Matemaattinen tarkkuus

Aristoteles , logiikan perustaja

Under matemaattista kurinalaisuutta (hieman erilaisessa yhteydessä usein matemaattinen tarkkuus ) on selvä looginen lähestymistapa sisällä matematiikan ymmärretyksi ja muut hänen perustuu tieteiden. Se sisältää toisaalta aksiomaattisen lähestymistavan, joka perustuu tiukkoihin määritelmiin ja toisaalta pakottaviin todisteisiin . Haetaan myös systemaattisen vähennyksen menetelmää . Tämän seurauksena matemaattinen lauseet ovat periaatteessa lopullinen ja universaaleja totuuksia, niin että matematiikka voidaan pitää tiedettä. Matemaattinen tarkkuus ei ole itsetarkoitus, vaan välttämätön keino matematiikan kestävän kehityksen mahdollistamiseksi. Se on myös hyvä ajatuskoulu kreikkalaisessa mielessä . Jälkimainingeissa matemaattinen tarkkuus johtaa myös matemaattisten näkökohtien yksinkertaistamiseen.

tarina

Euclidin edustus, Oxfordin yliopiston museo
Augustin Louis Cauchy
Carl Friedrich Gauss
Karl Weierstrasse
David Hilbert (1912)

Jo Kreikan matematiikasta löytyy erityisesti Euclidista hänen elementtejään (4. vuosisadan loppu. V. Chr.) Ensimmäiset yritykset matemaattisella tiukkuudella Aksiomatisointi ja systemaattinen matemaattinen deduktio. Vuonna muinoin kuitenkin löyhempi hoitoon matematiikan kuin euklidinen oli usein edullisia. Oli myös selvää, että matemaattisen tarkkuuden periaatetta ei voida soveltaa kaikkiin tieteisiin . Aristoteles kirjoittaa näin: "Matemaattista tarkkuutta ei vaadita kaikessa, vaan todennäköisesti ei-aineellisessa." Pitkän pysähtyneisyyden jälkeen 1700-luvulla alkoi matemaattisten tieteiden elpyminen analyyttisellä geometrialla ja laskennalla . Kreikkalainen aksiomatian ja systemaattisen vähennyksen ideaali oli kuitenkin este tuottoisille matemaatikoille. Tuloksilla oli suurempi rooli kuin tapaan. Vahva intuitiivinen tunne ja melkein sokea vakaumus uusien keksittyjen menetelmien voimasta oikeuttivat aluksi tämän lähestymistavan. Alustavan teollistumisen ikä tuki tätä muotoa entisestään. Tällä itsevarmuudella Sylvestre Lacroix sanoi vuonna 1810 : "Emme enää tarvitse sellaisia ​​hienovaraisuuksia, joilla kreikkalaiset kiusasivat itseään."

Vasta 1800-luvun alussa nopeasti lisääntyvä usko edistymiseen korvattiin vasta herättävällä itsekritiikillä. Tulosten varmuuden ja selkeyden tarve syntyi. Tätä prosessia tuki tieteiden voimakas suosiminen Ranskan vallankumouksen jälkeen .

Disquisitiones Arithmeticae mukaan Carl Friedrich Gauß pidetään yksi ensimmäisen esimerkinomaisen teoksia matemaattinen tarkkuutta. Se on kirjoitettu kokonaan lauseella - todiste - seurauksena , ei sisällä motivaatiota otetuille todisteille ja kätkee huolellisesti tapaa, jolla Gauss tuli löytöihinsä. Viimeinen näkökohta perustuu kuitenkin osittain matemaattisen tarkkuuden vaatimukseen eikä Gaussin erityiseen erityispiirteeseen. Se liittyy jäljempänä käsiteltyyn vaatimukseen ehdottomasta " irtisanomisesta vapaudesta ".

Augustin Louis Cauchyn ja Karl Weierstrassin työn ansiosta erityisesti äärettömän pieni laskenta asetettiin turvalliselle ja tiukalle pohjalle. 1800-lukua leimasi siis onnistunut pohdinta klassisesta tarkkuusideaalista ja väittelyjen tiukkuudesta Kreikan tieteen esimerkin ylittyessä. Jo ennen Cauchyä Bernard Bolzano vaikutti merkittävästi analyysin tiukaan käsittelyyn vuonna 1817 teoksella Puhtaasti analyyttinen todiste lauseesta, että kahden vastakkaisen tuloksen antavan arvon välillä on ainakin yksi yhtälön todellinen juuri .

Lainausmerkit

Yksi tärkeimmistä matemaattisen kurinalaisuuden puolustajista yhdistettynä valtavaan monipuolisuuteen oli David Hilbert . Hän muotoili Pariisissa vuonna 1900 pidetyssä kansainvälisessä matemaattikongressissa :

"Keskustelemme lyhyesti siitä, mitä perusteltuja yleisiä vaatimuksia matemaattisen ongelman ratkaisulle tulee asettaa: Tarkoitan ennen kaikkea sitä, että vastauksen oikeellisuus voidaan osoittaa rajallisella määrällä päätelmiä, lopullisen määrän perusteella Edellytykset, jotka ovat ongelmassa ja jotka on muotoiltava tarkasti joka kerta. Tämä loogisen vähennyksen vaatimus rajallisen määrän johtopäätösten avulla ei ole mitään muuta kuin vaatimus perusteellisuudesta argumentoinnissa. Itse asiassa vaatimuksen tiukkuudesta, joka, kuten hyvin tiedetään, on tullut sananlaskuinen merkitys matematiikassa, vastaa ymmärryksemme yleistä filosofista tarvetta, ja toisaalta vain henkinen sisältö ja ongelman hedelmällisyys tulevat voimaan vain sen täyttymisen kautta. Uusi ongelma, varsinkin jos se tulee ulkomaailmasta, on kuin nuori riisi, joka kukoistaa ja tuottaa hedelmää vain, jos se oksastetaan huolellisesti ja puutarhurin tiukkojen sääntöjen mukaisesti vanhaan runkoon, matemaattisen tietomme turvalliseen hallussapitoon. tulee.
On myös virhe uskoa, että päättäväisyys on yksinkertaisuuden vihollinen. Päinvastoin, lukuisissa esimerkeissä löydetään vahvistus siitä, että tiukka menetelmä on samalla yksinkertaisempi ja helpommin ymmärrettävissä. Vakavuuden tavoittelu pakottaa meidät löytämään yksinkertaisempia päätelmätapoja; se myös usein avaa meille tietä menetelmille, jotka ovat kehittyneempiä kuin vanhat, vähemmän tiukat menetelmät. "

Alexander Danilovich Alexandrov sanoi:

"Moraalisesti matematiikka opettaa meitä olemaan tarkkoja sille, mitä väitetään totuudeksi, mitä väitetään tai mitä todisteena annetaan. Matematiikka vaatii termien ja väitteiden selkeyttä eikä siedä sumua tai todistamattomia selityksiä. "

Vapaus irtisanomisesta

Matemaatikot ovat " sisäistäneet " yllä mainitut Carl Friedrich Gaußin henkilökohtaiset piirteet implisiittisesti tai nimenomaisesti vaaditun vapauden irtisanomisesta -periaatteen kautta : Kaikki tarpeettomat lausunnot on poistettava ja ymmärrys sanotusta on jätettävä lukijan tehtäväksi (tosiseikkojen oikeellisuus ja merkitys) mukana). Tyypillisessä matemaattisessa työssä toivotaan lauselausekkeiden lisäksi edellytyksiä ja todistusvaiheiden toteuttamista parhaimmillaan seuraavankaltaisia ​​perusteluja: "Tämä tulos on tärkeä, koska ...", jotta yksittäiset lauseet tuodaan ainakin oikeaan kontekstiin. Tämä "vapaus irtisanomisesta" -periaate on hyödyllinen tai välttämätön matemaattisen tarkkuuden toteuttamiseksi ja kieltää henkilökohtaisesti värilliset lisäykset "tarpeettomina ja u. U. jopa vahingoittaa asiaa ”, mutta samalla se on yksi suurimmista esteistä monien matemaattisten lausuntojen ymmärrettävyydelle tai yleensä tärkein syy” matemaattisen tyylin ”valitettavaan ymmärtämättömyyteen sen lemmojen , lauseiden ja seurausten kanssa, mukaan lukien monien niistä avoimuuden puute. Todisteet .

Bourbaistit

"Matemaattinen tyyli" oli erityisen korostunut ja yhä abstraktimpi teoksissa, jotka julkaistiin salanimellä Nicolas Bourbaki , laajat käsikirjat, ryhmä erinomaisia ​​ranskalaisia ​​matemaatikkoja, jotka vuodesta 1934 lähtien pyrkivät matematiikan yleiseen esittelyyn. Tämän kirjoittajaryhmän vuosikymmenien hallitsevan vaikutuksen jälkeen suuntaus yhä vakavampaan ja abstraktimpaan suuntaan on nyt ilmeisesti laskussa.

Katso myös

kirjallisuus

nettilinkit

Yksittäiset todisteet

  1. ↑ Aristoteles. Bibl. Didotiana, 10. osa, Aristotelis Opera II. De Gruyter, Berliini 1970, s.488
  2. ↑ Heuser, s.689
  3. ^ David Hilbert: Matemaattiset ongelmat . ( Memento of alkuperäisen tammikuusta 19 2012 in Internet Archive ) Info: arkisto yhteys oli lisätään automaattisesti, ei ole vielä tarkastettu. Tarkista alkuperäinen ja arkistolinkki ohjeiden mukaisesti ja poista tämä ilmoitus. Luento, julkaistu nimellä: Mathematical Problems. Luento pidettiin kansainvälisessä matemaattikongressissa Pariisissa vuonna 1900 , News from the Society of Sciences Göttingenissä, matemaattis-fyysinen luokka. Nro 3, s. 253-297 @ 1@ 2Malline: Webachiv / IABot / www.mathematik.uni-bielefeld.de
  4. ^ Heiner Stauff: Matemaattinen tarkkuus .