Arzelà-Ascolin lause

Arzelà-Ascoli lause , joka on nimetty Cesare Arzelà (1847-1912) jatkeena lause, jonka Giulio Ascoli (1843-1896), on tärkeä virke funktionaalista analyysia . Se vastaa kysymykseen, mitkä osajoukot ovat ( suhteellisen ) kompakteja tietyissä toimintatiloissa .

Lausunto (skalaari-arvoinen tapaus)

Anna olla kompakti topologinen tilaa ja osajoukko jatkuvan reaalisen tai kompleksisen funktioiden . Sitten sovelletaan seuraavaa: Osajoukko on suhteellisen kompakti Banach -tilassa , ja se on varustettu ylimäärän normilla , vain ja vain, jos yhtenäisyys on jatkuvaa ja sitä rajataan pisteestä pisteeseen, ts. H. kunkin joukon funktion arvoja on rajattua tai . ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle F \ subseteq C (X)}$${\ displaystyle f \ kaksoispiste X \ matematiikkaan {K}}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle C (X)}$${\ displaystyle F}$ ${\ displaystyle x \ in X}$${\ displaystyle \ {f (x): f \ in F \}}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbb {C}}$

Tärkeyttä Arzelà-Ascoli lause näyttäytyy verrattuna Riesz n tiiviyttä lauseen , jossa todetaan, että pallot eivät ole suhteellisen kompakteja in ääretön-ulotteinen Banach spaces . Siitä huolimatta äärettömässä ulottuvuudessa olevissa Banach-tiloissa on myös monia kompakteja osajoukkoja, ja Arzelà-Ascoli-lause luonnehtii niitä, ainakin siinä erityistapauksessa, että Banach-tila on muodoltaan . ${\ displaystyle C (X)}$

Todistusluonnos (jos X on metrinen tila)

Todisteessa käytetään Cantorin diagonaalista menetelmää , jossa osittain lähentyvät osasekvenssit rakennetaan rekursiivisella tavalla, jotta saadaan sitten kaikkialla lähentyvä osasekvenssi kaikkien osasekvenssien välillä.

Antaa olla mikä tahansa toimintojen sarja toimintojen perheessä . On osoitettava, että tämä sisältää osittaisen sekvenssin, joka lähenee. ${\ displaystyle \ {f_ {n} \} _ {n \ in \ mathbb {N}} \ osajoukko F}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle C (X)}$

Tätä varten valitaan äärellisten osajoukkojen nouseva sekvenssi , joka "yhtyy" osajoukkoon, joka on tiheä pistejoukossa . ${\ displaystyle A_ {N} \ osajoukko A_ {N + 1} \ osajoukko X}$${\ displaystyle \ texttyle A _ {\ infty}: = \ bigcup _ {N = 1} ^ {\ infty} A_ {N}}$${\ displaystyle X}$

Sellaiseen pistejoukkoon rajoitettu funktiosarja sisältää oletuksen mukaan osittaisen sekvenssin, joka on konvergentti, koska suhteellisen kompakteista joukoista koostuva äärellinen suorakulmainen tulo on jälleen suhteellisen kompakti. ${\ displaystyle \ {f_ {n, k} \} _ {n \ mathbb {N}}: = \ {f_ {n} {} _ {| A_ {k}} \} _ {n \ in \ matematiikka {N}}}$${\ displaystyle A_ {k}}$

Antaa olla nolla annettu järjestys. Sitten aluksi voidaan valita alisekvenssi rekursiivisesti funktiosarjassa , joka lähenee suurennettua pistejoukkoa . Lopuksi Cantorin diagonaalisen "temppun" mukaan tiheän osajoukon lävistäjäjärjestys lähenee funktion . ${\ displaystyle (f_ {n, 0} = f_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$${\ displaystyle N = 1,2, \ ldots}$${\ displaystyle \ {f_ {n_ {l}, N-1} \} _ {l \ in \ mathbb {N}}}$${\ displaystyle \ {f_ {n_ {l}, N} \} _ {l \ in \ mathbb {N}}}$${\ displaystyle A_ {N}}$${\ displaystyle \ {f_ {n_ {N}, N} \} _ {N \ in \ mathbb {N}}}$${\ displaystyle A _ {\ infty} \ osajoukko X}$${\ displaystyle f: A _ {\ infty} \ - \ mathbb {K}}$

Yhtenäisestä jatkuvuudesta seuraa, että tällä tavalla saavutettua rajafunktiota voidaan jatkaa ja että myös diagonaalinen sekvenssi lähenee korkeimmassa normissa tällä tavalla muodostettua funktiota: in , eli ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle {\ bar {f}} \ kaksoispiste X \ \ \ mathbb {K}}$${\ displaystyle \ lim _ {N \ to \ infty} f_ {N, N} = {\ bar {f}}}$${\ displaystyle C (X)}$

${\ displaystyle \ lim _ {N \ to \ infty} \ vasen (\ sup _ {x \ in X} \ | f_ {N, N} (x) - {\ bar {f}} (x) \ | _ {Y} \ oikea) = 0}$.

Sovellukset

Toiminnallinen analyysi: kuljettajien kompakti

Arzelà-Ascolin teoriaa voidaan käyttää osoittamaan, että operaattori on kompakti . Oletetaan esimerkiksi, että tila on neliöintegraatiofunktioita , ja sen määrittelee sitten ${\ displaystyle L ^ {2} ([0,1])}$${\ displaystyle F \ kaksoispiste L ^ {2} ([0,1]) \ - C ([0,1])}$

${\ displaystyle F (x) (t): = \ int _ {0} ^ {1} (t ^ {2} + s ^ {2}) (x (s)) ^ {2} \ mathrm {d} s}$

epälineaarinen kompakti kuljettaja. Kaikille ja kaikille on muotoa ja siksi jatkuvaa. Lisäksi pätee . Joten osajoukon suhde pätee rajoitetuille asioille ja on siksi rajattu ja tasaisesti jatkuva. Näin ollen voidaan soveltaa Arzelà-Ascolin teoriaa ja saada selville, että joukko on suhteellisen kompakti ylimäärän suhteen. Siksi se kartoittaa rajoitetut joukot suhteellisen kompakteihin joukkoihin ja on siksi kompakti operaattori. ${\ displaystyle t \ in [0,1]}$${\ displaystyle x \ in L ^ {2} ([0,1])}$${\ displaystyle F (x) (t)}$${\ displaystyle c_ {1} t ^ {2} + c_ {2}}$${\ displaystyle | c_ {1} |, | c_ {2} | <\ vasen \ | x \ oikea \ | _ {L ^ {2} (0,1)}}$${\ displaystyle U \ osajoukko L ^ {2} ([0,1])}$${\ displaystyle F (U) \ osajoukko C ([0,1])}$${\ displaystyle F (U)}$${\ displaystyle F (U)}$${\ displaystyle C ([0,1])}$${\ displaystyle F}$

Tavalliset differentiaaliyhtälöt

Joukko Peanon käyttää Arzelà-Ascoli teoreema osoittaa, että operaattorit käytettävät todisteet ovat suhteellisen pienikokoinen.

Yleistykset

Yleisempiä arvoja

Skalaariarvoisten funktioiden sijasta voidaan harkita myös funktioita, joiden arvot ovat , jotka voivat olla valinnaisesti vakioitu vektoriavaruus , topologinen vektoritila , metrinen avaruus tai yleensä yhtenäinen tila . Toimintotilassa on edelleen yhtenäisen lähentymisen topologia. Tällöin ei kuitenkaan enää riitä, että vaaditaan pistekohtainen rajoitus, vaan toimintojoukon on oltava suhteellisen kompakti (in ) kohta kohdalta . Seuraava koskee tarkemmin: ${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle C (X, Y)}$${\ displaystyle Y}$

Osajoukko on suhteellisen kompakti tasaisen lähentymisen topologian suhteen, jos se on tasaisesti jatkuva ja jos se koskee kutakin , se on suhteellisen kompakti avaruudessa .${\ displaystyle F \ subseteq C (X, Y)}$${\ displaystyle x \ in X}$${\ displaystyle \ {f (x): f \ in F \}}$${\ displaystyle Y}$

Yleisemmät määritelmän alat

On myös yleistyksiä, joissa kompakti tila korvataan yleisemmällä topologisella avaruudella. Tässä tapauksessa funktiotila on kuitenkin varustettava kompaktilla, avoimella topologialla , toisin sanoen tasaisen lähentymisen topologialla kompakteilla osajoukoilla . ${\ displaystyle X}$

Sovellus differentiaaligeometriassa: geodeettisen tilan kompakti

Arzelà-Ascolin lause voidaan yleistää tasaisesti jatkuvien toimintojen perheisiin, joiden arvot ovat kompaktissa jakotukissa . ${\ displaystyle Y}$

Erityisesti voit soveltaa sitä kuvaperheisiin yhden välin verran kompaktissa Riemannin jakotukissa ja väittää, että kiinteiden kullakin perheellä - Quasigeodätenilla on lähentyvä alasekvenssi. Lähentyminen on yhtenäinen, jos se on rajallinen väli, ja paikallisesti yhtenäinen, jos on. Voidaan osoittaa, että lähentyvän geodeettisen sekvenssin raja -arvo on jälleen geodesikka. ${\ displaystyle F \ osajoukko C (I, Y)}$ ${\ displaystyle I \ osajoukko \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle (L, A)}$${\ displaystyle (L, A)}$${\ displaystyle I}$${\ displaystyle I = \ mathbb {R}}$

Kompaktissa jakotukissa kaikkien geodeettisten tilojen tila on kompakti suhteessa kompaktiin avoimeen topologiaan. ${\ displaystyle Y}$

kirjallisuus

• Cesare Arzelà: Unservazione intorno alle serie di funzioni . Repiä. dell 'Accad. R. delle Sci. dell'Istituto di Bologna, s. 142-159 (1882-1883).
• Cesare Arzelà: Sulle funzioni di linee . Mem. Accad. Sei. On. Bologna Cl. Sei. Fis. Mat. Voi 5, nro 5, s. 55-74 (1895).
• Giulio Ascoli: Le curve limititi di una varietà data di curve . Atti della R. Accad. dei Lincei Muistomerkki Cl. Sei. Fis. Mat. Nat. Voi 18 nro 3, s. 521-586 (1883-1884).
• Johann Cigler , Hans-Christian Reichel : Topologia . Perusluento , ISBN 3-411-05121-3 .
• Harry Poppe: Kompakti yleistoimintatiloissa . Berliini 1974.