Leviämisen mitta (tilastot)
Hajontaluvut , mukaan lukien toimenpiteet dispersion ( Latinalaisen dispersio "dispersio" on dispergere "levitä, leviäminen, sironta") tai sironta parametreja kutsutaan ylös kuvailevia tilastoja eri muuttujia yhdessä, tai leviämisen arvojen näyte taajuus jakelu sopivaan asentoon parametrit kuvaavat noin . Eri laskentamenetelmät eroavat periaatteessa niiden kyvystä vaikuttaa tai herkkyydestä poikkeamiin .
Leviämismittaa koskevat vaatimukset
Se on näyte ja funktio. kutsutaan dispersiomittaukseksi, jos se yleensä täyttää seuraavat vaatimukset:
- on ei-negatiivinen reaaliluku, joka on nolla, kun kaikki havainnot ovat samat (tiedoissa ei ole vaihtelua) ja kasvaa, kun data monipuolistuu. Jos vähintään kaksi ominaisarvoa eroavat toisistaan, data sironta keskenään tai keskiarvon ympärillä, mikä tulisi heijastaa myös sironta-asteeseen.
- Varianssimittauksessa vaaditaan ei-negatiivisuutta, koska varianssin kanssa "suunta" sijasta "konstitutiivinen". Dispersiomäärän tulisi siis olla suurempi, sitä suurempi ero havaittujen arvojen välillä. Vaatimus on usein jopa tiukempi, että hajonta ei saa laskea, kun havaintoarvo korvataan uudella ominaisuusarvolla.
- on käännösten muuttumaton , d. H. nollapisteen muutoksella ei ole vaikutusta jakautumiseen. Siksi on sovellettava seuraavaa:
- On myös toivottavaa, että dispersiomitta on muuttumaton mittakaavan muutoksiin.
Mitat
Aritmeettisesta keskiarvosta
Poikkeamien neliöiden summa
Intuitiivisin dispersiomittari on poikkeamien neliöiden summa, joka johtaa -kertaisena empiirisenä varianssina
- .
Empiirinen varianssi
Yksi tärkeimmistä dispersioparametreista on varianssi, joka määritellään kahdessa hieman erilaisessa muunnoksessa. Näiden erojen alkuperä ja käyttö selitetään pääartikkelissa. Versiot ovat muodossa
vastaavasti
Kummassakin tapauksessa näytteen aritmeettinen keskiarvo tarkoittaa .
Empiirinen keskihajonta
Keskihajonta määritellään varianssin neliöjuureksi, ja sitä on siksi saatavana kahtena versiona:
vastaavasti
Oleellinen ero empiiriseen varianssiin on, että empiirisellä keskihajonnalla on sama ulottuvuus ja siten samat yksiköt kuin näytteellä.
Variaatiokerroin
Empiirinen variaatiokerroin on muodostettu osamääränä empiirinen keskihajonta ja aritmeettinen keskiarvo :
- .
Se on dimensioton eikä siksi ole yksiköiden alainen.
Keskimääräinen absoluuttinen poikkeama
Keskimääräinen absoluuttinen poikkeama satunnaismuuttuja sen odotettavissa arvo määritellään
- .
Tämä tekee siitä satunnaismuuttujan ensimmäisen absoluuttisen keskitetyn momentin . Jos kyseessä on tietty näyte, jolla on aritmeettinen keskiarvo , se lasketaan
Keskimääräinen absoluuttinen poikkeama vältetään yleensä matemaattisissa tilastoissa toisen asteen poikkeaman hyväksi, mikä on helpompaa käsitellä analyyttisesti. Määritelmässä käytettyä absoluuttisen arvon funktiota ei voida erottaa kaikkialla, mikä vaikeuttaa minimin laskemista.
Johtuen epätasa aritmeettisen-neliöllisestä keskiarvosta , keskimääräinen absoluuttinen poikkeama on pienempi kuin tai yhtä kuin keskihajonta (tasa koskee vain vakio satunnaismuuttujien).
Symmetrisille jakaumille, ts. H. Jakaumat omaisuutta kaikki todelliset , jossa pienenee monotonisesti tiheys varten , pätee
- .
Yhtenäisyysmerkki pätee vakiomuotoon .
Mediaanin ympärillä
Kvantiilin väli
Kvantiilietäisyys on - ja - kvantiilin välinen ero :
- Kanssa
Prosenttiosuus kaikista mitatuista arvoista on sisällä .
Kvartiilien välinen alue
Kvartiiliväli , lyhennettynä IQR, lasketaan erotus kvartiilin ja :
50% kaikista mitatuista arvoista on IQR: n sisällä. Hän on - samoin kuin mediaani ja - epäherkkiä syrjäytyneille. Voidaan osoittaa, että sillä on katkeamispisteeseen on .
Kvartiilien välinen alue on yhtä suuri kuin kvantiilin alue
Keskimääräinen absoluuttinen poikkeama mediaanista
Keskimääräinen absoluuttinen poikkeama (englanninkielinen keskimääräinen poikkeama mediaanista , lyhennettynä MD ) mediaanista on määritelty
Tietyn näytteen tapauksessa se lasketaan
Mediaanin ääripäästä johtuen absoluuttinen poikkeama pätee aina keskiarvoon verrattuna
- ,
ts. keskimääräinen absoluuttinen poikkeama mediaaniin nähden on jopa pienempi kuin keskihajonta.
Saat symmetrinen jakaumat, mediaani ja odotusarvo, ja siten myös , samaa mieltä.
Seuraava pätee normaalijakaumaan:
Absoluuttisten poikkeamien mediaani
Keskimääräinen absoluuttinen poikkeama (engl. Median absoluuttinen poikkeama , myös MedMed ), MAD, lyhennettynä, määritetään
Tietyn näytteen tapauksessa se lasketaan
Normaalisti hajautettujen tietojen tapauksessa määritelmä johtaa seuraavaan suhteeseen keskihajontaan:
0,75 on prosenttipiste on normaalijakautuman ja on noin 0,6745.
Keskimääräinen absoluuttinen poikkeama on vankka arvio keskihajonnasta. Voidaan osoittaa olevan katkeamispisteeseen on .
Muut dispersiotoimenpiteet
jänneväli
Span ( Englanti alue ) lasketaan erotus suurin ja pienin mitattu arvo:
Koska alue lasketaan vain kahdesta ääriarvosta, se ei ole vankka poikkeamia vastaan.
Geometrinen keskihajonta
Geometrinen keskihajonta on mitta dispersion noin geometrinen keskiarvo .
Graafiset esitysmuodot
Katso myös
Yksittäiset todisteet
- ^ Andreas Büchter, H.-W. Henn: Elementaarinen stokastiikka - johdanto . 2. painos. Springer, 2007, ISBN 978-3-540-45382-6 , s. 83 .
- ↑ Hans Friedrich Eckey ym.: Tilastot: perusteet - menetelmät - esimerkit. , S. 74. (1. painos 1992; 3. painos 2002 ( ISBN 3409327010 ). Neljäs painos 2005 ja 5. painos 2008 ilmestyivät otsikolla Kuvailevat tilastot: Perustiedot - Menetelmät - Esimerkkejä).
kirjallisuus
- Günter Buttler, Norman Fickel (2002), "Johdatus tilastoihin", Rowohlt Verlag
- Jürgen Bortz (2005), Tilastot: Ihmis- ja yhteiskuntatieteilijöille (6. painos), Springer Verlag, Berliini
- Bernd Rönz, Hans G.Strohe (1994), Lexicon Statistics , Gabler Verlag