Solow malli

Graafinen esitys yksinkertaisesta Solow-mallista (Solow-malli ilman väestönkasvua ja teknistä kehitystä ) siten, että tulot asukasta kohden ovat pystyakselilla ja pääomakanta henkeä kohti vaaka-akselilla. Näet tasapainopääoman ja tasapainon asukasta kohti .${\ displaystyle y}$${\ displaystyle k ^ {*}}$${\ displaystyle y ^ {*}}$

Solowin malli , joka tunnetaan myös Solow'n Kasvumalli tai Solowin kasvun malli , on malli kehittämä jonka Robert Merton Solow ja Trevor Swan- 1956 , joka auttaa selittämään taloudellisen kasvun talouden matemaattisesti. Se edustaa eksogeenistä kasvumallia ja muodostaa perustan uusklassiselle kasvuteorialle . Erityisen houkuttelevien matemaattisten ominaisuuksiensa ja matemaattisen yksinkertaisuutensa ansiosta Solow-malli osoittautui sopivaksi lähtökohdaksi monenlaisille laajennuksille.

Kenraali

Solowin malli selittää kasvun prosessina kertymisen fyysisen pääoman kohti pitkän aikavälin tasapaino välillä investointien ja poistojen , ns kasvua tasapainossa tai vakaassa tilassa ( Englanti vakaassa tilassa ). Mallin ytimessä on yhdistetty uusklassinen tuotantofunktio , joka on pääosin Cobb-Douglas -tyyppiä ja jonka avulla makrotaloudellinen malli voi "luoda yhteyden mikrotalouteen ". Talous alussa vähän pääomaa varustettu on säästää jopa mallissa ja kasvattaa siten lisäpääoman - aluksi suuri, yhä kartuttamiseen , kunnes pitkän aikavälin - niin alhaisen kasvun tasapaino saavutetaan. Pitkän aikavälin tasapainossa asukaskohtaisen tuotannon kasvu on nolla. Lisäkasvu on mahdollista vain ( eksogeenisen ) teknologisen kehityksen kautta , jota ei selitetä mallissa , koska sillä on se ominaisuus, että se voittaa marginaalituottojen laskun rajoituksen.

Alkuperähistoria

Solow ja Swan kehittivät itsenäisesti samanlaiset versiot kasvumallistaan; Solow julkaisi artikkelinsa Quarterly Journal of Economicsissa helmikuussa 1956 , Swanin artikkeli ilmestyi marraskuussa Economic Record -lehdessä . Vaikka Swanin artikkeli oli alun perin erittäin ammattitaitoinen - osallistuminen sisällytettiin useita kertoja antologioihin ja Swan kutsuttiin useisiin yliopistoihin vierailevana professorina - Solowin malli mallista ja erityisesti hänen valitsemastaan ​​graafisesta esityksestä vallitsi pitkällä aikavälillä. Solow kehitti myöhemmin monia tämän mallin vaikutuksia ja sovelluksia ja sai vuoden 1987 taloustieteen Nobelin palkinnon panoksestaan ​​kasvuteoriaan.

Solow-Swan-malli oli kritiikki ja jatkokehitys Harrod-Domar- kasvumallille, joka oli vallitsevaa tuolloin . Samoin kuin Solow-malli, Harrod-Domar-malli otti myös vakaan, eksogeenisen säästöasteen. Malli perustui kuitenkin myös pääoman jatkuvaan rajatuottavuuteen ja tuotantofunktioon, jossa työvoiman ja pääoman välillä ei ole juurikaan korvattavuutta. Harrod-Domar-malli sallii useita erilaisia ​​kasvutasapainoja: yhdessä mahdollisessa tilanteessa pääoma kasvaa käyttämättä, toisessa työttömyys kasvaa . Kasvutasapaino johtaa siihen, että kaikkia käytettävissä olevia tuotantokertoimia käytetään vain yhdessä parametrikokonaisuudessa .

Malli

Oletukset

Solow-mallissa taloutta pidetään aggregaattiyksikkönä (niin sanotusti yhtenä kotitaloutena), joka harjoittaa kaikkea tuotanto- ja kulutustoimintaa. Lisäksi valtion olemassaolo abstraktioidaan ja oletetaan, ettei sillä ole rahallisia vaikutuksia, so. H. kaikkien tavaroiden hinnat normalisoidaan 1: een . Kulloinkin tietyllä ajankohdalla taloudella on tietty määrä pääomaa ( ), työvoimaa ( ) ja tekniikkaa ( ), joista tuotanto tapahtuu tuotantofunktion ( ), tuotoksen ( ) mukaisesti:${\ displaystyle (p \ equiv 1)}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle L}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle Y}$

${\ displaystyle Y_ {t} = F (K_ {t}, T_ {t} \ cdot L_ {t})}$

Tuotetta kutsutaan tehokkaaksi työksi . Tuotantofunktion oletetaan olevan uusklassinen , ts. Sillä on seuraavat neljä ominaisuutta: ${\ displaystyle T_ {t} \ cdot L_ {t}}$${\ displaystyle F}$

1. Tuotantotekijöiden olennaisuus . Tuotantokerrointa kutsutaan välttämättömäksi, jos ilman sitä käytetään tuotos aina 0:

   ${\ displaystyle F (K_ {t} = 0, T_ {t} L_ {t}> 0) = 0, \; \; F (K_ {t}> 0, T_ {t} L_ {t} = 0) = 0}$

2. Jatkuva paluu asteikon tai ensimmäisen asteen homogeenisuuteen tehokkaassa työssä ja pääomassa. Taloudellisesti tämä tarkoittaa: Näiden tuotantotekijöiden lisääntynyt / vähentynyt käyttö johtaa lisääntyneeseen / vähentyneeseen tuotantoon samassa suhteessa:

   ${\ displaystyle F (\ lambda K_ {t}, \ lambda T_ {t} L_ {t}) = \ lambda F (K_ {t}, T_ {t} L_ {t})}$

3. Positiiviset ja laskevat marginaalituotot:
   
   Marginaalinen tuotto pääoman ja tehokas työvoima ovat positiivisia, mutta vähenee, kun kerroin kasvaa. Esimerkiksi, jos käytetään tehokkaampaa työtä, tuotanto kasvaa, mutta se nousee vähemmän, jos paljon tehokasta työtä jo käytetään. Matemaattisesti tämä tarkoittaa, että tuotantofunktion ensimmäiset osittaiset johdannaiset efektiivisen työvoiman ja pääoman mukaan ovat positiivisia, mutta vastaavat toiset johdannaiset ovat negatiivisia:

   ${\ displaystyle {\ frac {\ osittainen F} {\ osittainen K_ {t}}}> 0, \; \; {\ frac {\ osallinen ^ {2} F} {\ osittainen K_ {t} ^ {2} }} <0}$

   ${\ displaystyle {\ frac {\ osittainen F} {\ osittainen (T_ {t} L_ {t})}}> 0, \; \; {\ frac {\ osallinen ^ {2} F} {\ osittainen (T_ {t} L_ {t}) ^ {2}}} <0}$

4. Niin sanottujen Inada-ehtojen on täytyttävä, ts. Tämä tarkoittaa, että jokaisen tuotantotekijän rajatuotto lähenee kohti ääretöntä, jos vain annetaan kyseisen tekijän panos pyrkiä kohti nollaa. Toisaalta, jos asianomaisen tekijäsyötteen annetaan pyrkiä kohti ääretöntä, tekijän rajatuotto lähenee kohti nollaa:

   ${\ displaystyle \ lim _ {K_ {t} \ - 0} {\ frac {\ osittainen F} {\ osittainen K_ {t}}} = \ infty \ quad {\ textrm {ja}} \ quad \ lim _ { K_ {t} \ - \ infty} {\ frac {\ osa F} {\ osittainen K_ {t}}} = 0}$

   ${\ displaystyle \ lim _ {L_ {t} \ - 0} {\ frac {\ osittainen F} {\ osittainen (T_ {t} L_ {t})}} = \ infty \ quad {\ textrm {ja}} \ quad \ lim _ {L_ {t} \ - \ infty} {\ frac {\ osittainen F} {\ osittainen (T_ {t} L_ {t})}} = 0}$

Taloudelliselta kannalta tämä tarkoittaa, että tietyllä tekniikalla taloudessa tuotosta ei voida lisätä haluamalla lisäämällä työvoimapanosta (tai pääomapanosta) yhä enemmän. Siten uusklassisen tuotantotoiminnon ollessa ilman teknistä kehitystä positiivinen tulojen kasvu ei ole mahdollista pitkällä aikavälillä, jos Inadan ehdot täyttyvät.

Yksinkertaisimmassa muodossaan Solow-malli liittyy myös suljettuun talouteen, jossa ei ole valtion toimintaa . Tulojen ja tuotannon on vastattava tällaisessa taloudessa, joten tuotantoa voidaan käyttää joko kulutukseen tai investointeihin (tuotannon käyttöyhtälö):

${\ displaystyle Y_ {t} = C_ {t} + I_ {t}}$

Lisäksi bruttoinvestoinnit ovat täsmälleen mitä talous säästää jälkikäteen : (ks. Myös Sijoitukset ja säästöt ). Suljetussa taloudessa näin on . Talouden säästökäyttäytymistä mallinnetaan vakio säästöasteella ( ): missä 0 ja 1. Siksi talous säästää tietyn prosenttiosuuden kunkin ajanjakson kokonaistuotannosta. Tämän ajan mittaan vakaan säästösuhteen oletetaan olevan eksogeeninen parametri, jota ei määritetä mallissa. Tiivistetyt tulokset ovat voimassa: ${\ displaystyle S_ {t} \ equiv I_ {t}}$${\ displaystyle S_ {t} = Y_ {t} -C_ {t}}$${\ displaystyle s = \ mathrm {const.}}$${\ displaystyle S_ {t} = s \ cdot Y_ {t}}$${\ displaystyle s}$${\ displaystyle s}$

Likimääräinen tasa-arvo ja pysyvyys säästöissä ja sijoitusasteissa.

${\ displaystyle Y_ {t} = C_ {t} + I_ {t} = C_ {t} + S_ {t} = C_ {t} + sY_ {t}}$ Kanssa ${\ displaystyle s \ in [0,1]}$

Kaksi muuta oletusta koskee pääomaa ja työvoimaa: Pääoman osalta oletetaan, että jokaisella ajanjaksolla tietty prosenttiosuus olemassa olevasta pääomasta muuttuu käyttökelvottomaksi (poistot), kun taas työikäinen väestö kasvaa eksponentiaalisesti tasaisella kasvunopeudella . Lisäksi oletetaan, että säästöaste , oletetun säästämisen ja sijoittamisen yhdenmukaisuuden vuoksi , vastaa sijoitusastetta . Tämä ei kuitenkaan ole rajoittava oletus, koska todellisuudessa nämä kaksi kiintiötä ovat suunnilleen yhtä suuret ajan mittaan. ${\ displaystyle \ delta}$${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle s}$ ${\ displaystyle \ gamma}$

Kasvuprosessi

Kasvavan väestön talouksien analysoimiseksi ja erikokoisten talouksien paremman vertailukelpoisuuden varmistamiseksi mallikokoja ei ilmoiteta absoluuttisina lukuina, vaan asukasta kohden, ja henkeä kohden käytetään pieniä kirjaimia. Yksi määrittelee vastaavasti:

${\ displaystyle y_ {t} \ equiv {\ frac {Y_ {t}} {L}} = {\ frac {F (K_ {t}, T_ {t} L)} {L}} = F \ vasen ( {\ frac {K_ {t}} {L}}, T_ {t} \ oikea)}$,

missä viimeinen yhtälö seuraa oletuksesta, että vakio palaa mittakaavaan .

Oletuksena, että tekniikka on vakio , tuotanto henkeä kohti voidaan sitten määritellä pääomalla henkeä kohti${\ displaystyle T_ {t}}$${\ displaystyle k_ {t} \ equiv K_ {t} / L}$

${\ displaystyle f (k_ {t}) \ equiv F \ vasen ({\ frac {K_ {t}} {L}}, T_ {t} \ oikea)}$.

Jokaisen asukasta kohden lasketun pääoman osalta tämä osoittaa, kuinka paljon tuotantoa tuotetaan henkeä kohti. Asukaskohtainen pääomakanta on siis ratkaiseva asukaskohtaisten tulojen kehityksessä . ${\ displaystyle k_ {t}}$

Sen kehityksen määrää kolme tekijää:

1. Kullakin ajanjaksolla talous säästää osan asukaskohtaisista tuloistaan: ${\ displaystyle sy_ {t} = sf (k_ {t})}$
2. Jokaisella jaksolla osa asukasta kohden lasketusta pääomasta muuttuu käyttökelvottomaksi${\ displaystyle \ delta \ in (0,1)}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle - \ delta k}$
3. Kullakin ajanjaksolla väestö kasvaa eksponentiaalisesti eksogeenisellä nopeudella , joten lisää työntekijöitä on aktivoitava pitämään pääoman asukasta kohden vakiona:${\ displaystyle n}$${\ displaystyle L (t) = L (0) e ^ {nt}}$

Asukasta kohti lasketun pääomakannan muutos kullakin kaudella on siis seuraava:

Solow-mallin perusyhtälö väestönkasvun kanssa:

${\ displaystyle {\ dot {k}} _ {t} = \ color {Green} sf (k_ {t}) - \ color {Red} (n + \ delta) k_ {t}}$

• ${\ displaystyle {\ dot {k}} _ {t}}$: Muutos Pääomaintensiteetin ajan
• ${\ displaystyle sf (k_ {t})}$: Bruttoinvestoinnit asukasta kohti
• ${\ displaystyle (n + \ delta) k_ {t}}$: Laajennetut poistot asukasta kohti
• ${\ displaystyle sf (k_ {t}) - (n + \ delta) k_ {t}}$: Nettoinvestointi asukasta kohti

Jos se on positiivinen, asukaskohtainen pääomakanta ja sen myötä asukasta kohti lasketut tulot kasvavat. Jos se on negatiivinen, pääoma henkeä kohti ja tuotanto kutistuvat. Muodollisesti tämä tarkoittaa: ${\ displaystyle {\ dot {k}} _ {t}}$${\ displaystyle {\ dot {k}} _ {t}}$

${\ displaystyle sf (k_ {t})> (n + \ delta) k_ {t} \ Rightarrow {\ piste {k}} _ {t}> 0}$ (Pääomaintensiteetti ja tulot asukasta kohti kasvavat)

${\ displaystyle sf (k_ {t}) <(n + \ delta) k_ {t} \ Rightarrow {\ piste {k}} _ {t} <0}$ (Pääomaintensiteetti ja tulot asukasta kohti kutistuvat)

Pitkällä aikavälillä - talouden kasvutasapainotasolla - on sovellettava, että investoinnit vastaavat tarkalleen pääomamallin heikkenemistä (ottaen huomioon väestönkasvu ), ts. Tämä tarkoittaa, että pääomakanta asukasta kohti on vakio ajan myötä ( ): ${\ displaystyle {\ piste {k}} = 0}$

${\ displaystyle sf (k_ {t}) - (n + \ delta) k_ {t} = 0 \ Vasen oikeanpuoleinen nuoli sf (k_ {t} ^ {*}) = (n + \ delta) k_ {t} ^ {* }}$

Tämän yhtälön tyydyttävä asukaskohtainen pääomakanta on talouden kasvutasapainokanta ( ). Edellä mainitut tuotantofunktion oletukset (jatkuva mittakaavan paluu, positiiviset, laskevat marginaalituotot ja Inada-olosuhteet) takaavat selkeän kasvutasapainon olemassaolon.${\ displaystyle k_ {t}}$${\ displaystyle k_ {t} ^ {*}}$

Kuva 1. Solow-mallin graafinen esitys väestönkasvulla: Lähtöpisteestä riippumatta pääomaintensiteetti lähenee tasapainopääoma-intensiteettiä.

Tämä voidaan esittää graafisesti kaaviona, jossa pääoma henkeä kohden on vaakasuorassa ja tulot henkeä kohden pystysuoralla akselilla: oletusten mukaan se on kovera funktio, samoin kuin taloudellinen säästöfunktio . Käyrä on suora viiva, joka osoittaa, kuinka paljon on tallennettava pitää kiinni asukaskohtaiset pääomakanta vain vakio ja on siksi myös nimellä investointikysyntä linja ( Englanti vaatimus linja nimetty). Säästöfunktion ja sijoitusvaatimusrivin välinen risteys määrittää pääomakannan pitkän aikavälin tasapainotason (kasvutasapainon), jossa säästetään vain niin paljon, että pääomakanta pysyy vakiona poistosta ja väestönkasvusta huolimatta. Kun tämä pääomakanta saavutetaan, kasvuvauhti on nolla ja tuotos henkeä kohti, tulot ja pääoma ovat muuttumattomia ajan mittaan.${\ displaystyle f (k_ {t})}$ ${\ displaystyle sf (k_ {t})}$${\ displaystyle (n + \ delta) k_ {t}}$

Jos asukasta kohti laskettu pääoma on alle pitkän aikavälin tasapainotason, talous kasvaa ja saavuttaa lopulta pitkän aikavälin tasapainon asymptoottisesti. Kasvuvauhti hidastuu edelleen pääomakannan kasvaessa - tämä vaikuttaa olettamukseen, että pääoman marginaalituotot laskevat. Solow-malli ennustaa täten, että ceteris paribus -järjestön mukaan taloudet, joiden pääomakanta asukasta kohti on pienempi, kasvavat nopeammin kuin korkean pääoman omaavat.

Lähentyminen tasapainoon

Kuva 2. Graafinen esitys muutoksen Pääomakannan asukasta kohden ajan , joka - kaavion${\ displaystyle t}$${\ displaystyle {\ dot {k}} _ {t} -k_ {t}}$

Alueella, jolla investoinnit ( ) ovat suurempia kuin poistot ( ), nettoinvestoinnit ovat positiivisia ja siten pääomaintensiteetti kasvaa ajan myötä . Päinvastoin, nettoinvestoinnit alueella, jolla investoinnit ovat pienempiä kuin poistot, ovat negatiivisia ja siten pääomaintensiteetti pienenee ajan myötä . Tämän seurauksena järjestelmä on maailmanlaajuisesti vakaa ; ts. minkä tahansa alkuarvon ( ) osalta talous lähentyy kasvutasapainoon ( ) (maailmanlaajuinen vakaus): ${\ displaystyle sf (k_ {t})}$${\ displaystyle \ delta k_ {t}}$${\ displaystyle {\ dot {k}} _ {t}> 0}$${\ displaystyle {\ piste {k}} _ {t} <0}$${\ displaystyle k (0)> 0}$${\ displaystyle k ^ {*}}$

${\ displaystyle {\ dot {k}} _ {t}> 0 \; \; \ kaikki \; \; k_ {t} <k ^ {*}}$

${\ displaystyle {\ dot {k}} _ {t} <0 \; \; \ forall \; \; k_ {t}> k ^ {*}}$

Eksogeenisten parametrien muutokset

Pitkän aikavälin kasvutasapainokanta ( ) määräytyy, kuten edellä todettiin${\ displaystyle k ^ {*}}$

${\ displaystyle sf (k_ {t} ^ {*}) = (\ delta + n) k_ {t} ^ {*}}$.

Säästötasoa , poistoprosenttia ja väestönkasvua pidetään eksogeenisina parametreina, joita ei määritetä mallissa. Näiden muuttujien muutoksilla on kuitenkin vaikutusta talouden pitkän aikavälin tasapainoon. ${\ displaystyle s}$${\ displaystyle \ delta}$${\ displaystyle n}$

Väestön kasvu ja poistot

Kuva 3. Väestön nopeamman kasvun ( ) vaikutus pitkän aikavälin tasapainoon.${\ displaystyle n_ {1}}$

Nopeammalla väestönkasvulla (suurempi ) tai suuremmalla poistolla (suuremmalla ) on samat vaikutukset mallin pitkän aikavälin tasapainotasoon: Ne lisäävät investointivaatimusrivin kaltevuutta ja pienentävät siten pääomakantaa ja tuloja asukasta kohti: kullakin ajanjaksolla enemmän työntekijöille on tarjottava pääomaa (tai enemmän pääomaa on korvattava), jotta vähemmän pääomaa asukasta kohti muodostuu samalla säästötavalla ja samalla tuotantotekniikalla. Kuvassa 3 on graafisesti esitetty, kuinka pitkän aikavälin tasapaino reagoi väestön lisääntyneeseen kasvuun: musta säästöfunktiorivi pysyy muuttumattomana, investointivaatimusviiva, jonka kaltevuus (punainen) pyörii alkuperän ympäri. Uusi pitkän aikavälin tasapaino syntyy muuttuneen sijoitusvaatimuslinjan ja säästöfunktion leikkauspisteestä, ja sille on ominaista alempi asukaskohtainen pääoma ja tuotot kuin edellinen tasapaino . Koska uusi pääomakannan sijoitusvaatimusrivi on korkeampi kuin , pääomaa säästetään liian vähän - talous kutistuu ( ). Tämä prosessi jatkuu, kunnes uusi tasapainotaso kohdassa (uuden sijoitusvaatimuslinjan ja säästökäyrän leikkauspiste :) saavutetaan. Uudessa tasapainossa asukasta kohti laskettu pääoma on tasapainoa pienempi ja tuotannon taso asukasta kohti on pienempi . ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle \ delta}$${\ displaystyle (n + \ delta)}$${\ displaystyle \ mathrm {B}}$${\ displaystyle \ mathrm {A}}$${\ displaystyle k_ {0}}$${\ displaystyle sy_ {0}}$${\ displaystyle {\ piste {k}} _ {t} <0}$${\ displaystyle \ mathrm {B}}$${\ displaystyle (n_ {1} + \ delta) k = sy}$${\ displaystyle \ mathrm {B}}$${\ displaystyle k_ {1}}$${\ displaystyle y_ {1}}$

Säästöaste ja kertynyt kultainen sääntö

Kuva 4. Suuremman säästöasteen ( ) vaikutus pitkän aikavälin tasapainoon.${\ displaystyle s_ {1}}$

Säästöasteen nousu työntää talouden säästökäyrää ylöspäin, mikä johtaa kasvutaseeseen asukasta kohti ja siten myös asukasta kohti. Kuva 4 havainnollistaa tätä graafisesti: Säästöasteen kasvu siirtää säästöfunktion alkuperäisestä sijainnistaan ​​(musta) ylöspäin, kun taas sijoitusvaatimusrivi (punainen) pysyy muuttumattomana. Uusi tasapaino syntyy sijoitusvaatimuslinjan ja uuden säästöfunktion leikkauspisteestä, ja sillä on suurempi pääomakanta ja korkeammat tulot asukasta kohden. ${\ displaystyle \ mathrm {B}}$

Tällaisen kasvun vaikutus kulutukseen ei ole selvä: toisaalta enemmän syntyy pitkän aikavälin tasapainossa, toisaalta korkeammilla säästöillä kulutus asukasta kohti on pienempi. Graafisesti kulutus asukasta kohden tietylle pääomalle henkeä kohti vastaa pystysuoraa etäisyyttä tuotantofunktion ja säästöfunktion välillä samalla asukasta kohden; In Fig. 4 tämä on pystysuora etäisyys punainen ja vihreä linjat. Tämä osoittaa, miksi vaikutus kulutukseen on pohjimmiltaan määrittelemätön: Vaikka uusi tasapaino osoittaa korkeamman tuotannon asukasta kohden pisteinä, uusi säästötoiminto on myös lähempänä tuotantofunktiota. ${\ displaystyle (1 s) y}$${\ displaystyle \ mathrm {B}}$

Kertymisen kultainen sääntö kuvaa säästötasoa taloudessa, joka maksimoi vakaan tilan kulutuksen:

${\ displaystyle s ^ {\ mathrm {kulta}} \ equiv {\ alaviiva {s} {\ operaattorin nimi {arg \, max}}} \ vasen \ lbrace \ väri {vihreä} f (k ^ {*} (s) ) - \ color {Punainen} (n + \ delta) k ^ {*} (s) \ right \ rbrace}$.

Kuva 5. Tässä kaaviossa esitetään, kuinka pääomakanta ja siihen liittyvän säästämisaste maksimoida talouden pitkän aikavälin tasapainoa kulutusta . Enimmäismäärä on .${\ displaystyle k ^ {\ mathrm {kulta}}}$${\ displaystyle s ^ {\ mathrm {kulta}}}$ ${\ displaystyle c ^ {*}}$${\ displaystyle c ^ {\ mathrm {kulta}}}$

Pitkän aikavälin tasapainossa seuraavia on sovellettava kaikkiin säästöasteisiin . Samaan aikaan tasapainoon liittyvä kulutustaso saadaan . Tästä syystä tasapainokulutusta voidaan kuvata säästöasteen funktiona: ${\ displaystyle s}$${\ displaystyle k ^ {*}}$${\ displaystyle sf (k ^ {*}) = (n + \ delta) k ^ {*}}$${\ displaystyle c ^ {*} (s) = (1-s) f (k ^ {*})}$

${\ displaystyle c ^ {*} (s) = f (k ^ {*} (s)) - (n + \ delta) k ^ {*} (s)}$

Tämä voidaan sitten maksimoida ja saada aikaan ensiluokkainen edellytys ( välttämätön ehto ): ${\ displaystyle s}$

${\ displaystyle {\ frac {\ partitio c ^ {*} (s)} {\ osittainen s}} = [f '(k ^ {*} (s)) - n- \ delta] {\ frac {\ mathrm {d} k ^ {*} (s)} {\ mathrm {d} s}} \; {\ overset {\ mathrm {!}} {=}} \; 0}$,

missä , jotta ehtoa voidaan yksinkertaistaa tai (pääoman nettomarginaalituote on yhtä suuri kuin väestönkasvu). Tämän yhtälön tyydyttävä pääomakanta ja siihen liittyvä säästöaste maksimoivat talouden pitkän aikavälin tasapainokulutuksen (ks. Kuva 5 ). Vaikka tällä tavoin löydetty säästöaste maksimoi tasapainokulutuksen, ei ole selvää, onko tämä talouden kannalta toivottavaa. Tasapainossa olevan talouden kannalta säästöasteen nousu korkeammalle kulutustasolle tarkoittaa pitkällä aikavälillä, mutta vasta uuden tasapainon saavuttamisen jälkeen. ${\ displaystyle \ mathrm {d} k ^ {*} / \ mathrm {d} s> 0}$${\ displaystyle f '(k ^ {*}) = (n + \ delta)}$${\ displaystyle {\ text {GPK}} - \ delta = n}$${\ displaystyle k ^ {\ mathrm {kulta}}}$${\ displaystyle s ^ {\ mathrm {kulta}}}$${\ displaystyle s <s ^ {\ mathrm {kulta}}}$${\ displaystyle s ^ {\ mathrm {kulta}}}$

Ensimmäisinä säästöasteen nousun jälkeisinä aikoina kulutus vähenisi aluksi (koska säästämisastetta nostetaan, mutta uutta kasvutasapainoa varten ei ole vielä muodostettu riittävästi pääomaa, minkä seurauksena tuotanto on edelleen vähäistä uuteen verrattuna kasvutasapaino). Riippuen siitä, kuinka paljon taloutta painotetaan nykyiseen verrattuna tulevaan kulutukseen, ei ehkä ole toivottavaa lisätä säästöastetta tänään ( lyhyellä aikavälillä ) uuden tasapainon saavuttamiseksi korkeammalla kulutuksella pitkällä aikavälillä. Tapaus on erilainen, jos nykyinen säästöaste on. Tässä tapauksessa tasapaino korkeamman kulutuksen kanssa voitaisiin saavuttaa vähentämällä säästöastetta eli kuluttamalla enemmän. Tämän seurauksena talous kuluttaa yhä enemmän uudessa tasapainossa ja myös aiempina ajanjaksoina. Siksi tilannetta kutsutaan dynaamisesti tehottomaksi .${\ displaystyle s> s ^ {\ mathrm {kulta}}}$${\ displaystyle s> s ^ {\ mathrm {kulta}}}$

Kuviot 6 ja 7 esittävät graafisesti, kuinka erilaiset säästöasteen muutokset voivat vaikuttaa. In Fig. 6 , säästöt nousee perustuu alkuperäisen, dynaamisesti tehokas tasapaino. Lisäys johtaa positiiviseen pääoman kasvuun ja siten pääoman ja tulojen kasvuun asukasta kohti. Pääoman kasvu hidastuu pääoman kertymisen kasvaessa ja lähestyy nolla asymptoottisesti. Talous saavuttaa uuden tasapainon, jossa pääoma, tulot ja kulutus asukasta kohti ovat korkeammat. Prosessin alussa tämä korkeampi taso on kuitenkin pitkällä aikavälillä "ostettava" pienemmällä kulutuksella. Se, onko tällainen säästöasteen muutos toivottavaa kansantalouden kannalta, riippuu siitä, miten varhainen kulutustappio arvioidaan myöhempään kulutuksen voittoon nähden. In Fig. 7 , säästöt määrä vähenee perustuu dynaamisesti tehoton, eli liian korkea, sästämisaste. Vähennys johtaa negatiiviseen pääoman kasvuun ja siten pääoman ja tulojen laskuun henkeä kohti. Pääoman supistuminen vähenee pääoman kertymisen kasvaessa ja pyrkii asymptoottisesti kohti nollaa. Talous saavuttaa uuden tasapainon, jossa pääoma ja tulot asukasta kohden ovat pienemmät. Pitkäaikainen kulutus asukasta kohti on kuitenkin suurempi, koska vähemmän säästetään. Suurin ero dynaamisesti tehokkaaseen tilanteeseen on, että kulutus ei ole vain korkeampi pitkällä aikavälillä, vaan myös kasvun jokaisena ajanjaksona. Alentamalla säästämisastetta talous voi kuluttaa enemmän vain pitkällä aikavälillä, mutta myös välittömästi. Huolimatta varhaisen tai myöhemmän kulutuksen arvioinnista, kun säästöaste ylittää "kultaisen" säästöasteen, säästöasteen alentaminen on ehdottomasti toivottavaa talouden kannalta.

• 

  Kuva 6. Säästöasteen kasvu dynaamisesti tehokkaan tilanteen perusteella. Määritetyt arvot näkyvät vastaavassa pystyakselissa, vaaka-akseli näyttää ajan. Säästöasteen muutos tapahtuu tietyn ajan kuluessa . ${\ displaystyle 100}$

• 

  Kuva 7. Säästöasteen alentaminen dynaamisesti tehottoman tilanteen perusteella. Määritetyt arvot näkyvät vastaavassa pystyakselissa, vaaka-akseli näyttää ajan. Säästöasteen muutos tapahtuu tietyn ajan kuluessa . ${\ displaystyle 100}$

Tekninen kehitys

Teknologinen kehitys siirtää tuotantofunktion ja siten myös säästöfunktion kaaviossa ylöspäin ; uusi risteys sijoitusvaatimuslinjan kanssa on siten korkeampi asukasta kohti laskettu pääoma ja tulotaso. Tekninen kehitys voi siis johtaa kasvuun myös pitkällä aikavälillä.${\ displaystyle kf (k)}$

Kun tekninen kehitys kertoo tuotantotekijätyövoiman, ja kohdassa 1.1 esitettyjen oletusten mukaan tuotantofunktio voidaan jakaa tekijällä . Aiemmin käytetyn asukaskohtaisen tuotannon sijaan tämä johtaa tuotantoon efektiivistä työyksikköä (tehokkuusyksikköä kohti) riippuen pääomakannasta efektiivistä työyksikköä kohti: ${\ displaystyle Y_ {t} = F (K_ {t}, T_ {t} L_ {t})}$${\ displaystyle T_ {t} \ cdot L_ {t}}$

${\ displaystyle {\ tilde {y}} _ {t} \ equiv {\ frac {Y_ {t}} {T_ {t} L_ {t}}} = F \ vasen ({\ frac {K_ {t}} {T_ {t} L_ {t}}}, 1 \ oikea) \ equiv f \ vasen ({\ tilde {k}} _ {t} \ oikea)}$

Kuten aiemmin, investointitarve tosiasiallista työyksikköä kohti johtuu poistoprosentista ja väestönkasvusta; Nyt on kuitenkin myös korvattava tekniikan kehityksestä johtuva lisääntynyt työn tuottavuus : Teknologinen kehitys johtaa tosiasiallisten työyksikköjen kasvuun (tuote kasvaa), joten pääoma efektiivistä työyksikköä kohti vähentää ceteris paribus. Jos oletetaan eksponentiaalinen teknologian kasvu ja kasvuvauhti , sijoitusvaatimuslinja pääomaa kohti efektiivistä työyksikköä kohti on . Liikeyhtälö varten pääoman per tehokas yksikkö työ on näin: ${\ displaystyle T_ {t} \ cdot L_ {t}}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle (\ delta + n + g) {\ tilde {k}} _ {t}}$

Solow-mallin perusyhtälö väestönkasvun ja tekniikan kehityksen kanssa:

${\ displaystyle {\ dot {\ tilde {k}}} _ {t} = \ color {Green} sf ({\ tilde {k}} _ {t}) - \ color {Red} (\ delta + n + g) {\ tilde {k}} _ {t}}$

Pitkän aikavälin tasapaino saavutetaan, kun pääoma efektiivistä työyksikköä kohti on vakio, ts.

${\ displaystyle sf ({\ tilde {k}} _ {t}) = (\ delta + n + g) {\ tilde {k}} _ {t}}$

Pääomakanta ja siten myös tulo efektiivistä työyksikköä kohden eivät kasva pitkän aikavälin tasapainossa. Tulot asukasta kohti lasketaan kuitenkin

${\ displaystyle y_ {t} \ equiv Y_ {t} / L_ {t} = [Y / T_ {t} L_ {t}] \ cdot T_ {t} = {\ tilde {y}} _ {t} T_ {t}}$.

Se kasvaa samalla nopeudella kuin talouden tekniikka . Asukaskohtaisten kokojen kasvu pitkäaikaisessa tasapainossa on siten mahdollista, mutta vain eksogeenisen teknologisen kehityksen vuoksi.${\ displaystyle g}$

Esimerkki: Solow-malli, jossa on Cobb-Douglas -tuotantotoiminto

Mahdollinen tuotantofunktio, joka täyttää yllä esitetyt oletukset, on seuraava Cobb-Douglas-funktio :

${\ displaystyle Y_ {t} = T \ cdot K_ {t} ^ {\ alpha} L_ {t} ^ {1- \ alpha}}$ Kanssa ${\ displaystyle \ alfa \ sisään (0,1)}$

Milloin tahansa, tuotanto tuotetaan taloudessa käyttämällä tuotantotekijöitä, työvoimaa ja pääomaa tietyn tekniikan tason avulla . Rajoitus tuotannon jousto pääoman on, että se on oltava välillä ja . Joten sama rajoitus seuraa työvoiman tuotannon joustavuutta . Kun tuotantofunktio on jaettu populaation koon mukaan, saat version asukasta kohden . Sitten lasketaan asukasta kohti lasketun pääomakannan (pääoman kertymisyhtälö) liikeyhtälö ${\ displaystyle L}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle 1}$${\ displaystyle (1- \ alfa)}$${\ displaystyle y_ {t} = T \ cdot k_ {t} ^ {\ alpha}}$

${\ displaystyle {\ dot {k}} _ {t} = \ color {Green} sTk_ {t} ^ {\ alpha} - \ color {Red} (n + \ delta) k_ {t}}$.

Pitkäaikainen tasapaino syntyy, kun tämä muutos on nolla ja siten

${\ displaystyle sTk_ {t} ^ {\ alpha} = (\ delta + n) k_ {t} \ Vasenkätinen nuoli k_ {t} ^ {1- \ alpha} = {\ frac {sT} {\ delta + n}} }$,

ja pätee sitten tasapainotettuun pääomaintensiteettiin

${\ displaystyle k ^ {*} = \ vasen ({\ frac {sT} {\ delta + n}} \ oikea) ^ {\ frac {1} {1- \ alpha}}}$.

Tällöin asukasta kohti laskettu tulo seuraa näin

${\ displaystyle y ^ {*} = T ^ {\ frac {1} {1- \ alpha}} \ vasen ({\ frac {s} {\ delta + n}} \ oikea) ^ {\ frac {\ alpha } {1- \ alfa}}}$

ja kulutus asukasta kohti kiinteässä tilassa ( ) pätee siten ${\ displaystyle c ^ {*} = (1-s) y ^ {*}}$

${\ displaystyle c ^ {*} = (1-s) T ^ {\ frac {1} {1- \ alpha}} \ vasen ({\ frac {s} {\ delta + n}} \ oikea) ^ { \ frac {\ alpha} {1- \ alpha}}}$.

Yhtälöä käyttämällä voidaan nähdä, että erot , ts. Erot tekniikan tasossa, säästöasteessa, poistoprosentissa, väestön kasvunopeudessa ja pääoman tuotannon joustavuudessa voivat selittää erot asukaskohtaisissa tuloissa (ainakin osittain). Koska korkeampi säästämisaste ja korkeamman teknologian johtaa suurempaan tasapainoon pääomakanta taas nopeampi väestönkasvu ja korkeamman arvon alenemiseen johtaa alempaan tasapainoa. ${\ displaystyle y ^ {*}}$${\ displaystyle T, s, \ delta, n, \ alfa}$${\ displaystyle \ alfa <1}$

Lisäksi voidaan osoittaa, että yllä oleva tuotantofunktio täyttää 1.1 kohdassa mainitut oletukset:

1. Jatkuva paluu mittakaavaan:

Vakioasteikon palautumisen ominaisuus täyttyy:

${\ displaystyle {\ begin {tasattu} F (\ lambda K_ {t}, \ lambda L_ {t}) & = T \ cdot (\ lambda K_ {t}) ^ {\ alpha} (\ lambda L_ {t} ) ^ {1- \ alpha} \\ & = T \ cdot \ lambda ^ {\ alpha} K_ {t} ^ {\ alpha} \ lambda ^ {1- \ alpha} L_ {t} ^ {1- \ alfa } \\ & = \ lambda T \ cdot K_ {t} ^ {\ alpha} L_ {t} ^ {1- \ alpha} = \ lambda F (K_ {t}, L_ {t}). \ end {tasattu }}}$

2. Positiiviset ja laskevat marginaalituotot:

Pääoman ja työvoiman rajatuotteet ovat positiivisia:

${\ displaystyle {\ text {GPA}} \ equiv {\ frac {\ osittainen F (K_ {t}, L_ {t})} {\ osittainen L_ {t}}} = (1- \ alfa) \ cdot T \ cdot K_ {t} ^ {\ alpha} L_ {t} ^ {- \ alpha}> 0}$

${\ displaystyle {\ text {GPK}} \ equiv {\ frac {\ osittainen F (K_ {t}, L_ {t})} {\ osittainen K_ {t}}} = \ alpha \ cdot T \ cdot K_ { t} ^ {\ alpha -1} L_ {t} ^ {1- \ alpha}> 0}$

Koska osittaiset johdannaiset voivat olla rajoituksen vuoksi vain positiivisia, voidaan nähdä, että tuotos kasvaa vastaavien syöttökertoimien kasvaessa. 2. asteen osittaisjohdannaiset antavat: ${\ displaystyle \ alfa \ sisään (0,1)}$

${\ displaystyle {\ frac {\ osittainen ^ {2} F (K_ {t}, L_ {t})} {\ osittainen L_ {t} ^ {2}}} = - \ alfa (1- \ alfa) \ cdot T \ cdot K_ {t} ^ {\ alpha} L_ {t} ^ {- \ alpha -1} <0}$

${\ displaystyle {\ frac {\ osal ^ {2} F (K_ {t}, L_ {t})} {\ osittainen K_ {t} ^ {2}}} = \ alfa (\ alfa -1) \ cdot T \ cdot K_ {t} ^ {\ alpha -2} L_ {t} ^ {- \ alpha} <0}$

Ne ovat negatiivisia kaikille panoksille, joten kasvuvauhti laskee (marginaalituotot laskevat). Voit siis sanoa, että kun panos kasvaa, lähtö kasvaa alle suhteellisesti .

3. Inadan ehdot täyttyvät:

${\ displaystyle \ lim _ {K_ {t} \ - 0} {\ frac {\ osittainen F (K_ {t}, L_ {t})} {\ osittainen K_ {t}}} = \ infty \ quad {\ textrm {ja}} \ quad \ lim _ {K_ {t} \ to \ infty} {\ frac {\ osittainen F (K_ {t}, L_ {t})} {\ osittainen K_ {t}}} = 0 }$

${\ displaystyle \ lim _ {L_ {t} \ - 0} {\ frac {\ osittainen F (K_ {t}, L_ {t})} {\ osittainen L_ {t}}} = \ infty \ quad {\ textrm {ja}} \ quad \ lim _ {L_ {t} \ to \ infty} {\ frac {\ osittainen F (K_ {t}, L_ {t})} {\ osittainen L_ {t}}} = 0 }$

Inada-olosuhteet tarkoittavat (yhdessä yllä olevien oletusten kanssa), että olemassa on täsmälleen vakaa tasapaino tasapainon kanssa , jossa pääoma on siten vakio ajan myötä. ${\ displaystyle k_ {t} \ in (0; \ infty)}$${\ displaystyle k ^ {*}}$${\ displaystyle {\ piste {k}} = 0}$

Eri säästöasteet

Seuraavassa vertailevaa staattista analyysia käytetään osoittamaan, kuinka säästöaste määrittää kunkin maan tulot asukasta kohti. Vertailun vuoksi käytetään kahta maata, jotka eroavat toisistaan ​​suuresti säästötasollaan, esim. B. Koreassa ja Ugandassa . Korean tapauksessa oletetaan säästöjen arvioitu arvio Ugandassa ja Ugandan osalta noin . Lisäksi pääoman tuottosuhde IS olettaa (empiirisesti, pääoman tuottosuhde useimmissa maissa on noin ). Jos vaikutukset henkeä kohti laskettuihin tuloihin osoitetaan, jos maat eroavat toisistaan ​​vain säästämisasteen suhteen, verrataan kahden maan tasapainoa asukasta kohti ( vertailevat tilastot ): ${\ displaystyle s_ {1} = \ color {BrickRed} 0 {,} 2}$${\ displaystyle s_ {2} = \ color {BrickRed} 0 {,} 05}$${\ displaystyle (\ alfa)}$${\ displaystyle \ color {BrickRed} 1/3}$${\ displaystyle \ color {BrickRed} 1/3}$

${\ displaystyle {\ frac {y_ {1} ^ {*}} {y_ {2} ^ {*}}} = {\ frac {T ^ {\ frac {1} {1- \ alpha}} \ vasen ( {\ frac {s_ {1}} {\ delta + n}} \ right) ^ {\ frac {\ alpha} {1- \ alpha}}} {T ^ {\ frac {1} {1- \ alpha} } \ vasen ({\ frac {s_ {2}} {\ delta + n}} \ oikea) ^ {\ frac {\ alpha} {1- \ alpha}}}}} = {\ frac {\ vasen ({\ frac {s_ {1}} {\ delta + n}} \ oikea) ^ {\ frac {\ alpha} {1- \ alpha}}} {\ vasen ({\ frac {s_ {2}} {\ delta + n}} \ oikea) ^ {\ frac {\ alpha} {1- \ alpha}}}} = \ vasen ({\ frac {s_ {1}} {s_ {2}}} \ oikea) ^ {\ frac {\ alpha} {1- \ alpha}}}$

Yllä olevassa esimerkissä tämä johtaa:

${\ displaystyle {\ frac {y_ {1} ^ {*}} {y_ {2} ^ {*}}} = \ vasemmalle ({\ frac {\ color {BrickRed} 0 {,} 2} {\ color { BrickRed} 0 {,} 05}} \ oikea) ^ {\ frac {\ color {BrickRed} 1} {\ color {BrickRed} 2}} = \ color {BrickRed} 2}$

Joten Solow-mallin mukaan Korea on kaksi kertaa niin rikas kuin Uganda. Korea on itse asiassa noin 13 kertaa rikkaampi. Tämän seurauksena tuloerot voidaan selittää vain osittain Solow-mallilla.

Empiiriset sovellukset

Kasvulaskenta

Solow-malliin liittyy läheisesti ns. Kasvun kirjanpito ( englanninkielinen kasvu kirjanpito ), jota Moses Abramovitz työnsi ja Robert Solow. Siinä tutkitaan, mikä osuus talouskasvusta voidaan selittää pääomalla, työvoimalla ja muilla tekijöillä. Lomakkeen yleisen tuotantofunktion osalta voidaan osoittaa, että kokonaistuotannon kasvu voidaan jakaa keinoin${\ displaystyle Y_ {t} = F (K_ {t}, L_ {t}, T_ {t})}$

${\ displaystyle {\ widehat {Y_ {t}}} - {\ widehat {L_ {t}}} = \ alpha _ {K_ {t}} \ vasemmalle ({\ widehat {K_ {t}}} - {\ widehat {L_ {t}}} \ oikea) + R_ {t}}$,

jossa osoittaa elastisuus tuotannon suhteen pääomaa. Tällä tavoin taloudellinen kasvu asukasta kohden voidaan jakaa asukaskohtaiseen kasvuun johtuen pääoman kerääntymisestä asukasta kohti ja toisesta additiivisesta termistä , niin sanotusta Solow-jäännöksestä . Tätä tulkitaan joskus tekniikan kehityksen vaikutukseksi kasvuun, mutta se on itse asiassa yhteinen termi kaikille talouskasvuun johtaville tekijöille, joita pääoman kertyminen ei vielä kata.${\ displaystyle \ alpha _ {K_ {t}}}$${\ displaystyle R_ {t}}$

lähentyminen

Jos talous on edelleen pitkän aikavälin tasapainotason alapuolella ja kasvaa, sitä alhaisempi on asukaskohtainen pääomakanta, sitä korkeampi sen kasvuvauhti. Solow-mallin mukaan taloudella, jolla on alun perin vähäinen pääoma asukasta kohden, kasvunopeudet ovat aluksi erittäin korkeat, jotka sitten laskevat pääoman kertymisen kasvaessa ja lopulta suuntaavat 0: aan. Kahden talouden osalta, joilla on sama tekniikka ja samat eksogeeniset parametrit (poistoprosentti, säästöaste, väestönkasvu) ja siten sama pitkän aikavälin tasapaino, mutta erilaiset alkuperäiset pääomavarat, malli ennustaa, että alun perin köyhempi talous kasvaa nopeammin ja siten "kiinni" alun perin rikkaammasta taloudesta tulee ( kiinniottovaikutus ). Tämä prosessi tunnetaan myös nimellä " lähentyminen". ${\ displaystyle \ beta}$

Absoluuttinen lähentyminen

Absoluuttisen lähentymisen mukaan kaksi maata, joilla on erilainen BKT ja pääoma asukasta kohden, mutta joilla on samat säästötaso, poistoprosentti, väestönkasvu ja teknisen kehityksen taso, yhtyvät pitkällä aikavälillä samalle pääomatasolle kanta ja BKT asukasta kohden (maat, joiden tulotaso on alun perin alhaisempi, kasvavat nopeammin marginaalituottojen laskun vuoksi). Yhteenvetona voidaan todeta, että maat kasvavat nopeammin, mitä kauempana ne ovat erityisestä pitkän aikavälin tasapainostaan. Mallin ennustuksena ei ole, että köyhät maat kasvavat nopeammin kuin rikkaat, vaan että "samanlaisten" maiden (maiden, joilla on samanlaiset parametrit) alun perin köyhemmät maat osoittavat suurempaa kasvua. OECD- maiden välillä on todellakin negatiivinen korrelaatio niiden asukaskohtaisten tulojen vuonna 1960 ja keskimääräisen vuotuisen kasvuvauhdin välillä vuosina 1960–2000. Vielä selvempi negatiivinen korrelaatio on Yhdysvaltojen osavaltioiden asukasta kohden vuonna 1880 ja niiden vuotuisen kasvun välillä vuosien 1880 ja 2000 välillä. Solow-malli ei kuitenkaan ennusta absoluuttista lähentymistä , jossa kaikki köyhät maat saavuttavat tasapuolisesti samanlaisen tasapainon. Hypoteesi on Solowin mallin sijaan ehdollinen lähentymistä.

Ehdollinen lähentyminen

Solow-mallissa taloudet yhdistyvät eri paikallisiin tiloihin edellyttäen, että niillä on eroja malliparametreissa. Jos maat eroavat kokonaistuottavuudesta, säästötasosta tai poistoprosentista, ne eroavat siten pitkän aikavälin tasapainostaan ​​(alueelliset paikalliset valtiot). Ehdollinen lähentyminen on usein empiiristä absoluuttisen sijasta.

Empiiriset tulokset

Toinen testi lähentyminen suoritettiin N. Gregory Mankiw , David Romer ja David N. Weil vuonna 1992. 98 maan otoksen perusteella ne osoittivat, että vuonna 1960 asukasta kohti laskettujen tulojen ja vuosien 1960 ja 1985 välisen kasvun välillä ei ollut korrelaatiota, toisin sanoen absoluuttista lähentymistä. Jos investointiasteeseen ja väestönkasvuun käytetään kuitenkin tilastollisia kontrolleja, ilmenee alkuperäisen tulotason negatiivinen vaikutus, joka tukee ehdollisen lähentymisen hypoteesia. Tavallinen Solow-malli yliarvioi lähentymisen nopeuden, ja todellinen kiinniotto on hitaampaa kuin malli ennustaa. Mankiw, Romer ja Weil pystyivät kuitenkin osoittamaan, että Solow-malli laajeni koskemaan inhimillistä pääomaa, koska kolmas tuotantotekijä ennustaa suunnilleen saman lähentymisnopeuden, joka näkyy myös tiedoissa. Tässä laajennetussa mallissa tuotantofunktio sisältää myös inhimillisen pääoman tekijän ja on: ${\ displaystyle H}$

${\ displaystyle Y_ {t} = K_ {t} ^ {\ alpha} H_ {t} ^ {\ beta} (T_ {t} L_ {t}) ^ {1- \ alpha - \ beta}}$kanssa .${\ displaystyle \ alpha + \ beta <1}$

Inhimillinen pääoma efektiivistä työyksikköä kohti kehittyy samanlaisen liikeyhtälön mukaan kuin pääoma efektiivistä työyksikköä kohden: ${\ displaystyle {\ tilde {h_ {t}}}}$

${\ displaystyle {\ dot {\ tilde {h}}} = \ color {Green} s_ {h} {\ tilde {y_ {t}}} - \ color {Red} (n + g + \ delta) {\ tilde {h_ {t}}}}$,

missä inhimillisen pääoman (myös ulkoisen) sijoitusaste tarkoittaa. Kasvun tasapainossa pääoma ja inhimillinen pääoma efektiivistä työyksikköä kohti ovat sitten vakiot. ${\ displaystyle s_ {h}}$

Kansainväliset ja historialliset tuloerot

Solow-mallin mukaan talouksien asukaskohtaisiin tuloeroihin on kaksi mahdollista syytä: erilaiset asukaskohtaiset pääomakannat ja erilainen työn tuottavuus. Asukaskohtainen pääomakanta ei kuitenkaan voi selittää suuria tuloeroja rikkaiden ja köyhien maiden välillä eikä kehittyneiden maiden välillä silloin ja nyt. Teollisuusmaiden tulot henkeä kohti ovat nyt noin kymmenen kertaa suuremmat kuin sata vuotta sitten; luonnolliset logaritmit tulot henkeä kohden tänään vuotta sitten siksi eroavat . Määritelmän mukaan asukaskohtaisten tulojen joustavuus suhteessa asukasta kohti seuraa seuraavaa . Tästä seuraa, että asukaskohtaisen pääoman ero ${\ displaystyle 100}$${\ displaystyle \ ln (10)}$${\ displaystyle \ alpha _ {K}}$${\ displaystyle \ alpha _ {K} \ equiv \ mathrm {d} \ log (y) / \ mathrm {d} \ log (k)}$${\ displaystyle \ mathrm {d} \ log (k) = \ mathrm {d} \ log (y) / \ alpha _ {K}}$${\ displaystyle \ mathrm {d} \ log (y) = \ ln (10)}$

${\ displaystyle \ operaattorinimi {exp} \ left ({\ frac {\ ln (10)} {\ alpha _ {K}}} \ right) = 10 ^ {1 / \ alpha _ {K}}}$

täytyy olla. Empiiristen tutkimusten mukaan tämä on noin kolmasosa. Jos asukaskohtainen pääoma olisi ainoa lähde asukaskohtaisia ​​tuloeroja varten, asukaskohtainen pääoma olisi viime vuosina sanonut noin kertoimella kasvaneen, asukaskohtaisten tulojen kasvun noin selittävällä tekijällä . Itse asiassa pääoma henkeä kohti on kasvanut vain yhdellä tekijällä . Asukaskohtaisen pääoman kasvu ei voi selittää talouskasvun laajuutta viime vuosina.${\ displaystyle \ alpha _ {K}}$${\ displaystyle 1000}$${\ displaystyle 10}$${\ displaystyle 10}$${\ displaystyle 100}$

Kritiikki ja jatkokehitys

Solow-perusmallissa oletetaan suljettu talous ilman valtion toimintaa. On kuitenkin mahdollista ottaa mukaan julkinen sektori ja kansainväliset pääomavirrat.

Solow-mallin keskeinen oletus on kuitenkin eksogeenisesti määritelty säästöaste, joka pysyy vakiona ajan myötä. Tämä tarkoittaa, että talous säästää aina saman prosenttiosuuden samasta tulotasosta riippumatta. Säästökäyttäytymistä ei siis mallinneta, eikä siksi ole mahdollista tutkia, miten talous reagoi koron tai pääomaverokannan muutoksiin . Lisäksi empiiriset tutkimukset viittaavat myös siihen, että säästöaste nousee tulojen noustessa. Tärkeä Solow-mallin laajennus on siis säästöasteen muotoilu tulojen funktiona, mikä vaatii nimenomaista kotitalouksien säästökäyttäytymisen mallintamista. Tällaisen otti käyttöön jo Ramsey vuonna 1928 ja kehitti sitten edelleen Cass (1965) ja Koopmans (1965). Tuloksena olevaa mallia kutsutaan siksi usein Ramsey-Cass-Koopmans -malliksi tai lyhyesti Ramsey-malliksi .

Solow-malli ei selitä, mitä tarkoitetaan "tekniikalla" tai " työn tuottavuudella ". Se on yhteinen termi kaikille tekijöille, jotka vaikuttavat asukaskohtaisiin tuloihin ja joita ei vielä sisälly pääomaan ja työhön. Tähän voisi sisältyä työväestön koulutus, infrastruktuuri, mutta myös poliittiset instituutiot, kuten omistusoikeudet . Lisäksi mallissa oletetaan tämä kasvun determinantti, joka on mallin keskiössä eksogeenisesti annettu. Vaikka Ramsey-Cass-Koopmans -mallilla onnistuttiin endogenoimaan säästöaste (eli säästöaste selitetään mallista eikä pidetä itsestäänselvyytenä), se säilytti olettamuksen eksogeenisestä tekniikan kehityksestä. Tämän oletuksen kritiikki johti niin sanottujen endogeenisten kasvumallien kehittämiseen 1980-luvun lopulla , johon muun muassa Paul Romer , Philippe Aghion ja Peter Howitt sekä Gene M. Grossman ja Elhanan Helpman antoivat merkittävän panoksen. (katso myös Romer-malli tai Jones-malli ). Näissä malleissa tekniikan kehitystä ei katsota ulkoisesti määritellyksi muuttujaksi, vaan se määritetään endogeenisesti mallissa.

Kasvu kriitikot kuten Herman Daly tai Nicholas Georgescu-Roegen arvostelevat että Solowin mallissa ei oteta huomioon, mikä merkitys luonnonvarojen. Nyt on kuitenkin olemassa laajennuksia, kuten "vihreä Solow-malli".

nettilinkit

• Solow-mallin interaktiivinen esitys
• Kurssi professori José-Víctor Ríos-Rullilta, Minnesotan yliopisto
• Professori Alex Tabarrokin Solow Growth Model -luento MRUyliopistossa

Katso myös

• Kiinteä talous
• Differential yhtälö

kirjallisuus

• Robert Merton Solow : Vaikutus talouskasvun teoriaan. Julkaisussa: Quarterly Journal of Economics . Osa 70, 1956, s. 65-94 ( doi: 10.2307 / 1884513 ).

→ Saksankielinen käännös: H. König (Toim.): Vaikutus talouskasvun teoriaan. Julkaisussa: Talouden kasvu ja kehitys. Verlag Kiepenheuer & Witsch, Köln 1968, s. 67–96.

• Trevor Swan : Taloudellinen kasvu ja pääoman kertyminen. Julkaisussa: Economic Record. Osa 32, 2. painos, 1956, s. 334-361 ( doi: 10.1111 / j.1475-4932.1956.tb00434.x ).
• Robert J.Barro , Xavier Sala-i-Martin : Taloudellinen kasvu. 2. painos, MIT Press, Cambridge, MA 2004.

→ Ensimmäisen painoksen saksankielinen käännös (kääntäjä Walter Buhr): Talouskasvu. Oldenbourg Verlag, München 1998, ISBN 978-3-486-23535-7 .

• Lucas Bretschger : Kasvuteoria . 3. tarkistettu ja laajennettu painos, Oldenbourg Verlag, München 2004, ISBN 3-486-20003-8 , luku 3, sivut 25-40.
• Manfred Gärtner: Makrotalous. 2. painos, Pearson Education, Harlow 2006.
• David Romer : Edistynyt makrotalous. 3. painos, McGraw-Hill / Irwin, New York 2006.
• Daron Acemoglu : Johdatus nykyaikaiseen talouskasvuun. Princeton University Press, 2008.
• Charles I. Jones : Taloudellisen kasvun tosiasiat. Stanford GSB ja NBER, 2015.
• M. Burda; C. Wyplosz: Makrotalous. Eurooppalainen teksti. 4. painos, New York, 2005.
• Verena Halsmayer: Tutkimusmallinnuksesta tekniseen asiantuntemukseen: Solow's Growth -malli monikäyttöisenä suunnitteluna . Julkaisussa: E.Roy Weintraub (Toim.): MIT and the Transformation of American Economics (=  History of Political Economy . Volume 46, Supplement 1). 2014, s. 229-251 , doi : 10.1215 / 00182702-2716181 (englanti, academia.edu [käytetty 29. marraskuuta 2017]). 

Huomautukset

1. ↑ Katso myös: Robert W.Dimand, Barbara J.Spencer: Trevor Swan ja uusklassinen kasvumalli . NBER-työasiakirja 13950, huhtikuu 2008.
2. ^ Daron Acemoglu: Johdatus nykyaikaiseen talouskasvuun. Princeton University Press, Princeton 2009, s.37.
3. ^ Barro, Sala-i-Martin: Taloudellinen kasvu. Sivut 71-74.
4. ↑ Seuraava koskee muuttujia:${\ displaystyle X (t): = X_ {t}}$
5. ↑ Myös muodon yleisempi tuotantofunktio olisi mahdollista . Itse asiassa vain tekninen kehitys, joka lisää tuotantotekijätyötä (ns. Työvoiman lisääminen tai Harrod-neutraali edistyminen ), on yhteensopiva pitkän aikavälin tasapainon olemassaolon kanssa jatkuvan teknisen kehityksen kanssa tasaisella nopeudella. Katso Barro, Sala-i-Martin: Taloudellinen kasvu. S. 52 f. Ja 78 ff.${\ displaystyle Y_ {t} = F (K_ {t}, T_ {t}, L_ {t})}$
6. ↑ Mukaan Ken-Ichi inada , joka muotoiltu sen hänen 1963 artikkelissa kerran kahdessa Sector talouskasvun mallin: Kommentit ja yleistäminen ( Review of Economic Studies 30.2, s. 119-127).
7. ^ Barro, Sala-i-Martin: Taloudellinen kasvu. Sivut 23-28.
8. ^ Barro, Sala-i-Martin: Taloudellinen kasvu. S. 28.
9. ^ Puutarhurit: Makrotalous. S. 246.
10. ↑ Solow-mallin asukaskohtainen perusyhtälö voidaan määrittää seuraavasti johtamalla pääomakanta ajan mukaan ja soveltamalla ketjusääntöä: missä ja mitä on noudatettava.${\ displaystyle {\ dot {k}} _ {t} = {\ frac {\ mathrm {d} {\ frac {K_ {t}} {L}}} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {{\ dot {K}} _ {t} L_ {t} - {\ dot {L}} _ {t}} {L ^ {2}}} = {\ frac {{\ dot {K}} _ {t} L - {\ dot {L}} _ {t}} {L ^ {2}}} - {\ frac {{\ dot {L}} _ {t} K_ {t}} {L ^ {2}}} = sf (k_ {t}) - (n + \ delta) k_ {t}}$${\ displaystyle \; {\ piste {K}} _ {t} = sY_ {t} - {\ delta} K_ {t}}$${\ displaystyle \; {\ frac {{\ dot {L}} _ {t}} {L}}: = n}$
11. ^ Puutarhurit: Makrotalous. S. 246 f.
12. ^ Daron Acemoglu: Johdatus nykyaikaiseen talouskasvuun. Princeton University Press, Princeton 2009, sivut 29, 33 ja 39.
13. ^ Puutarhurit: Makrotalous. S. 238 kk, s. 246 kk.
14. ^ Barro, Sala-i-Martin: Taloudellinen kasvu. S. 38 f.
15. ^ Barro, Sala-i-Martin: Taloudellinen kasvu. S.44.
16. ↑ tarkoittaa johdannainen muuttujan ajan suhteen : näin on muuttuvat muuttujat aikaan on.${\ displaystyle {\ piste {X}} _ {t}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle {\ dot {X}} _ {t} = {\ frac {\ mathrm {d} X_ {t}} {\ mathrm {d} t}}}$${\ displaystyle {\ piste {X}} _ {t}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle t}$
17. ↑ Seuraavassa aikaindeksit jätetään pois yksinkertaistamisen vuoksi.
18. ^ Puutarhurit: Makrotalous. S. 247.
19. ↑ tarkoittaa maksimiarvoa .${\ displaystyle \ arg \ max (\ cdot)}$
20. ^ Barro, Sala-i-Martin: Taloudellinen kasvu. S. 34 f.
21. ^ Barro, Sala-i-Martin: Taloudellinen kasvu. S. 36 f.
22. ^ Barro, Sala-i-Martin: Taloudellinen kasvu. S.43.
23. ^ Puutarhurit: Makrotalous. S. 248 f.
24. ↑ johtaminen perusyhtälöä: . Sitä sovelletaan , ja , määritellään ja . Tämä yksinkertaistaa lauseketta .${\ displaystyle {\ dot {\ tilde {k}}} _ {t} = {\ frac {\ mathrm {d} {\ tilde {k}} _ {t}} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {{\ dot {K}} _ {t}} {T_ {t} L_ {t}}} - {\ frac {K_ {t}} {(T_ {t} L_ {t}) ^ { 2}}} (A_ {t} {\ piste {L}} _ {t} + L_ {t} {\ piste {T}} _ {t}) = {\ frac {{\ piste {K}} _ {t}} {T_ {t} L_ {t}}} - {\ frac {K_ {t}} {T_ {t} L_ {t}}} {\ frac {{\ dot {L}} _ {t }} {L_ {t}}} - {\ frac {K_ {t}} {T_ {t} L_ {t}}} {\ frac {{\ dot {T}} _ {t}} {T_ {t }}}}$${\ displaystyle {\ dot {K}} _ {t} = sY_ {t} - {\ delta} K_ {t}}$${\ displaystyle {\ frac {{\ dot {L}} _ {t}} {L_ {t}}}}$${\ displaystyle {\ frac {{\ dot {T}} _ {t}} {T_ {t}}}}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle {\ dot {k}} _ {t} = s {\ frac {Y_ {t}} {T_ {t} L_ {t}}} - \ delta {\ frac {K_ {t}} {T_ {t} L_ {t}}} - n {\ frac {K_ {t}} {T_ {t} L_ {t}}} - g {\ frac {K_ {t}} {T_ {t} L_ {t }}} = sy_ {t} - {\ delta} {\ tilde {k}} _ {t} -n {\ tilde {k}} _ {t} -g {\ tilde {k}} _ {t} = sf ({\ tilde {k}} _ {t}) - (n + \ delta + g) {\ tilde {k}} _ {t}}$
25. ^ Puutarhurit: Makrotalous. S. 248 f.
26. ↑ Bretschger: Kasvuteoria . S. 40.
27. ^ Moses Abramovitz: Resurssi- ja tuotantotrendit Yhdysvalloissa vuodesta 1870. American Economic Review 46 (toukokuu 1956), s. 5-23.
28. ^ Robert M. Solow: Tekniset muutokset ja kokonaistuotantofunktio. Review of Economics and Statistics , 39.3 (1957), s.312-320.
29. ^ Romer: Edistynyt makrotalous. S. 29.
30. ^ Romer: Edistynyt makrotalous. S. 29.
31. ↑ Yksittäisten muuttujien kasvuprosentit määritellään seuraavasti:

    ${\ displaystyle {\ widehat {Y_ {t}}}: = {\ frac {\ dot {Y_ {t}}} {Y_ {t}}} \; \ quad {\ widehat {L_ {t}}}: = {\ frac {\ dot {L_ {t}}} {L_ {t}}} \; \ quad {\ widehat {K}} _ {t}: = {\ frac {\ dot {K_ {t}} } {K_ {t}}}}$

32. ^ Romer: Edistynyt makrotalous. S. 29 f.
33. ^ Barro, Sala-i-Martin: Taloudellinen kasvu. S. 45 s.
34. ^ N. Gregory Mankiw , David Romer , David Weil: Osallistuminen taloudellisen kasvun empiirisiin. Julkaisussa: Quarterly Journal of Economics. Osa 107, nro 2, 1992, s. 407-437.
35. ^ Romer: Edistynyt makrotalous. S. 26 s.
36. ↑ Katso Gärtner: Makrotalous. Luvut 10.1 ja 10.2.
37. ^ Barro, Sala-i-Martin: Taloudellinen kasvu. S. 85. Taustalla olevat teokset ovat:
    Frank P. Ramsey: Matematiikan teoria säästämisessä. Economic Journal 38 (152), s. 543-559.
    David Cass: Optimaalinen kasvu pääoman kasautumisen aggregaattimallissa. Katsaus taloustieteisiin , 32.3, s.233-240.
    Tjalling C.Koopmans: Optimaalisen talouskasvun käsitteestä. Julkaisussa: (Study Week on the) Econometric Approach to Development Planning. Luku 4, s. 225-87, North-Holland Publishing Co., Amsterdam.
38. ^ Romer: Edistynyt makrotalous. S. 28.
39. ^ Barro, Sala-i-Martin: Taloudellinen kasvu. S. 19 f.
40. ^ Herman Daly : Georgescu-Roegen vs. Solow / Stiglitz. Julkaisussa: Ecological Economics 1997; 22 (3), s. 261-266.
41. ^ Herman Daly: Vastaus Solow / Stiglitzille. Julkaisussa: Ecological Economics 1997; 22 (3), s. 271-273.
42. ^ Joseph E. Stiglitz : Georgescu-Roegen vs. Solow / Stiglitz. Julkaisussa: Ecological Economics 1997; 22 (3), s. 269-270.
43. ^ Robert M. Solow : Georgescu-Roegen vs. Solow-Stiglitz. Julkaisussa: Ecological Economics 1997; 22 (3), s. 267-268.
44. ^ William A.Brock, M.Scott Taylor: Vihreä Solow-malli. Julkaisussa: Journal of Economic Growth 15.2, 2010, s. 127–153, doi: 10.1007 / s10887-010-9051-0 .
45. ^ Steffen Lange: Makrotalous ilman kasvua: kestävät taloudet uusklassisissa, keynesiläisissä ja marxilaisissa teorioissa . Metropolis, Marburg 2018. ISBN 978-3-7316-1298-8 . Luku 8.

Tämä artikkeli on lisätty luetteloon artikkeleista lukemisen arvoinen 15. elokuuta 2013 tässä versiossa .