {\ frac {1} {2 ^ {s }}} \ oikea) \ vasen (1 - {\ frac {1} {3 ^ {s}}} \ oikea) \ vasen (1 - {\ frac {1} {5 ^ {s}}} \ oikea) \ piste}},}$

missä edustaa ääretöntä tulosta kaikkien alkulukujen päällä . Lauseke seuraa suoraan lauseesta alkuluvun hajoamisen ainutlaatuisuudesta ja geometrisen sarjan summauskaavasta . ${\ displaystyle \ Pi _ {p}}$ ${\ displaystyle p}$

Toimintoa voidaan jatkaa  selkeästi analyyttisesti Eulerin summan tai tuotekaavan alkuperäisen lähentymisalueen ulkopuolella koko kompleksitasolle - lukuun ottamatta . Meromorphic toiminto saadaan${\ displaystyle s = 1}$

${\ displaystyle \ zeta (s) = {\ frac {1} {\ Gamma (s)}} \ vasen ({\ frac {1} {s -1}} - {\ frac {1} {2s}} + \ sum \ limits _ {n = 2} ^ {\ infty} {\ frac {B_ {n}} {n!}} {\ frac {1} {s + n-1}} + \ int \ limits _ { 1} ^ {\ infty} {\ frac {x ^ {s -1}} {\ mathrm {e} ^ {x} -1}} \, \ mathrm {d} x \ oikea),}$

jossa ovat gamma funktio ja Bernoulli numerot . Siinä on yksinkertainen napa . Muut tämän esityksen singulaarisuudet voidaan poistaa, koska koko funktiolla on yksinkertainen nolla kussakin näistä paikoista . ${\ displaystyle \ Gamma}$${\ displaystyle B_ {n}}$${\ displaystyle s = 1}$ ${\ displaystyle 1 / \ Gamma}$${\ displaystyle 0, -1, -2, -3, \ piste}$

muotoilu

Seuraavassa Riemannin zeta -funktiota tarkastellaan analyyttisesti. Tässä muodossa zeta-funktiolla on niin sanottuja "triviaaleja nollia", jotka johtuvat gammafunktion napajoukosta, jota vähennetään suluissa olevan lausekkeen napajoukolla peruuttamisen kautta. Se on negatiivisten parillisten numeroiden joukko${\ displaystyle s = -2, -4, -6, \ piste}$

Keskeinen löytö Riemannin kuuluisasta teoksesta vuodelta 1859 oli havainto, että kaikki mahdolliset ei-triviaalit nollat ​​ovat ns.

${\ displaystyle \ {s \ in \ mathbb {C} \ mid 0 \ leq \ operaattorinimi {Re} (s) \ leq 1 \}}$

on sijaittava.

Bernhard Riemannin kuuluisa - eikä tähän päivään asti kumottu tai todistettu - olettamus sanoo, että kaikki ei -triviaalit nollat ​​ovat keskellä suoraa viivaa

${\ displaystyle \ {s \ in \ mathbb {C} \ mid \ mathrm {Re} (s) = {\ tfrac {1} {2}} \}}$

valehdella.

Riemann esitti olettamuksensa tutkiessaan gameta -funktion zeta -funktion tuotetta

${\ displaystyle \ xi (s) = \ pi ^ {- {\ frac {s} {2}}} \; \ Gamma \ vasen ({\ frac {s} {2}} \ oikea) \ zeta (s) }$,

joka on muuttumaton , kun vaihtava kanssa , eli se täyttää toiminnalliset yhtälö : ${\ displaystyle s}$${\ displaystyle (1-s)}$

${\ displaystyle \ xi (s) = \ xi (1-s).}$

Riemann itse käytti ja sai näin kaikille : ${\ displaystyle s = {\ tfrac {1} {2}} + \ mathrm {i} t}$${\ displaystyle t \ in \ mathbb {R}}$

${\ displaystyle \ xi ({\ tfrac {1} {2}} + \ mathrm {i} t) = \ xi ({\ tfrac {1} {2}} - \ mathrm {i} t)}$

Suora kompleksiluvutasossa todellisen osan 1/2 kanssa on siksi myös invariantti tässä heijastuksessa. Riemann itse kirjoittaa nollista:

"Todellisilla juurilla" Riemann tarkoitti, että yhtä kriittisen nauhan yhtälöstä ${\ displaystyle s = {\ tfrac {1} {2}} + \ mathrm {i} t}$

${\ displaystyle \ xi (s) = \ xi ({\ tfrac {1} {2}} + \ mathrm {i} t) = 0}$

vain todellista , eli ratkaistavaa. ${\ displaystyle t}$${\ displaystyle t \ in \ mathbb {R}}$

Zeta -funktion nollien sijainnista, riippumatta Riemannin hypoteesista, voidaan tehdä tärkeitä lausuntoja alkuluvun jakautumisesta; esimerkiksi alkuluku -lause vastaa lausetta, että zeta -funktiolla ei ole nollia suorassa ja kriittisen juovan nollattomien alueiden laajentaminen johtaa alkuluvun virhesanoman paranemiseen Riemannin olettamukseen asti.${\ displaystyle s = 1}$

Todennäköisyysteoreettinen näkemys

Riemannin hypoteesi voidaan tulkita todennäköisyydellä. Tämä palaa matemaatikko Arnaud Denjoyn käsiin .

Vertailu tehdään harkitsemalla oikeudenmukaista kolikonheittoa. Reilu kolikko, jossa on mahdollisia tuloksia "päät" ja "hännät", heitetään useita kertoja peräkkäin. Ihannetilanteessa jokaisen heiton tulos on täysin satunnainen, ja heittojen tulokset eivät myöskään ole riippuvaisia ​​toisistaan. Joten jos päät heitettiin ensin, tämän ei pitäisi olla merkityksellistä sen jälkeen, seuraavatko päät vai hännät.

Jos oletetaan absoluuttista satunnaisuutta samalla todennäköisyydellä ja myös yksittäisten heittojen riippumattomuutta, voidaan havaita tietty kuvio, kun kolikonheittoa toistetaan usein. Tämä näkyy parhaiten, kun tapahtumat "päät" ja "hännät" korvataan määrällisillä arvoilla, kuten tai ja kaikkien välitulosten summa muodostetaan jokaisen heittosarjan jälkeen. Tämä vastaa täsmälleen eroa heitettyjen päiden ja numeroiden välillä. Jos esimerkiksi heitit kuusi päätä ja yksitoista häntää, näin olisi . Kun heittoja on usein, noin 100 miljoonaa, on järkevää olettaa, että heitetään noin 50 miljoonaa kertaa tai heitetään, koska molemmilla tuloksilla on täsmälleen sama todennäköisyys. Mahdollinen seuraus tästä olisi se, että kaikkien heittojen summa "tasoittuu suunnilleen nollaan", koska oletettiin, että arvo lisättiin noin yhtä usein . Toisaalta on erittäin epätodennäköistä edes näissä suuruusluokissa, että tulos (kuten 50 000 000, 50 000 000), jonka ero on 0 tai (49999999, 50 000 001), jonka ero on -2 . On todennäköisempää, että sattuma aiheuttaa ”harha” in hyväksi tai tiettyä ”poikkeavien”. Koko tämän ”poikkeavien” on aiheena keskeinen raja-arvolause : Jos satunnaismuuttuja merkitsee arvon nnen pentueen, ero on heittää saadaan ${\ displaystyle +1}$${\ displaystyle -1}$${\ displaystyle 6-11 = -5}$${\ displaystyle +1}$${\ displaystyle -1}$${\ displaystyle +1}$${\ displaystyle -1}$${\ displaystyle +1}$${\ displaystyle -1}$${\ displaystyle X_ {n}}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle D_ {N}}$${\ displaystyle N}$

${\ displaystyle D_ {N}: = \ summa _ {n = 1} ^ {N} X_ {n} = X_ {1} + X_ {2} + X_ {3} + \ cdots + X_ {N-1} + X_ {N}.}$

Keskeisen raja-lause sanoo, muun muassa, on se, että absoluuttinen arvo , jossa hyvin suurella todennäköisyydellä käytettäessä välein numeroita oleskelevat. Jossa on neliöjuuri on . Todennäköisyys lähestyy yhä enemmän arvoa, joka on riippuvainen muuttujista ja joka luonnollisesti pyrkii puolesta ja vastaan ​​(= 100%). Ylemmän eron "outlier" on siten suuruusluokkaa , joten valinnassa on otettava huomioon suuruusluokan poikkeama . ${\ displaystyle | D_ {N} |}$ ${\ displaystyle [\ varepsilon {\ sqrt {N}}, M {\ sqrt {N}}]}$${\ displaystyle 0 <\ varepsilon \ ll M <\ infty}$${\ displaystyle {\ sqrt {N}}}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle \ varepsilon}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle 0 <p (\ varepsilon, M) <1}$${\ displaystyle \ varepsilon \ - 0}$${\ displaystyle M \ to \ infty}$${\ displaystyle D_ {N}}$${\ displaystyle {\ sqrt {N}}}$${\ displaystyle N = 100000000}$${\ displaystyle \ pm {\ sqrt {100000000}} = \ pm 10000}$

Keskeinen rajalause määrittää kompromissin suuruuden sen epätodennäköisen tapahtuman välillä, että päät heitetään lähes yhtä usein kuin hännät ( ), tai toisessa ääripäässä, että päät heitetään häntää uskomattoman usein tai päinvastoin ( tai ) kuten . Ensimmäisessä tapauksessa riippumattomuutta voidaan loukata, esimerkiksi jos pään on aina oltava perässä ja päinvastoin. Silloin vain ensimmäinen satunnainen heitto olisi ratkaiseva ja heittosekvenssi johtaisi ensimmäisiin heittopäihin , jotka pitkällä aikavälillä olisivat myös suuruusluokkaa 0. Toisessa ääritapauksessa saman todennäköisyyden ehtoa voidaan rikkoa, esimerkiksi on olemassa epäoikeudenmukainen kolikko, joka on todellisuudessa todennäköisyys, esimerkiksi päät. Tässä tapauksessa se olisi suuruusluokkaa, mutta pitkällä aikavälillä huomattavasti korkeampi . Tästä näkökulmasta tapahtumasarjan "satunnaisuutta" voidaan "mitata" toistamalla usein ja tarvittaessa käyttämällä hypoteesitestiä , esimerkiksi ylemmissä ääritapauksissa, tilastollisesti väärennettyjä. ${\ displaystyle D_ {N} \ noin 0}$${\ displaystyle D_ {N} \ noin N}$${\ displaystyle D_ {N} \ noin -N}$${\ displaystyle {\ sqrt {N}}}$${\ displaystyle 1, -1,1, -1,1, -1,1, ...}$${\ displaystyle {\ tfrac {3} {4}}}$${\ displaystyle D_ {N} \ noin {\ tfrac {3} {4}} N - {\ tfrac {1} {4}} N = {\ tfrac {1} {2}} N}$${\ displaystyle {\ sqrt {N}}}$

Riemannin hypoteesissa todetaan, että alkuluvut käyttäytyvät "mahdollisimman satunnaisesti" ja "mahdollisimman itsenäisesti" ominaisuuksiensa suhteen (kuten jakauma, alkutekijä ...). Esimerkiksi kysymykseen siitä, voidaanko satunnaisesti valittu luku jakaa erilliseksi vai parittomaksi alkutekijöiden lukumääräksi, on vastattava "yhtä suurella todennäköisyydellä" koon kasvattamiseksi . Tarkoittaa Liouville toiminto , joka olettaa, että arvo 1 siinä tapauksessa, että se on parillinen määrä päätekijöitä, ja -1 muuten Riemannin hypoteesin (siinä mielessä, että keskeinen raja-lause) vastaa ${\ displaystyle m}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle \ lambda (n)}$${\ displaystyle n}$

${\ displaystyle \ lim _ {N \ to \ infty} {\ frac {\ lambda (1) + \ lambda (2) + \ cdots + \ lambda (N)} {N ^ {{\ frac {1} {2 }} + \ varepsilon}}} = 0}$

mille tahansa . Tehomerkintöjä on noudatettava. Luku vastaa oletusta, että Riemannin zeta-funktion kaikki ei-triviaalit nollat ​​sisältävät tämän todellisen osan . ${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$${\ displaystyle N ^ {\ frac {1} {2}} = {\ sqrt {N}}}$${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}}}$${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}}}$

Jos toisaalta Riemannin hypoteesi olisi väärä, alkuluvun jakautumisessa olisi epätasapainoa siinä mielessä, että esimerkiksi olisi luonnoton määrä lukuja, joilla olisi parillinen määrä alkutekijöitä, kuten 10, 14, 25, 132, numeroina, joilla on pariton määrä alkutekijöitä, kuten 7, 8, 12, 18 ja 125.

merkitys

Ei -triviaalit nollat ​​ja alkuluvut

Merkittävä löytö, jonka Riemann teki, oli yhteys alkulukujen ja hänen zeta -funktionsa nollien välillä. Työssään hän halusi löytää analyyttisen lausekkeen alkulukufunktiolle . Lähtökohtana hän käytti kaavaa ${\ displaystyle \ pi (x)}$

${\ displaystyle \ zeta (s) = \ prod _ {p \ \ mathrm {prim}} {\ frac {1} {1-p ^ {- s}}},}$

joka tukee pohjimmiltaan alkulukujen ja zeta -funktion välistä suhdetta. Tämä voidaan muuntaa seuraavaksi lausekkeeksi ottamalla logaritmi ja käyttämällä sopivia tehosarjoja :

${\ displaystyle \ log \ zeta (s) = \ summa _ {p \ \ mathrm {prim}} \ summa _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {p ^ {- ns}} {n} }}$

Tietoja integraalista

${\ displaystyle p ^ {- ns} = s \ int \ limits _ {p ^ {n}} ^ {\ infty} x ^ {- s-1} \ mathrm {d} x}$

Riemann pystyi tuomaan ilmauksen suljetuksi. Tätä varten hän johti lukuteoreettisen toiminto kanssa ${\ displaystyle \ log \ zeta (s)}$ ${\ displaystyle \ Pi}$

${\ displaystyle \ Pi (x) = \ summa _ {p ^ {n} <x} {\ frac {1} {n}} = \ summa _ {p \ \ mathrm {prim}} \ summa _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ Theta (xp ^ {n})} {n}}}$

a, jossa Heaviside toiminto symboloi. Tämä lisää murto -osan jokaisesta pienemmästä alkutehosta . Yksinkertainen esimerkki olisi ${\ displaystyle \ Theta}$${\ displaystyle p ^ {n}}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle 1 / n}$

${\ displaystyle \ Pi (20) = \ alakiinnike {\ vasen (1 + {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {3}} + {\ frac {1} {4}} \ oikea)} _ {2 ^ {1}, 2 ^ {2}, 2 ^ {3}, 2 ^ {4} <20} + \ alijarru {\ vasen (1 + {\ frac {1} {2}} \ oikea)} _ {3 ^ {1}, 3 ^ {2} <20} + \ alijarru {(1)} _ {5 ^ {1} <20} + \ alakahva {(1)} _ {7 ^ {1} <20} + \ alakiinnike {(1)} _ {11 ^ {1} <20} + \ alakiinnike {(1)} _ {13 ^ {1} <20} + \ alakahva {(1)} _ {17 ^ {1} <20} + \ alakiinnike {(1)} _ {19 ^ {1} <20} = {\ frac {115} {12}}}$

Lisäksi se on askel funktio . Joten puhdas kiinteä ilmaisu on: ${\ displaystyle \ Pi}$${\ displaystyle \ log \ zeta (s)}$

${\ displaystyle \ log \ zeta (s) = \ summa _ {p \ \ mathrm {prim}} \ summa _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {p ^ {- ns}} {n} } = s \ summa _ {p \ \ mathrm {prim}} \ summa _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n}} \ int \ limits _ {p ^ {n}} ^ {\ infty} x ^ {- s-1} \ mathrm {d} x = s \ int \ limits _ {0} ^ {\ infty} x ^ {- s-1} \ Pi (x) \ mathrm { d} x.}$

Riemann oli Fourier -analyysin mestari ja seuraavalla muutoksella hän saavutti virstanpylvään analyyttisessä numeroteoriassa. Käyttäen käänteistä Mellin -muunnosta hän päätti analyyttisen lausekkeen : ${\ displaystyle \ Pi (x)}$

${\ displaystyle \ Pi (x) = {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ int \ limits _ {ci \ infty} ^ {c + i \ infty} {\ frac {\ log \ zeta (s) )} {s}} x ^ {s} \ mathrm {d} s}$

yhden kanssa . Työnsä seuraavissa vaiheissa Riemann viittasi hänen mukaansa nimitetyn Riemann -funktion tuoteesitykseen , jonka määrittelee: ${\ displaystyle c> 1}$${\ displaystyle \ xi}$

${\ displaystyle \ xi (s) = {\ frac {1} {2}} s (s-1) \ pi ^ {- s / 2} \ Gamma \ vasen ({\ frac {s} {2}} \ oikea) \ zeta (s)}$

Tämä tuoteesitys kulkee kaikkien zeta-funktion ei-triviaalien nollien yli, ja sen muoto on äärettömyyteen faktorisoitu polynomi (samanlainen kuin sinin tai kosinin factoring ): ${\ displaystyle \ rho}$

${\ displaystyle \ xi (s) = \ xi (0) \ prod _ {\ rho} \ left (1 - {\ frac {s} {\ rho}} \ right) = {\ frac {1} {2} } \ prod _ {\ rho} \ vasen (1 - {\ frac {s} {\ rho}} \ oikea)}$

Tästä saadaan kirjaimellisesti ei -triviaali toinen lauseke : ${\ displaystyle \ log \ zeta (s)}$

${\ displaystyle \ log \ zeta (s) = \ summa _ {\ rho} \ log \ left (1 - {\ frac {s} {\ rho}} \ right) - \ log 2- \ log \ Gamma \ left (1 + {\ frac {s} {2}} \ oikea) + {\ frac {s} {2}} \ log \ pi - \ log (s -1)}$

Riemannin työn viimeinen osa käsittelee vain tämän toisen lausekkeen korvaamista yhtälössä ${\ displaystyle \ log \ zeta (s)}$

${\ displaystyle \ Pi (x) = {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ int \ limits _ {ci \ infty} ^ {c + i \ infty} {\ frac {\ log \ zeta (s) )} {s}} x ^ {s} \ mathrm {d} s.}$

Vaikeasta arvioinnista huolimatta Riemann tuli tulokseen

${\ displaystyle \ Pi (x) = \ mathrm {Li} (x) - \ sum _ {\ rho} \ mathrm {Li} (x ^ {\ rho}) - \ log 2+ \ int \ limits _ {x } ^ {\ infty} {\ frac {\ mathrm {d} t} {t (t ^ {2} -1) \ log t}},}$

jossa on kiinteä logaritmi . Kun yhteys ja , päätellä siitä Möbius inversio (jossa Möbius toiminto ) , nimittäin ${\ displaystyle \ operaattorinimi {Li} x = \ int _ {2} ^ {x} {\ frac {\ mathrm {d} t} {\ log t}}}$ ${\ displaystyle \ mu (n)}$${\ displaystyle \ pi (x)}$${\ displaystyle \ Pi (x)}$

${\ displaystyle {\ pi (x) = \ summa _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ mu (n)} {n}} \ Pi (x ^ {1 / n}) = \ Pi (x) - {\ frac {1} {2}} Pi (x ^ {1/2}) - {\ frac {1} {3}} \ Pi (x ^ {1/3}) - { \ frac {1} {5}} \ Pi (x ^ {1/5}) + {\ frac {1} {6}} \ Pi (x ^ {1/6}) - \ piste},}$

alkulukujen ja zeta -funktion nollien välille luotiin syvä yhteys.

Huom: numeerinen laskenta Riemannin kaava, ilmaisu summan pitäisi korvata, jossa (kompleksi) kiinteä eksponentiaalinen funktio tarkoittaa, koska kun arvioidaan yli päähaaran monimutkainen logaritmin ei aina soveltaa ja näin ollen tulos olisi väärennetty. ${\ displaystyle \ pi (x)}$${\ displaystyle \ mathrm {Li} (x ^ {\ rho})}$${\ displaystyle \ mathrm {Ei} (\ r \ log x)}$${\ displaystyle \ mathrm {muna} (x)}$${\ displaystyle x ^ {\ rho}}$${\ displaystyle \ log x ^ {\ rho} = \ rho \ log x}$

Viitteet

Esimerkiksi Riemannin hypoteesista seuraa arvio alkuluvun lauseen jäljellä olevasta termistä ( Helge von Koch 1901):

${\ displaystyle \ pi (x) = \ mathrm {Li} \, x + {\ mathcal {O}} ({\ sqrt {x}} \ cdot \ log x)}$

Kochin tulos vastaa Riemannin hypoteesia. Se voidaan kirjoittaa myös muodossa

${\ displaystyle | \ pi (x) - \ mathrm {Li} \, x | <K {\ sqrt {x}} \ cdot \ log x}$

vakio , ja se on hieman heikompi muoto${\ displaystyle K> 0}$

${\ displaystyle \ pi (x) = \ mathrm {Li} \, x + o (x ^ {{\ frac {1} {2}} + \ varepsilon})}$

mille tahansa . ${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$

Monet muut analyyttisen lukuteorian tulokset, mutta myös nopean alkutestin tulokset, jotka ovat tärkeitä kryptografiassa , voidaan toistaiseksi todistaa tai suorittaa vain Riemannin hypoteesin oletuksella. Kuten Michael Berry kirjoitti, zeta -funktion monimutkaiset nollat koodaavat alkulukujen lauseen kuvaaman alkuluvun karkean asymptoottisesti logaritmisen jakauman vaihtelut. Jos tiedät tarkan jakauman, voit myös esittää tarkempia lausuntoja todennäköisyydestä, kuinka monta alkulukua löytyy alueelta.

Todellinen syy siihen, miksi monet matemaatikot ovat etsineet niin intensiivisesti ratkaisua, on - lukuun ottamatta sitä tosiasiaa, että tämä on viimeinen vielä todistamaton lausunto Riemannin kuuluisassa esseessä - että muuten hyvin kaoottinen funktio (esim. B.Voroninin universaaliteema : zeta funktio voi mielivaltaisesti lähentää mitä tahansa analyyttistä nollasta poikkeavaa funktiota säteen ympyrässä 1/4) luultavasti piilottaa perusteorian jäävuoren kärjen, aivan kuten Fermat-olettamus piilottaa moduulitoimintojen piilottamien elliptisten käyrien parametroinnin. Langlands -ohjelma .

tarina

Bernhard Riemann mainitsi Riemannin hypoteesin jo vuonna 1859 kuuluisassa artikkelissa, joka loi analyyttisen lukuteorian perustan . Näin tehdessään hän kirjoitti, että "vaikka tiukat todisteet olisivat toivottavia, hän oli muutaman ohimenevän yrityksen jälkeen väliaikaisesti lopettanut sen tutkinnan, koska se olisi tarpeetonta hänen seuraavaan tutkimustarkoitukseensa", kuten Carl Ludwig Siegel havaitsi 1930 -luvulla tutkiessaan Riemannin omaisuutta. Tämän lisäksi hänen julkaisemattomista kirjoituksistaan ​​ei löytynyt mitään. Matemaatikko ja matemaatikko Harold Edwards muotoili joitain spekulaatioita siitä, miten Riemann olisi voinut tulla hänen olettamukseensa ilman merkittävää numeerista näyttöä.

Vuonna 1903 Jørgen Pedersen Gram julkaisi numeeriset likimääräiset arvot kriittisen alueen 15 ensimmäiselle nollalle. Ne tukevat (mutta eivät todista) Riemannin hypoteesia, samoin kuin kaikki muut nollat, jotka löydettiin myöhemmin ja joiden määrä ylitti 100 miljoonan rajan 1980 -luvun alussa. Vuonna 2001 keskusyksiköiden avulla osoitettiin, että monimutkaisen zeta -funktion ensimmäiset kymmenen miljardia nollaa täyttävät kaikki Riemannin hypoteesin, ts. eli ne ovat kaikki suorassa linjassa todellisen osan kanssa . ${\ displaystyle 1/2}$

Toinen virstanpylväs numeerisessa haussa oli Zeta-Grid-projekti, joka alkoi elokuussa 2001. Hajautetun laskentamenetelmän avulla , johon osallistui tuhansia Internetin käyttäjiä, löydettiin noin 1 biljoona nollaa kolmen vuoden kuluttua. Hanke on sittemmin lopetettu.

Kaksi ranskalaista matemaatikkoa Gourdon ja Demichel aloittivat uuden kokeilun Odlyzkon ja Schönhagen menetelmällä vuonna 2004 ja olivat tarkistaneet ensimmäiset 10 biljoonaa nollaa lokakuussa 2004 löytämättä vastaesimerkkiä. Vaikka kaikki laskelmat ovat numeerisia menetelmiä, ne osoittavat täsmällisesti eikä vain likimääräisesti, että tutkitut nollat ​​ovat kriittisellä suoralla.

Monet kuuluisat matemaatikot ovat kokeilleet Riemannin hypoteesia. Jacques Hadamard väitti vuonna 1896 ilman lisäselvityksiä teoksessaan Sur la distribution des zéros de la fonction ζ (s) et ses conséquence arithmétiques, jossa hän osoitti alkuluvun lauseen , että tuolloin äskettäin kuollut Stieltjes oli todistanut Riemannin hypoteesin julkaisematta todisteita. Vuonna 1885 Stieltjes väitti Académie des sciencesin Compte Rendun artikkelissa todisteensa lauseeksi Mertens -funktion asymptoottisesta käyttäytymisestä, josta Riemannin hypoteesi seuraa (katso alla). Kuuluisa brittiläinen matemaatikko Godfrey Harold Hardy lähetti sähkeen ennen Englannin kanaalin ylittämistä huonolla säällä, jossa hän väitti löytäneensä todisteita Fermatin esimerkin mukaisesti , joka välitti jälkeläisille kirjansa marginaalilla. sillä hänen olettamuksensa on todiste, joka on valitettavasti liian pitkä mahtuakseen reunaan. Hänen kollegansa John Edensor Littlewood Cambridgessa opiskelijana vuonna 1906 sai jopa professori Ernest William Barnesilta Riemannin hypoteesin funktionaalisena teoreettisena ongelmana ilman mitään yhteyttä alkuluvun jakautumiseen - Littlewoodin oli löydettävä tämä yhteys itse ja todistettava hänen väitöskirjansa, jonka mukaan alkuluvuteoreemi perustuu hypoteesiin, seuraa, mutta tämä on ollut tiedossa Manner -Euroopassa jo pitkään. Kuten hän myönsi kirjassaan Matemaatikon sekalainen , tämä ei valaissut hyvää valoa matematiikan tilaan Englannissa tuolloin. Littlewood teki pian merkittävän panoksen analyyttiseen lukuteoriaan Riemannin hypoteesin yhteydessä. Ongelma julistettiin vuonna 1900 David Hilbert hänen käytetään 23 matemaattisia ongelmia kuin ongelma vuosisadan, jolloin Hilbert itse luokittelivat sen helpompaa kuin esimerkiksi Fermat'n ongelman: Kun luento vuonna 1919 hän toivoi, että todiste myönnettäisiin vielä hänen elinaikanaan, Fermat -arvauksen tapauksessa, ehkä nuorin yleisön elinaikana; Hän piti todisteita transsendenssista vaikeimpana ongelmalistassaan - ongelman, jonka Gelfond ja Theodor Schneider ratkaisivat 1930 -luvulla . Monet Hilbertin luettelon ongelmista on nyt ratkaistu, mutta Riemannin arvaus vastusti kaikkia yrityksiä. Koska 1900 -luvulla ei löytynyt todisteita Riemannin hypoteesille, Clay Mathematics Institute julisti tämän projektin jälleen yhdeksi tärkeimmistä matemaattisista ongelmista vuonna 2000 ja tarjosi miljoonan Yhdysvaltain dollarin hinnan vakuuttavasta todisteesta, ja vastaesimerkkejä koskeva asetus.

On olemassa myös oletuksia, jotka vastaavat Riemannin oletuksia muille zeta -toiminnoille, joista osa on myös numeerisesti tuettu. Tapauksessa Zeta funktio algebrallinen lajikkeiden (tapauksessa toiminto kentät) yli kompleksiluvut, arveluihin tehtiin Helmut Hasse 1930 varten elliptisten käyrien ja 1940-luvulla André Weil varten Abelin lajikkeiden ja algebrallinen käyrä ( myös rajallisilla aloilla). Weil muotoili myös Weil -oletukset , jotka sisältävät myös analogin Riemannin hypoteesille, algebrallisille lajikkeille (myös korkeammat mitat kuin käyrät) äärellisten kenttien yli. Pierre Deligne toimitti todisteet sen jälkeen, kun Grothendieck -koulussa 1970 -luvulla kehitettiin nykyaikaiset algebrallisen geometrian menetelmät .

Uusimpia todiste- tai kumoamisyrityksiä

Vuonna 1945 Hans Rademacher väitti kiistäneensä oletuksen ja aiheuttaneensa suurta kohua Yhdysvalloissa. Vähän ennen julkaistu liiketoimet American Mathematical Society , Carl Ludwig Siegel oli virhe. Myös Alan Turing oli samaa mieltä siitä, että oletus oli väärä. Hän työskenteli intensiivisesti zeta -funktion nollien laskemisen parissa ja juuri ennen osallistumistaan Bletchley Parkin salaustyöhön yritti rakentaa mekaanisen koneen, jonka pitäisi auttaa häntä löytämään ainakin yksi hypoteettinen (ja siten kumottava) nolla.

Louis de Branges de Bourcia käsitteli ongelmaa vuosikymmeniä. Vuonna 1985 (pian sen jälkeen kun hän oli todistanut Bieberbachin oletuksen ) hän esitti todistuksen, joka perustuu hänen teoriaansa kokonaisten funktioiden Hilbert -tiloista , joista Peter Sarnak löysi virheen. Vuonna 1989 hän esitti Henri Poincarén instituutissa pidettyjen luentosarjojen yhteydessä lisää todisteita, jotka hän itse tunnisti pian puutteellisiksi. Vuonna 2004 hän julkaisi uuden todistuksen, jota tutkittiin kriittisesti. Vuosia aiemmin Eberhard Freitag oli kuitenkin antanut vastaesimerkin todisteiden väitteille, joten todisteita pidetään nyt vääriä.

Yleistetty Riemannin hypoteesi

Seuraava väite on yleensä kutsutaan kuin yleisen tai yleinen Riemannin hypoteesi :

Analyyttinen jatkaminen dirichlet'n sarja tahansa Dirichlet merkki ( sarja) ${\ displaystyle \ chi}$${\ displaystyle L}$

${\ displaystyle L (s, \ chi) = \ summa _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ chi (n)} {n ^ {s}}},}$

kriittisen nauhan suorassa linjassa on vain nollia${\ displaystyle 0 \ leq \ operaattorinimi {Re} (t) \ leq 1}$${\ displaystyle \ operaattorinimi {Re} (s) = {\ tfrac {1} {2}}.}$

Yleistetystä Riemannin hypoteesista Riemannin hypoteesi seuraa erityistapauksena. Andrew Granville pystyi osoittamaan, että (vahva) Goldbachin hypoteesi vastaa olennaisesti yleistettyä Riemannin hypoteesia.${\ displaystyle \ chi = 1}$

Yleinen versio Selberg-luokan L-funktioista on kohdassa L-funktio .

Liittyvät oletukset ja vastaavat formulaatiot

Analyyttisessä lukuteoriassa on muita oletuksia, jotka liittyvät Riemannin olettamuksiin. Mertens hypoteesi sanoo

${\ displaystyle \ left | M (n) \ right | = \ left | \ summa _ {k = 1} ^ {n} \ mu (k) \ right | <{\ sqrt {n}}}$

kaikille . Tässä on Möbius funktio ja ns Mertens toiminto. Mertensin hypoteesi on vahvempi kuin Riemannin hypoteesi, mutta se kumottiin vuonna 1985.${\ displaystyle n> 1}$${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle M}$

Tähän liittyy Arnaud Denjoyn todennäköinen tulkinta Riemannin hypoteesista . Olkoon satunnainen arvosarja (1, −1) (eli niillä on sama todennäköisyys), sitten kullekin summalle (käyttäen Landau -symboleja ) ${\ displaystyle \ mu (k)}$${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$

${\ displaystyle \ left | M (x) \ right | = \ left | \ summa _ {k \ leq x} \ mu (k) \ right | \ in {\ mathcal {O}} (x ^ {1/2 + \ varepsilon}),}$

toisin sanoen poikkeaman määrä keskiarvosta 0 kasvaa asymptoottisesti korkeintaan yhtä paljon kuin . Jos joku korvaa Möbius -funktion, Riemannin hypoteesi vastaa lausuntoa, että tämä asymptoottinen kasvukäyttäytyminen koskee myös niiden summaa (Mertens -funktio) (Littlewood 1912). Riemannin hypoteesi voidaan sitten tulkita väitteeksi, jonka mukaan Möbius -funktion jakauma (eli onko numeroilla, joilla ei ole kaksinkertaisia ​​alkutekijöitä parillinen tai pariton alkutekijöiden määrä), on täysin satunnainen. ${\ displaystyle x ^ {1/2 + \ varepsilon}}$${\ displaystyle \ mu}$

Kuten jo mainittiin, Helge von Kochin Riemannin hypoteesista on rajat alkuluvun lauseen virhetermin kasvulle. Mutta von Kochin tulos vastaa myös Riemannin hypoteesia. loppu

${\ displaystyle \ left | {\ pi (x) - \ operaattorinimi {Li} (x)} \ right | \ in {\ mathcal {O}} ({\ sqrt {x}} \ cdot \ log x)}$

seuraa Riemannin hypoteesia.

Riemannin arvaus voidaan ilmaista myös Mangoldt -funktion tai sen summan avulla :${\ displaystyle \ Lambda (i)}$${\ displaystyle \ psi (x)}$

${\ displaystyle \ psi (x) = \ summa _ {i = 1} ^ {x} \ Lambda (i) = x + {\ mathcal {O}} ({\ sqrt {x}} \ cdot \ log ^ { 2} x),}$

jossa alkuluvun lause vastaa

${\ displaystyle \ psi (x) = x + {\ mathcal {O}} (x)}$

On. Tästä voidaan johtaa toinen oletus, joka vastaa Riemannin oletusta: Seuraava koskee kaikkia : ${\ displaystyle N \ geq 100}$

${\ displaystyle | \ log \ operaattorinimi {kgV} (1,2, \ piste, N) -N | \ leq {\ sqrt {N}} \ cdot \ log ^ {2} N}$

vähiten yleisellä moninkertaisella . ${\ displaystyle \ operaattorinimi {kgV}}$

Lindelöf hypoteesi järjestämisestä zeta-toiminto pitkin kriittinen linja on heikompi kuin Riemannin hypoteesi, mutta silti todistettu.

Vuonna 1916 Marcel Riesz osoitti vastaavuuden oletukseen Riesz -funktion asymptoottisesta käyttäytymisestä. Jérôme Franel osoitti vuonna 1924 vastaavuuden Farey -sarjaa koskevan lausunnon kanssa . Tämä osoittaa selvästi, että rationaalilukujen järjestely intervallissa (0,1) desimaalimurtojen jälkeen lineaarisessa muodossa ja järjestely Farey-sekvensseissä ovat mahdollisimman erilaisia ​​tarkasti määritellyssä matemaattisessa mielessä.

Vuonna 2002 Jeffrey Lagarias esitti alkeislukuteorian oletuksen, joka vastaa Riemannin olettamusta:

${\ displaystyle \ sigma (n) <H_ {n} + \ mathrm {e} ^ {H_ {n}} \ log {H_ {n}}}$

kaikille . Se on summa jakaja on ja nnen harmonisen numero . ${\ displaystyle n> 1}$${\ displaystyle \ sigma (n)}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle H_ {n} = 1 + {\ tfrac {1} {2}} + {\ tfrac {1} {3}} + \ piste + + {\ tfrac {1} {n}}}$${\ displaystyle n}$

Oletus, joka kumottiin vuonna 1958 Liouville -funktiolla muodostetusta sarjasta, olisi myös johtanut Riemannin olettamukseen.

Todisteideoita fysiikasta

Fysiikasta tuli uusia ideoita oletuksen todistamiseksi. David Hilbert ja George Pólya oli jo huomannut, että Riemannin hypoteesi seuraisi, jos nollat olivat ominaisarvot operaattorin , jossa on hermiittinen (eli itse adjoint) operaattori, joka siis on vain reaaliset, samanlainen Hamilton toimijoille vuonna kvanttimekaniikka. 1970 -luvulla Hugh Montgomery huomasi keskustelussa Freeman Dysonin kanssa , että peräkkäisten nollien välinen etäisyysjakauma osoitti jakaumaa, joka oli samanlainen kuin Hermitian -satunnaismatriisien ( Gaussian unitary ensemble , GUE) ominaisarvot , minkä Andrew Odlyzko vahvisti numeerisilla laskelmilla . 1990 -luvulla Michael Berryn kaltaiset fyysikot alkoivat etsiä tällaista taustalla olevaa järjestelmää esimerkiksi kvanttikaaoksen teoriassa . Lisää tukea nämä näkökohdat analogisesti "nimenomaisen kaavojen" teorian Riemannin zeta-funktion Selberg - jäljittää kaava että ominaisarvot Laplace-Beltrami operaattori on Riemannin pinta pituudet suljetun geodesics liittyy, ja Gutzwiller jäljittää kaava quantum kaaosteoriasta. Tämä yhdistää kaoottisen klassisen järjestelmän kvanttimekaanisen version ominaisarvot (energiat) klassisen tapauksen jaksollisten kiertoratojen pituuksiin. Kaikki nämä jäljityskaavat ovat identiteettejä vastaavien nollien summien, liikeradan jaksojen pituuksien, ominaisarvojen jne. Välillä. ${\ displaystyle ({\ tfrac {1} {2}} + iT)}$${\ displaystyle T}$

Harjoittajan nimetty mukaan Fields Medal -palkinnon voittaja Alain Connes vuonna 1996 "melkein" sopii. Connes ei kuitenkaan ole vielä kyennyt sulkemaan pois sitä, että kriittisen suoran linjan ulkopuolella olisi muita nollia.

Toinen fysiikan idea, josta keskusteltiin Riemannin hypoteesin yhteydessä, ovat tilasumman ”Yang-Lee-nollia”, jota analyyttisesti jatketaan monimutkaiseksi tilastollisen mekaniikan malleissa . Käyttämällä George Polyan tulosta zeta-funktion teoriasta, johon he huomauttivat Mark Kacille, Chen Ning Yang ja Tsung-Dao Lee osoittivat, että tietyissä malleissa nollat ​​olivat ympyrässä, toisissa malleissa ne ovat yhdessä Suorat linjat. Nollien sijainti määrittää käyttäytymisen vaihesiirtymissä samalla tavalla kuin kriittisen suoran nollat ​​ohjaavat alkuluvujen hienojakaumaa.

Kaikki nämä ajatukset perustuvat analogiaan, joka yksinkertaistetussa muodossa voidaan kuvata seuraavasti: Alkuluvut ovat "alkeishiukkasia", jotka ovat vuorovaikutuksessa kertomisen kautta ja muodostavat siten yhdistetyt luvut. Samaan aikaan "hiukkaset" järjestetään lisäämällä. Zeta -funktiossa molemmat näkökohdat (additiiviset / luonnolliset luvut ja kerto- / alkuluvut) yhdistetään keskenään summan tai tuotekaavan muodossa.

Freeman Dyson ehdotti Riemannin hypoteesin yhdistämistä yksiulotteisiin kvasikiteisiin vuonna 2009.

Katso myös

• Luettelo Riemannin zeta-funktion ei-triviaalista nollasta
• Riemann-Siegel-teetafunktio

kirjallisuus

• Marcus du Sautoy : Alkusanojen musiikki. Matematiikan suurimman palapelin polulla. dtv / CH Beck, München 2003 ja 2004, ISBN 3-423-34299-4 (suosittu esitys olettaman historiasta).
• Barry Mazur , William Stein : alkuluvut ja Riemannin hypoteesi. Cambridge University Press, 2015, ISBN 978-1-107-49943-0 , (PDF; 7,6 Mt). ( Muisto 15. syyskuuta 2013 Internet -arkistossa ).
• John Derbyshire : Pääpakko - Bernhard Riemann ja matematiikan suurin ratkaisematon ongelma. Washington 2003, ISBN 0-309-08549-7 .
• Andrew Granville : Goldbachin oletuksen hienosäädöt ja yleistetty Riemannin hypoteesi . Julkaisussa: Functiones et Approximatio, Commentarii Mathematici . nauha 37 , ei. 1 . Adam Mickiewiczin yliopiston matematiikan ja tietojenkäsittelytieteen tiedekunta, Poznań 2007, s. 159–173 ( umontreal.ca [PDF; 184 kB ]). 
• Harold Edwards : Riemannin Zeta -toiminto. New York 1974, Dover 1991, ISBN 0-486-41740-9 .
• Karl Sabbagh: Dr. Riemannin nollia. Atlantic -kirjat, 2002.
• Edward Charles Titchmarsh : Riemannin Zeta-funktion teoria. Heath-Brownin tekemät muutokset. Oxford 1987, ISBN 0-19-853369-1 .
• P. Borwein , S. Choi, B. Rooney, A. Weirathmueller: Riemannin hypoteesi. Resurssi kiinnostuneille ja virtuooseille. (CMS -kirjat matematiikassa 27) Canad. Math. Soc., Springer-Verlag, 2008, ISBN 978-0-387-72125-5 .
• Julian Havil : Gamma - Eulerin vakio, parhaan numeron rannat ja Riemannin hypoteesi. Springer Verlag, 2007.
• Jürg Kramer : Riemannin hypoteesi. Julkaisussa: Matematiikan elementit. Osa 57, 2002, s.90-95. hu-berlin.de. (PDF; 400 kt).
• Dan Rockmore: Riemannin hypoteesin vainoaminen . Pantheon Books, 2005.
• Kevin Broughan: Riemannin hypoteesin vastineet . 2 osaa, Cambridge University Press, 2017.

nettilinkit

• ZetaGrid -projekti. ( Muisto 5. tammikuuta 2014 Internet -arkistossa ).
• Grafiikka Riemannin zeta -toiminnosta. ( Muisto 6. tammikuuta 2013 verkkoarkiston arkistossa. Tänään ). Matematiikan online -sanasto, Uni Stuttgart ja Uni Ulm.
• Kaavio Riemannin zeta -toiminnosta (animaatio)
• Christopher Deninger: Pääluvut ja Riemannin hypoteesi. ( Muisto 1. kesäkuuta 2010 Internet -arkistossa ). (PDF; 350 kt).
• Alain Connes : Essee Riemannin hypoteesista , 2015, Arxiv
• Xavier Gourdon: Riemann Zeta -funktion 10 ^ 13 ensimmäistä nollaa ja nollalaskenta erittäin suurella korkeudella. (PDF; 413 kt).
• Matthew Watkins: Fysiikkaan liittyvät sivustot. Paljon hyviä linkkejä.
• Clay Mathematics Institute for the Riemann hypoteesi, jossa on faksi Riemannin työstä ja Bombierin kuvaus.
• Eric W.Weisstein : Riemannin hypoteesi . Julkaisussa: MathWorld (englanti).
• Peter Sarnak : Katsausartikkeli Riemannin hypoteesista (PDF; 150 kB; englanti).
• J. Brian Conrey , David W Farmer: Sivu ei ole enää saatavilla , etsi verkkoarkistoista : Riemannin hypoteesin vastaavuudet. (PDF; englanti).@1@ 2Malli: Dead Link / www.docin.com
• Gleb Beliakov, Juri Matiyasevich : Riemannin zeta -funktion nollat kriittisellä linjalla 40000 desimaalin tarkkuudella.
• 3Blue1Brown: Visualisoidaan Riemannin zeta -toiminto ja analyyttinen jatko. Osoite: youtube.com. Lataa 9. joulukuuta 2016, video (22:10).
• Weitz / HAW Hamburg : Riemannin hypoteesi ( joululuento 2016). Osoite: youtube.com. Lataa 12.5.2017, video (1:44:47) (de).

Yksittäisiä viittauksia ja kommentteja

1. ^ Carl Friedrich Gauss Werke , osa 2 , julkaisija Royal Society of Sciences, Göttingen, 1863, (kirje) , s. 444–447.
2. ↑ Seuraava koskee tässä käytettyä Bernoullin numeroiden määritelmää :

   ${\ displaystyle B_ {0} = 1, \; B_ {1} = - 1/2, \; B_ {2} = 1/6, \; B_ {3} = 0, \; B_ {4} = - 1/30, \; B_ {5} = 0, \ piste}$

3. ↑ ^{a b} Bernhard Riemann: Tietoja alkulukujen määrästä tietyn koon alla . 19. lokakuuta 1859. Julkaisussa: Preussin kuninkaallisen tiedeakatemian kuukausikatsaukset Berliinissä. 1860, s. 671-680.
4. ↑ Esimerkiksi Terry Taon blogi: Complex analytic multiplicative number theory.
5. ↑ kanssa

   ${\ displaystyle \ zeta (s) = \ prod _ {p \ \ mathrm {prim}} {\ frac {1} {1-p ^ {- s}}}}$

   seuraa

   ${\ displaystyle \ log \ zeta (s) = \ log \ prod _ {p \ \ mathrm {prim}} {\ frac {1} {1-p ^ {- s}}} = \ summa _ {p \ \ mathrm {prim}} \ log {\ frac {1} {1-p ^ {- s}}}}$.

   Nyt on

   ${\ displaystyle \ log {\ frac {1} {1-p ^ {- s}}} = \ log {\ frac {1} {(1 + p ^ {- s / 2}) (1-p ^ { -s / 2})}} = \ log 1- \ log (1 + p ^ {- s / 2})- \ log (1-p ^ {- s / 2})}$.

   Koska sitä, että voima-sarjan kahden jäljellä logaritmit tarvitaan, niin ${\ displaystyle \ log 1 = 0}$

   ${\ displaystyle - \ log (1 + p ^ { - s / 2}) = - \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} ( - 1) ^ {n + 1} {\ tfrac {p ^ { -ns / 2}} {n}} = \ summa _ {n = 1} ^ {\ infty} (- 1) ^ {n} {\ tfrac {p ^ {- ns / 2}} {n}}}$

   ${\ displaystyle- \ log (1-p ^ {- s / 2}) = \ summa _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ tfrac {p ^ {- ns / 2}} {n}}}$.

   Kahden tehosarjan summa yhdessä johtaa vain parillisiin tehoihin , joten tämä pätee ${\ displaystyle n}$

   ${\ displaystyle \ log {\ frac {1} {1-p ^ {- s}}} = \ summa _ {n = 1} ^ {\ infty} (- 1) ^ {n} {\ tfrac {p ^ {-ns / 2}} {n}} + \ summa _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ tfrac {p ^ {- ns / 2}} {n}} = 2 \ summa _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ tfrac {p ^ {- 2ns / 2}} {2n}} = \ summa _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ tfrac {p ^ {- ns}} { n}}}$

   ja lopuksi saat haluamasi ilmaisun:

   ${\ displaystyle \ log \ zeta (s) = \ summa _ {p \ \ mathrm {prim}} \ summa _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {p ^ {- ns}} {n} }.}$

6. ^ Helge von Koch: Sur la distribution des nombres premiers. Acta Mathematica, osa 24, 1901, s. 159-182.
7. ↑ Voidaan johtaa Kochin tuloksesta, mutta ei toisinpäin.
8. ^ Siegel: Tietoja Riemannin papereista analyyttistä lukuteoriaa varten. Julkaisussa: Studies on the History of Math. Astron. ja fysiikka. Osasto B: Studies, Volume 2, 1932, s.45-80.
   Siegel: Kokoelmia. Osa 1, Springer Verlag, 1966.
9. ^ Laugwitz: Bernhard Riemann. 1996, s. 178.
10. ^ HM Edwards: Riemannin Zeta -toiminto. Dover, ISBN 978-0-486-41740-0 , s.164-166 .
11. ↑ Gram: Sur les zéros de la fonction de Riemann. ${\ displaystyle \ zeta (s)}$Julkaisussa: Acta Mathematica. 27, 1903, s. 289-304.
12. ^ Nollia koskevat laskelmat. Luku 15. In: Titchmarsh: Riemann Zeta -funktion teoria.
13. ^ Jacques Hadamard: Sur la distribution des zéros de la fonction ζ (s) et ses conséquence arithmétiques. Julkaisussa: Bulletin de la Société Mathématique de France. 24, 1896, s. 199-220. (PDF; 1,3 Mt), s. 199 ja sitä seuraavat sivut.
14. ↑ Stieltjesin kartanossa ei ollut todisteita tästä todisteesta. Derbyshire: Prime Obsession. S. 160 f. Mertensin olettamus on tällä välin kumottu.
15. ↑ 143 vuotta vanha ongelma arvelee edelleen matemaatikkoja. Julkaisussa: New York Times . Anekdootti löytyy myös Constance Reidin Hilbertin elämäkerrasta.
16. ↑ Toisaalta Hilbertille luetaan ehkä apokryfinen lausunto, että jos hän heräisi 1000 vuoden unen jälkeen, hänen ensimmäinen kysymyksensä olisi, ratkaistaanko Riemannin hypoteesi. Borwein et ai.: Riemannin hypoteesi. S. 58 (ilman lähdettä).
17. ↑ Du Sautoy: Prime -numeroiden musiikki. S.147.
18. ↑ Millennium -palkinnon säännöt viralliselta verkkosivustolta
19. ↑ Hänen todisteidensa historian antaa Karl Sabbagh julkaisussa Dr. Riemannin nollia näytetään.
20. ^ ^{A b} Granville: Tarkennuksia Goldbachin olettamuksesta. Katso bibliografia .
21. ↑ Weitz / HAW Hampuri: Matematiikka on yli aritmeettinen - esimerkki: Mertens hypoteesi on YouTubessa , pääsee 22. maaliskuuta 2020 mennessä.
22. ↑ AM Odlyzko, HJJ te Riele : Epävarma Mertensin oletuksesta. Julkaisussa: J. reine angew. Math. Volume 357, 1985, s. 138-160.
    Andrew Odlyzko: Paperit Riemann Zeta -toiminnon nollasta ja siihen liittyvät aiheet.
23. ↑ Denjoy: L'Hypothése de Riemann sur la distribution des zéros de , reliée à la théorie des probabilités. ${\ displaystyle \ zeta (s)}$Julkaisussa: Comptes Rendus Acad. Sc. Osa 192, 1931, s. 656-658. Edwards: Riemannin Zeta -toiminto. 1974, s. 268. Edwards kommentoi tätä tulkintaa seuraavasti: ”… vaikka se on varsin järjetöntä tarkkaan harkiten, se antaa Riemannin hypoteesille väliaikaisen uskottavuuden”.
24. ↑ Littlewood: Quelques conséquence de l'hypothèse que la fonction n'a pas de zéros dans le demi-plan${\ displaystyle \ zeta (s)}$${\ displaystyle \ operaattorinimi {Re} (s)> {\ frac {1} {2}}.}$ Julkaisussa: Comptes Rendus. Vuosikerta 154, 1912, s. 263-266. Edwards, sija. cit. P. 261. Littlewood osoitti tarkemmin, että Riemannin hypoteesi vastaa seuraavaa väitettä: Jokaiselle lähentyy nolla vastaan .${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$${\ displaystyle M (x) x ^ { - {\ frac {1} {2}} - \ varepsilon}}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle \ infty}$
25. ^ Edwards: Riemannin Zeta -funktio. Luku 5.
26. ↑ Eric W. Weisstein : Mangoldt -funktio . Julkaisussa: MathWorld (englanti).
27. ^ Andrew Granville vuonna Princeton Companion matematiikka. Luku IV.2.
28. ↑ Lagarias: Perusongelma, joka vastaa Riemannin hypoteesia. Julkaisussa: American Mathematical Monthly. Vuosikerta 109, 2002, s. 534-543.
29. ↑ Alain Connes: Jäljityskaava ei -kommutoivassa geometriassa ja Riemannin zeta -funktion nollat. 10. marraskuuta 1998.
30. ↑ Freeman Dyson: Linnut ja sammakot. Julkaisussa: Notices AMS. 2009. (PDF; 800 kt).