Heegnerin pointti

Heegner pistettä (nimetty Kurt Heegner ) ovat numeroita, jotka ratkaista asteen yhtälön kanssa integer kertoimet ja jotka voidaan yhdistää pistettä on geometrisia kuvioita, eli moduuli käyriä . Linkin avulla annettuja moduulikäyrien pisteitä kutsutaan myös Heegner -pisteiksi ja ne ovat aritmeettisen geometrian kohteita . Niillä on tärkeä rooli elliptisten käyrien teoriassa ja luokan kenttäteoriassa . Heegnerin pisteet eroavat nimestä, kuten Heegnerin luvut .

Toisen asteen yhtälön ratkaisut, joita kutsutaan Heegnerin pisteiksi, ovat kompleksilukuja, joilla on yksinomaan positiivinen imaginaariosa . Esimerkiksi luku on Heegnerin piste, koska sillä on positiivinen imaginaariosa ja se täyttää yhtälön . Ratkaisujen avulla luodaan pisteitä, jotka täyttävät modulaaristen käyrien tai elliptisten käyrien monimutkaisemmat yhtälöt. Tämän menetelmän lisäarvo on, että Heegnerin pisteet voidaan helposti määrittää toisen asteen yhtälön avulla . Tällä tavalla saadut pisteet antavat lopulta jonkin verran tietoa numeroteorian kysymyksistä . Kurt Heegner käytti niitä tutkiessaan kysymyksiä numeroiden hajoamisesta alkeellisempiin kertorakenteisiin, jotka ovat analogisia alkuluvuteorian kanssa . ${\ displaystyle i {\ sqrt {2}}}$${\ displaystyle {\ sqrt {2}}}$${\ displaystyle x ^ {2} + 2 = 0}$

Heegnerin pisteet ovat epäsuorasti mukana ideoissa, joilla määritetään ympyrän numero moniin paikkoihin desimaalin jälkeen. Ne ovat lähtökohtana Chudnovsky -algoritmille , jonka avulla on laskettu tähän mennessä yli 62 biljoonaa desimaalia (2021) . ${\ displaystyle \ pi \ noin 3 {,} 141}$ ${\ displaystyle \ pi}$

Heegnerin pisteitä korostetaan erityisesti aiheissa, jotka liittyvät Birchin ja Swinnerton-Dyerin olettamuksiin , joka on yksi matematiikan seitsemän vuosituhannen ongelmista . Heillä oli keskeinen rooli kysymyksessä, miksi tämä tähän asti yleisesti todistamaton hypoteesi voidaan todistaa vain hyvin erityisissä tapauksissa tähän mennessä saadun tiedon perusteella. Juuri näissä tapauksissa niihin liittyvät elliptiset käyrät - nämä ovat oletusten kohteita - sisältävät "suoran viittauksen" Heegnerin pisteisiin. Samanaikaisesti katselu ääretön määrä Heegner pistettä, niin sanottu Heegner järjestelmiä voitaisiin Victor Kolyvagin yhdistettynä tuloksiin Benedict Gross ja Don Zagier vuonna 1988 osoittavat, että Koivu ja Swinnerton-Dyer arveluihin tapauksessa analyyttisten riveissä ja on totta. ${\ displaystyle r = 0}$${\ displaystyle r = 1}$

Heegnerin pisteitä pidetään tähän päivään asti matemaattisesti kiinnostavina kohteina, vaikka käytettäisiin algoritmeja eli laskentaprosesseja. Bryan Birch , Henri Darmon , Peter Swinnerton-Dyer , Benedict Gross, Kurt Heegner, Winfried Kohnen , Victor Kolyvagin, Barry Mazur , Heinrich Weber , Zhang Wei , Don Zagier ja Shou-Wu Zhang tekivät merkittävän panoksensa tutkimukseensa .

Perusluokitus

Tietoja käyristä ja järkevistä pisteistä

Algebrallinen käyrä on pohjimmiltaan suuri perhe kohtia , että kaikilla on yhteinen algebrallinen nähden. Tämä tarkoittaa, että nollalle on yhtälö, joka vain lisää, vähentää, kertoa ja jakaa, mikä täyttyy kaikilla pisteillä samanaikaisesti. Esimerkki on yhtälö ( kerro vain itse ja vähennä sitten tuloksesta 1 ), joka ratkaistaan täsmälleen . Perhe muodostaa siten käyrän "alkuvaiheen", vaikka kaksi pistettä eivät vielä tuota "kaarevaa" näkemystä. ${\ displaystyle x ^ {2} -1 = 0}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle x = \ pm 1}$${\ displaystyle \ {- 1,1 \}}$

Ensimmäinen ei-triviaali ja usein mainittu esimerkki käyrästä on ympyrä, jonka säde on 1 ja jonka keskipiste  on numeroiden tasossa . Pisteet, joilla on useampi kuin yksi koordinaatti, voivat myös muodostaa käyrät, ja itse asiassa se vain "rikastuu". Että todellinen Yhtälön ratkaisut muodostavat ympyrän voidaan osoittautunut kanssa Pythagoraan lause. On mielenkiintoista, että ympyrän kaltainen todella geometrinen hahmo tulee algebrallisesta suhteesta. Muut rakenteet, kuten suorat , tasot , hyperbolit jne. , Perustuvat myös algebrallisiin yhtälöihin. ${\ displaystyle (0,0)}$${\ displaystyle (x, y)}$${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = 1}$${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = 1}$

Vaikka ympyrä voidaan luoda vain "ilman aukkoja" tarkastelemalla esimerkiksi kaikkia todellisia numeroita, ympyrässä on ${\ displaystyle \ texttyle \ left ({\ frac {\ sqrt {2}} {2}}, {\ frac {\ sqrt {2}} {2}} \ right)}$

${\ displaystyle \ left ({\ tfrac {\ sqrt {2}} {2}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ tfrac {\ sqrt {2}} {2}} \ right) ^ { 2} = {\ tfrac {1} {2}} + {\ tfrac {1} {2}} = 1,}$

lukuteorian kannalta on tärkeää löytää käyristä pisteitä, jotka ovat erityisen "yksinkertaisia". Tämä tarkoittaa, esimerkiksi, järkevä pistettä, jotka lisäksi jo rajoittavia käyrä asennossa, pitäisi olla se ominaisuus, että niiden koordinaatit voidaan kuvata mukaan osamäärät kokonaislukuja . Joten on klassinen numeroteorian kysymys, mitkä järkevät pisteet sijaitsevat ympyrässä . Esimerkiksi, ei ole järkevä piste, tietäen, että 2: n neliöjuuri ei ole järkevä luku. Esimerkkejä järkevistä asioista on olemassa ${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = 1}$${\ displaystyle \ texttyle \ left ({\ frac {\ sqrt {2}} {2}}, {\ frac {\ sqrt {2}} {2}} \ right)}$ ${\ displaystyle \ texttyle \ vasen ({\ frac {3} {5}}, {\ frac {4} {5}} \ oikea)}$

${\ displaystyle \ left ({\ tfrac {3} {5}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ tfrac {4} {5}} \ right) ^ {2} = {\ tfrac {9 } {25}} + {\ tfrac {16} {25}} = {\ tfrac {9 + 16} {25}} = {\ tfrac {25} {25}} = 1,}$

mutta myös samoin . Nämä kohdat ovat peräisin pythagoralainen kolminkertaistuu , eli ei-triviaali kokonaislukuja kanssa . Alkeismenetelmillä voidaan osoittaa, että primitiivisiä pythagoralaisia ​​kolmoisia on ääretön määrä , ts. Sellaisia, jotka eivät ole muiden kolmoisten kokonaisia ​​monikertoja, minkä vuoksi ympyrä on itse asiassa "täynnä" järkeviä pisteitä, ks . yksikköympyrän pisteitä . Yleensä toisen asteen käyrät ymmärretään laajalti rationaalipisteiden suhteen.${\ displaystyle \ texttyle \ vasen ({\ frac {5} {13}}, {\ frac {12} {13}} \ oikea)}$${\ displaystyle \ texttyle \ left ({\ frac {20} {101}}, {\ frac {99} {101}} \ right)}$${\ displaystyle (a, b, c)}$${\ displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} = c ^ {2}}$

Tämä esimerkki on jo esitetty synteesi on geometria (luvut, tässä ympyrä), algebran (yhtälöt että vain käyttää peruslaskutoimitusta) ja numero teoria (rationaalilukuja).

Elliptiset käyrät

Kaukana ole niin helposti saavutettavia ovat niin sanotut elliptiset käyrät (järkevien lukujen yläpuolella), jotka voidaan yleensä kuvata rationaalilukujen muodossa . Vaikka ympyrän geometrinen luku perustui toisen asteen yhtälöön, elliptinen käyrä on kuutiomainen yhtälö (eli termillä 3 ). Elliptisissä käyrissä on erityistä, että voit laskea uuden rationaalipisteen kahdesta jo tunnetusta (järkevästä) pisteestä ja linkin kautta , aivan kuten voit luoda uuden kokonaisluvun kahdesta kokonaisluvusta lisäyksellä. Kun lisätään itselleen järkevä piste, voi syntyä kaksi tilannetta: Joko tarkasteltava piste on äärellinen ja sulkee äärellisen syklin, ts. Toisin sanoen, jossain vaiheessa tilanne syntyy ja se alkaa alusta, tai luodaan uusia pisteitä äärettömyyteen asti, mikä on verrattavissa kaikkien luonnollisten lukujen luomiseen . Tässä tapauksessa sanotaan olevan ääretön järjestys . Joskus äärellisen järjestyksen pisteitä kutsutaan myös triviaalipisteiksi, ja äärettömän järjestyksen pisteitä kutsutaan myös ei-triviaaleiksi pisteiksi. ${\ displaystyle y ^ {2} = x ^ {3} + kirves + b}$${\ displaystyle a, b}$${\ displaystyle P_ {1}}$${\ displaystyle P_ {2}}$${\ displaystyle P_ {1} + P_ {2}}$${\ displaystyle P_ {3}}$${\ displaystyle P + P + P + \ piste + P = P}$${\ displaystyle 1 + 1 + 1 + 1 + \ piste}$${\ displaystyle P}$

Elliptisten käyrien teoria on erittäin laaja, sillä on lukuisia teoreettisia merkityksiä Fermatin suuren lauseen yhteydessä, ja sen arvioivat Henri Cohenin kaltaiset matemaatikot tuhansia sivuja (nykyaikaisella matemaattisella kielellä). Rakenteistaan ​​huolimatta joitain niiden ominaisuuksia ei ole vielä selvitetty. Tähän päivään mennessä ei tiedetä yleistä algoritmia, joka tarjoaa rajallisen määrän järkeviä pisteitä, joiden avulla kaikki muut käyrän järkevät pisteet voidaan saada linkittämällä (myönteinen vastaus Birchin ja Swinnerton-Dyerin vahvoihin oletuksiin , käytä kuitenkin tällaista algoritmia. Kuitenkin Heegner pisteitä voi joissakin tapauksissa auttaa luomaan epätriviaali rationaalinen pistettä.

Elliptisiä kaaria järkevissä luvuissa liikuttaa pisteiden lisäämisen lisäksi se, että ne ovat ainoita kaaria, joilla voi olla äärellinen, mutta myös äärettömän paljon järkeviä pisteitä. Elliptisilla käyrillä on sukupuoli ja Gerd Faltingsin todistaman Mordellin oletuksen mukaan sukupuolen käyrillä, joilla on järkevä piste, on jo ääretön määrä järkeviä pisteitä, kun taas sukupuolikäyrillä voi olla vain rajallinen määrä järkeviä pisteitä. Faltings sai Fields -mitalin vuonna 1986 saavutuksestaan .${\ displaystyle g = 1}$${\ displaystyle g = 0}$${\ displaystyle g \ geq 2}$

Elliptisten käyrien parametrointi

Elliptisen käyrän ominaisuus olla donitsi kompleksilukujen päällä voidaan selittää sen parametroinnilla.

Parametrisointi on kartoitus "yksinkertainen" parametri objektin "monimutkainen" kohdeobjektin, joiden avulla jossa mikä tahansa ei-triviaali osat kohdeobjektin voidaan muodostaa lisäämällä tahansa tuloa (parametrit) parametrin objektin. "Yksinkertaisella" tarkoitetaan, että parametri -objekti on ensisijaisesti "tunnettu parametri -objekti", josta on riittävästi tietoa ja josta arvoja käytetään nyt peräkkäin toisen (tuntemattoman, monimutkaisemman tai rakenteellisesti) rakentamiseksi vaativampi) esine. Usein sekä tulo että lähtö ovat pisteitä, jotka edustavat geometrista objektia kokoelmassaan.

Esimerkki parametroinnista on ympyrä: "Yksinkertainen" parametri -objekti on aikaväli , eli kaikki reaaliluvut välillä 0 ja 1, joiden sisällöstä voimme kanonisesti luopua, ja "monimutkainen" kohdeobjekti on ympyrä, mahdollisen kartoituksen kanssa ${\ displaystyle [0,1]}$

${\ displaystyle t \ mapsto (\ cos (2 \ pi t), \ sin (2 \ pi t))}$

On. Pythagoraan lauseen mukaan se on riippumaton syötteestä , jolla koko ympyrä syntyy sinin ja kosinin jaksottaisuuden ja jatkuvuuden vuoksi . Jos käytät kompleksilukujen kuvaa (todellisilla numeroilla ) pisteinä , parametrointi yksinkertaistuu ${\ displaystyle \ sin ^ {2} (\ theta) + \ cos ^ {2} (\ theta) = 1}$${\ displaystyle \ theta}$ ${\ displaystyle a + ib}$${\ displaystyle a, b}$ ${\ displaystyle (a, b)}$

${\ displaystyle t \ mapsto e ^ {2 \ pi it}.}$

Katso sinin, kosinin ja monimutkaisen eksponentiaalisen funktion suhde , katso myös Eulerin kaava . Geometrisestä tai topologisesta näkökulmasta väli , "lanka", jonka pituusyksikkö on, otetaan molemmista päistä ja yhdistetään muodostamaan ympyrä.${\ displaystyle [0,1]}$

Pyöreän parametroinnin erityispiirre on, että sen synnyttää transsendenttinen funktio , nimittäin . Tässä ylivertainen tarkoittaa , että ei ole olemassa yleistä periaatetta tuottaa funktion arvot jota äärellinen määrä lisäyksiä yhteen-, vähennys-, kertolaskua tai osastojen syötteistä ja kiinteät numerot. Näissä olosuhteissa on itse asiassa odotettavissa, että funktion arvoilla ei ole erityistä rakennetta järkevien syötteiden alla (se on kenttä, mutta sitä ei vaadita, että se on edelleen suljettava lukemattoman määrän algebrallisten toimintojen alla). Pahentaakseen tilannetta algebralliset luvut asymptoottisessa mielessä muodostavat 0% kaikista kompleksiluvuista, minkä vuoksi "sattuma" suljettaisiin pois. Itse asiassa voimalakien avulla voidaan kuitenkin osoittaa , että jokainen arvo, jolla on järkevät luvut, on algebrallinen luku, eli se täyttää yhtälön . Algebrallisuus siirretään sitten yksittäisiin komponentteihin ja . Tämän mukaan kaikki järkevät luvut ovat tietyllä tavalla "ympyrän Heegner -pisteitä", koska ne tuottavat algebrallisia pisteitä parametroinnin alla olevalle ympyrälle. Esimerkiksi on ${\ displaystyle f (t) = e ^ {2 \ pi it}}$${\ displaystyle e ^ {2 \ pi it}}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle e ^ {2 \ pi i {\ frac {p} {q}}}}$${\ displaystyle {\ tfrac {p} {q}}}$${\ displaystyle x ^ {q} -1 = 0}$${\ displaystyle \ sin (2 \ pi t)}$${\ displaystyle \ cos (2 \ pi t)}$${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$

${\ displaystyle f \ left ({\ tfrac {1} {8}} \ right) = {\ tfrac {\ sqrt {2}} {2}} + i {\ tfrac {\ sqrt {2}} {2} },}$

jossa on yksikköympyrä (katso yllä). ${\ displaystyle \ vasen ({\ tfrac {\ sqrt {2}} {2}}, {\ tfrac {\ sqrt {2}} {2}} \ oikea)}$

Kun parametroidaan joukko pisteitä, jotka kaikki yhdessä täyttävät yhtälön , eli elliptisen käyrän, menettely on periaatteessa sama. Koska tämä tehdään käyttämällä elliptisiä funktioita , tällä kertaa kompleksifunktioita käytetään parametritoiminnoissa todellisten arvojen sijasta. Wanted on funktionaalinen pari täällä ja sinin ja kosinin kaltainen, joten jokaisen kompleksiluvun osalta otetaan huomioon. Arvon lisäämisen jälkeen voidaan myös kopioida käyrän koordinaatit . Tässäkin käytetään jaksollisia funktioita , jotka kuitenkin määritellään alusta alkaen kompleksiluvuilla. Siten he antavat kompleksiluvun jokaiselle tason pisteelle (= jokaiselle kompleksiluvulle ). Weierstrasse -toiminnot ovat sopivia kohteita . ${\ displaystyle (x, y)}$${\ displaystyle y ^ {2} = x ^ {3} + kirves + b}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle g (t) ^ {2} = f (t) ^ {3} + af (t) + b}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle (x, y) = (f (t), g (t))}$

Tämä parametrointimuoto on funktioteorian kannalta alkeellinen, mutta ei vielä anna mitään tietoa käyrän järkevistä pisteistä. Tätä varten on harkittava toista, paljon vaikeampaa parametrointia, katso alla.

Heegner -pisteiden määrittely toisen asteen yhtälöillä ja esimerkeillä

Heegnerin pisteet ovat kompleksilukuja, joilla on positiivinen imaginaariosa ja jotka ratkaisevat muodon toisen asteen yhtälön kokonaisluvuilla . Sitä aina oletetaan ja sillä on suurin yhteinen tekijä . Koska liuos on kaava / keskiyöllä kaava , liuos positiivinen imaginaariosa asteen yhtälö ilmaistaan ${\ displaystyle A \ tau ^ {2} + B \ tau + C = 0}$${\ displaystyle A> 0, B, C}$${\ displaystyle A, B}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle 1}$

${\ displaystyle \ tau = {\ frac {-B + {\ sqrt {B ^ {2} -4AC}}} {2A}} = {\ frac {-B + i {\ sqrt {4AC-B ^ {2 }}}} {2A}}}$

pois päältä, joka asetettiin viimeisessä vaiheessa . Juuren alapuolella olevan luvun on oltava negatiivinen, koska muuten juuri ei luo kuvitteellista lukua. Sitä kutsutaan myös erotteluanalyysi on Heegner pisteen ja on joskus huomattava, koska. ${\ displaystyle {\ sqrt {-1}} =: i}$${\ displaystyle B ^ {2} -4AC}$${\ displaystyle \ tau}$${\ displaystyle D (\ tau)}$

Lisäksi on ratkaisevan tärkeää antaa muita tietoja Heegner -pisteille syrjijöiden lisäksi. Tämä tehdään, jotta ne voidaan liittää sopiviin kohteisiin myöhemmissä laskuissa. Lisäksi nämä tiedot ovat osa Heegner -pisteen täydellistä määritelmää ja antavat tietoa geometrisesta kuvasta, josta se voidaan myöhemmin "löytää". Toisaalta, sinulla on taso on , joka voidaan lukea yhtälöstä . Se on positiivinen kokonaisluku, joka jakautuu siten, että suurin yhteinen tekijä ja on yhtä suuri . Sillä on ominaisuus, että Heegnerin pisteellä on sama erottelija kuin . ${\ displaystyle \ tau}$${\ displaystyle A \ tau ^ {2} + B \ tau + C = 0}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle {\ tfrac {A} {N}}, B}$${\ displaystyle CN}$${\ displaystyle 1}$${\ displaystyle N \ tau}$${\ displaystyle \ tau}$

Heegnerin tason ja erottelijan pisteiden erittäin tärkeä ominaisuus on, että jokainen numero muuttuu näistä ${\ displaystyle \ tau}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle D (\ tau)}$

${\ displaystyle {\ frac {a \ tau + b} {Nc \ tau + d}}}$

kokonaisluvuilla , joten se on jälleen Heegnerin tasopiste ja syrjivä . Tämä on muutos niin sanottujen yhtäpitävyys alaryhmiä . On jopa mahdollista tunnistaa kaikki nämä kohdat, koska kaikki nämä tärkeät ominaisuudet säilyvät muutoksen jälkeen. Kahta toisiinsa tunnistettua pistettä kutsutaan vastaaviksi. Esimerkiksi tasolla 1, kohdat , ja vastaavat toisiaan. Kuitenkin, ja eivät ole vastaavia tasolla 11, mutta silti ja . Yleensä mahdollisten vastaavuusluokkien määrä kasvaa tason myötä. ${\ displaystyle a, b, c, d}$${\ displaystyle ad-Nbc = 1}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle D (\ tau)}$${\ displaystyle \ tau}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle {\ tfrac {i} {i + 1}}}$${\ displaystyle {\ tfrac {4i + 1} {11i + 3}}}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle {\ tfrac {i} {i + 1}}}$ ${\ displaystyle i}$${\ displaystyle {\ tfrac {4i + 1} {11i + 3}}}$

Tämä motivoi sitä, että vain pieni osa Heegnerin pisteistä ylemmällä puolitasolla on otettava huomioon, koska vastaavat pisteet jätetään pois. Sanotaan myös, että tarkastellaan toisiaan vastaavien pisteiden luokkia. Tätä tunnistamisperiaatetta voidaan havainnollistaa paremmin tunnetulla esimerkillä: On mahdollista tunnistaa mikä tahansa reaaliluku kaikkien numeroiden kanssa, jotka ovat muodossa, jossa on kokonaisluku. Näin teki ja samat "Ominaisuudet". Tämän vastaavuuden harkitsemisen jälkeen riittää, että tutkitaan aikaväli kokonais- ja 1-jaksollisen funktion, kuten vastaavien pisteiden tasapuolisen käsittelyn sijaan. Oikeassa kuvassa näkyvä harmaa alue on alue, jolle luokat on koottu yhteen tason 1 suhteen - mutta myös kaikki muut sinisten viivojen ympäröimät alueet voidaan valita. On siis ilmeistä pohtia toimintoja yläosa tason, jotka eivät muuta arvoa vaihdettaessa vastaava (Heegner) pistettä tai eri tunnistamiseen alueilla, kuten niiden arvo ei muutu vaihdettaessa välillä on . Tason 1 luokissa tällainen invarianttifunktio on ns. J-funktio . Esimerkiksi on ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle x + n}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle {\ sqrt {2}} - 42}$${\ displaystyle {\ sqrt {2}}}$${\ displaystyle [0,1]}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ sin (2 \ pi x)}$${\ displaystyle \ sin (2 \ pi x)}$${\ displaystyle x \ mapsto x + 42}$${\ displaystyle [0,1]}$${\ displaystyle [42.43)}$

${\ displaystyle j (i) = j \ left ({\ frac {i} {i + 1}} \ right) = j \ left ({\ frac {4i + 1} {11i + 3}} \ right)}$

jne. Ja juuri niin parametroida alkaen ympyrä - taivuttamalla ja liimaamalla molemmissa päissä - muodostaa moduulin käyrä päässä N-taso tunnistamisen alueella . Tätä kutsutaan myös . Tämän kuvan alla Heegnerin pisteet, joilla on tasot, muuttuvat vastaavan moduulin käyrän pisteiksi , mutta ovat silti merkitty sellaisiksi. Käyrinä moduulikäyrät koostuvat pisteistä, jotka ratkaisevat algebrallisen yhtälön, katso alla. ${\ displaystyle x \ mapsto (\ cos (2 \ pi x), \ sin (2 \ pi x))}$${\ displaystyle [0,1]}$${\ displaystyle \ tau \ mapsto (j (\ tau), j (N \ tau))}$${\ displaystyle X_ {0} (N)}$${\ displaystyle \ tau}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle (j (\ tau), j (N \ tau)) = (x, y)}$

Heegner -pisteiden luokkien lukumäärä yllä olevan tunnisteen alla liittyy läheisesti kehon luokan numeroon syrjijän vakiintuneen valinnan jälkeen . Jos erottelija korjataan, on aina vain rajallinen määrä tarkasteltavan tason Heegner -pisteitä ja tämä erottelija tunnistusalueella. Sitä sovelletaan, että luku "olennaisesti" vastaa täsmälleen luokan numeroa - tässä ei kuitenkaan ole vielä otettu huomioon tiettyjä yhdenmukaistamisen alaryhmien kaltaisia ​​muunnoksia, jotka lähettävät myös Heegner -pisteitä niille, joilla on samat ominaisuudet. Näitä kutsutaan myös involuutioiksi. Kuitenkin, koska ne eivät ole osa yhdenmukaisuuden alaryhmiä, niihin liittyvät kohdat erotetaan edelleen sen jälkeen, kun yhdenmukaisuusalaryhmä on tunnistanut ne. Vasta sen jälkeen, kun on tunnistettu uudelleen luokat, jotka syntyvät toisistaan ​​osallistumalla, on lopulta täsmälleen yhtä monta luokkaa kuin luokan numero .${\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {D}})}$${\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {D}})}$

Johdannossa jo esitetty pointti

${\ displaystyle \ tau = {\ frac {1 + i {\ sqrt {163}}} {2}}}$

on Heegnerin piste tasolla 1, koska se pätee

${\ displaystyle (x- \ tau) (x - {\ overline {\ tau}}) = \ left (x - {\ frac {1 + i {\ sqrt {163}}} {2}} \ right) \ vasen (x -{\ frac {1 -i {\ sqrt {163}}} {2}} \ right) = x ^ {2} -x + 41.}$

Esimerkki tason 3 Heegner -pisteestä on

${\ displaystyle \ tau = {\ frac {-1 + i {\ sqrt {59}}} {6}},}$

joka vastaa nelikulmaista muotoa erottelijan kanssa . Siitä seuraa myös, että esim ${\ displaystyle 3x ^ {2} + xy + 5y ^ {2}}$${\ displaystyle D (\ tau) = 1 ^ {2} -4 \ cdot 3 \ cdot 5 = 1-60 = -59}$

${\ displaystyle {\ frac {4 \ tau +1} {15 \ tau +4}} = {\ frac {3558 +6i {\ sqrt {59}}} {13356}}}$

on Heegnerin piste tasolla 3 ja syrjivä  , koska . ${\ displaystyle -59}$${\ displaystyle 4 \ kertaa 4-1 \ kertaa 15 = 1}$

Moduulikäyristä elliptisiin käyriin: kuva

Parametroinnin , jossa Weierstrasse ℘ toiminto , kuvaa luku elliptinen käyrä, mutta ei tarjoa mitään lukuteoreettisen tiedot. Jotta voitaisiin rakentaa järkeviä pisteitä elliptiselle käyrälle, kauden verkon yksinkertaiset pisteet olisi tiedettävä, jotta koordinaatit olisivat järkeviä. Tällaisia ​​hypoteettisia "Heegner -pisteitä" ei kuitenkaan yleensä ole tai niitä ei voida vain arvailla. Modulaarisuuslauseen ansiosta , jonka Andrew Wiles ja muut ovat todistaneet pitkän ajan jälkeen , tiedetään, että on olemassa toinen tapa parametroida järkeviin numeroihin määritellyt elliptiset käyrät (eli . Myös tässä tapauksessa kartoituksessa rooli oleva funktio on jaksollinen ja transsendenttinen. Kartoitus on kuitenkin paljon monimutkaisempi kuin Weierstrasse ℘ -toimintoja käyttävä variantti. Parametrikohde on ylempi puolitaso , eli kaikki kompleksiluvut, joilla on positiivinen imaginaariosa. ${\ displaystyle z \ mapsto (\ wp (z), \ wp '(z))}$${\ displaystyle z}$${\ displaystyle (\ wp (z), \ wp '(z))}$${\ displaystyle y ^ {2} = x ^ {3} + kirves + b}$${\ displaystyle a, b \ in \ mathbb {Q}}$

Tätä varten lasketaan elliptisen käyrän johtaja , positiivinen kokonaisluku. Tämä osoittaa, että elliptinen käyrä parametroidaan moduulikäyrällä : Koska parametrointitoiminto ylemmällä puolitasolla pysyy muuttumattomana elliptisellä käyrällä, kun se korvataan kokonaisluvuilla , tämä on matemaattisesti järkevää. Vaikka parametriobjekti näyttää nyt paljon monimutkaisemmalta, toisin kuin elliptinen käyrä tai pisteverkko, jotkut algebralliset pisteet (mahdollisesti jopa järkevät pisteet) voidaan arvata suoraan tästä kohteesta - niin sanotut Heegner -pisteet. Avain ymmärtää, että pisteillä, joilla on tason N Heegner-piste, on algebralliset koordinaatit, on se, että toisen asteen yhtälöstä tulee liian ${\ displaystyle N}$${\ displaystyle X_ {0} (N)}$${\ displaystyle \ tau \ mapsto {\ tfrac {a \ tau + b} {Nc \ tau + d}}}$${\ displaystyle ad-Nbc = 1}$${\ displaystyle (j (\ tau), j (N \ tau))}$${\ displaystyle A \ tau ^ {2} + B \ tau + C = 0}$

${\ displaystyle {\ frac {-C} {A \ tau + B}} = \ tau}$

voidaan muotoilla uudelleen. Invarianssin ominaisuuksien perusteella voidaan väittää, että on olemassa sellaisia kokonaislukuja${\ displaystyle j}$${\ displaystyle a_ {n}, a_ {n-1}, \ piste, a_ {0}}$

${\ displaystyle a_ {n} j (\ tau) ^ {n} + a_ {n-1} j (\ tau) ^ {n-1} + \ dotsb + a_ {0} = 0}$

On. Sama koskee . Wilesin ennustama suora, transsendenttinen parametrointi voidaan näin ollen jakaa kahteen, teoriassa yksinkertaisempaan kuvaan, joista ensimmäinen tarjoaa moduulikäyrän välitason parametroinnin. Tämä tekee kokonaiskuvan algebrallisesta luonteesta näkyvän Heegnerin pisteissä. Tämän seurauksena osa, kartoitus kulkee ylemmästä puoli tasoon osaksi moduulin käyrä ja päässä moduulin käyrä osaksi elliptisen käyrän sijasta päässä ylemmästä puoli tasossa suoraan elliptinen käyrä:${\ displaystyle N \ tau}$

• Moduulikäyrän parametrointi analoginen elliptisen käyrän kanssa: J-funktiota käytetään kartoittamaan ylemmän puolitason pisteitä , jotka ratkaisevat yhtälön, kuten . Tässä on tietty luonnollinen luku , jota kutsutaan myös myöhemmän elliptisen käyrän johtajaksi .${\ displaystyle z \ mapsto (j (z), j (Nz)) = (x, y)}$${\ displaystyle y ^ {2} = x ^ {7} -16x ^ {6} + 4x ^ {3} -2x + 87}$${\ displaystyle N}$
• Moduulikäyrän pisteiden kartoitus , joka ratkaisee tämän erittäin monimutkaisen yhtälön, pisteiksi elliptisessä käyrässä ohjaimilla , jotka ratkaisevat yhtälön . Funktiot, kuten sini, kosini, ℘ tai j, eivät tule tähän peliin, vaan yksinkertainen algebrallinen kartoitus . Toisin sanoen pisteet, jotka täyttävät moduulikäyräyhtälön, yhdistetään pisteisiin, jotka ratkaisevat elliptisen käyrän yhtälön, missä ja ovat polynomeja kahdessa muuttujassa. Esimerkki algebrallisen kartoitus olisi käyrästä on normaali paraabeli . Yksi Andrew Wilesin suurista saavutuksista oli selittää, että moduulikäyrän ja elliptisen käyrän välinen (parametroiva) kartoitus on algebrallinen . Tämä on merkittävää, koska toiminto on ylivertainen ylempi puoli tasoon .${\ displaystyle (x, y)}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle y ^ {2} = x ^ {3} + kirves + b}$${\ displaystyle (x, y)}$${\ displaystyle (p (x, y), q (x, y))}$${\ displaystyle p (x, y)}$${\ displaystyle q (x, y)}$ ${\ displaystyle (x, 0) \ mapsto (x, x ^ {2})}$${\ displaystyle y = 0}$ ${\ displaystyle y = x ^ {2}}$

Käytännössä on vaikea esittää sekä moduulikäyrien yhtälöä että polynomeja ja nimenomaisesti, koska ne muuttuvat nopeasti monimutkaisiksi johtajan kasvaessa. Reitti ylimmästä puolitasosta suoraan elliptiseen käyrään valitaan siksi aina algoritmien laskemista varten , katso alla. ${\ displaystyle p}$${\ displaystyle q}$

Yhteenvetona: Koska moduulikäyrän algebralliset pisteet voidaan "laskea suoraan" käyttämällä Heegnerin pisteitä ja j-funktio ja seuraava algebrallinen kartoitus moduulikäyrästä elliptiseen käyrään säilyttää algebrallisuuden, tämä menetelmä luo algebrallisia pisteitä elliptiselle käyrälle . Tämä on ympyrän vastaava osa - tässä algebralliset arvot voitaisiin laskea suoraan ympyrälle käyttämällä transcendenttifunktiota (joten väli tässä on ylemmän puolitason rooli). ${\ displaystyle t \ mapsto e ^ {2 \ pi it}}$${\ displaystyle [0,1]}$

Jopa käytännössä on epätavallista kirjoittaa ylös yhtälöt, jotka määrittävät moduulikäyrän , koska nämä niin sanotut modulaariset yhtälöt muuttuvat hyvin monimutkaisiksi hyvin nopeasti. Jo tapauksessa löytyy${\ displaystyle X_ {0} (N)}$${\ displaystyle N = 2}$

${\ displaystyle -x ^ {2} y ^ {2} + x ^ {3} + 1488x ^ {2} y + 1488xy ^ {2} + y ^ {3} -162000x ^ {2} + 40773375xy -162000y ^ {2} + 8748000000x + 8748000000y-157464000000000 = 0.}$

Yksittäinen Heegnerin piste ei luo alun perin järkevää pistettä elliptiselle käyrälle. Toisin kuin ympyrä, Heegnerin pisteet eivät johdu järkevistä luvuista, vaan ne sijaitsevat neliömäisessä kappaleessa, jossa on kokonaisluku, jos ne ovat ylemmällä puolitasolla eivätkä aloita moduulikäyrästä . Sitten on kyseinen syrjijä. Jos useat Heegnerin pisteet ovat kuitenkin taitavasti toisiaan vasten, voidaan joissain tapauksissa taata, että niiden kanssa muodostetut pisteet elliptisellä käyrällä ovat jopa järkeviä. Vaadittava Heegner -pisteiden lukumäärä riippuu niiden neliökappaleen luokanumerosta, jossa ne sijaitsevat. ${\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {D}})}$${\ displaystyle D <0}$${\ displaystyle D}$

Tarkasteltavaa parametrointia voidaan siis yhdessä tämän periaatteen kanssa pitää yleisenä versiona . ${\ displaystyle e ^ {2 \ pi it}}$

Modulaariteema ja Heegnerin pisteet

Kun lasketaan järkeviä pisteitä elliptisille käyrille, ei ole järkevää käyttää yhtälöitä, jotka määrittelevät moduulikäyrät, katso edellä, vaan sen sijaan parametroidaan suoraan ylemmältä puolitasolta. Käyttäen Wiles' parametroinnin , Heegner pistettä, eli ratkaisuja asteen yhtälöt positiivisen imaginaariosa, on lähettää funktion arvoon, joka sijaitsee ajanjakson mesh kuuluvat elliptinen käyrä. Sieltä vastaavia ℘ -toimintoja voidaan käyttää tuplen lähettämiseen niin, että . Samaan aikaan näillä valituilla ja molemmilla on hyvät algebralliset ominaisuudet, joten ne täyttävät itsestään algebrallisen yhtälön. Parhaimmillaan se on järkevä pointti. ${\ displaystyle f (\ tau)}$ ${\ displaystyle f (\ tau)}$${\ displaystyle f (\ tau)}$${\ displaystyle (x (\ tau), y (\ tau))}$${\ displaystyle y (\ tau) ^ {2} = x (\ tau) ^ {3} + kirves (\ tau) + b}$${\ displaystyle x (\ tau)}$${\ displaystyle y (\ tau)}$${\ displaystyle (x (\ tau), y (\ tau))}$

Wiles pystyi osoittamaan, että tietoja voidaan käyttää parametrien hankkimiseen algoritmin avulla . Tätä varten on ensinnäkin tärkeää, että molemmat ovat järkeviä. Näin on esimerkiksi käyrän tapauksessa . Rakentamisessa on otettava huomioon alkuluvut . Tämä tarkoittaa, että kyseessä on alkuluku, vain jäljellä luokan käytetään jakoa kautta . Esimerkiksi, modulo , koska mukaan joten molemmat voidaan jakaa, ja sen jälkeen kun jako loman sama jakojäännös. Rakennettaessa yhtälö on otettava huomioon vain jäännös -tasa -arvon näkökulmista, mutta teoriassa kaikkien alkuluvujen osalta peräkkäin. Esimerkiksi on vain tarkistettava, sijaitsevatko neljä pistettä modulo -alennetulla käyrällä , koska ja ainoat jäänteet ovat modulo . Lisäämällä ylemmässä järjestyksessä yhteen löytöön , jossa sekä lausumat että modulo ovat totta, koska loput luokat vastaavat. Joten tässä on 2 pistettä käyrässä. Samalla tavalla voidaan suorittaa modulo -mielivaltaisia ​​alkulukuja, ja siten generoidaan kokonaislukujen sarja ratkaisunumeroiden yli. Tästä sekvenssistä voidaan puolestaan ​​määrittää kokonaislukujakso, joka koodaa funktion, jota voidaan myöhemmin käyttää parametroinnin määrittämiseen. Se luodaan muodostamalla Fourier -sarja${\ displaystyle E \ kaksoispiste y ^ {2} = x ^ {3} + kirves + b}$${\ displaystyle f (\ tau)}$${\ displaystyle a, b}$${\ displaystyle E \ kaksoispiste y ^ {2} = x ^ {3} -3x + 1}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle E}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle 0,1,2, \ piste, p-1}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle 7 = 2}$${\ displaystyle 5}$${\ displaystyle 7-2}$${\ displaystyle 5}$${\ displaystyle 7}$${\ displaystyle 2}$${\ displaystyle 5}$${\ displaystyle f (\ tau)}$${\ displaystyle y ^ {2} = x ^ {3} -3x + 1}$${\ displaystyle p = 2}$${\ displaystyle (0.0), (0.1), (1.0), (1.1)}$${\ displaystyle 2}$${\ displaystyle y ^ {2} = x ^ {3} -3x + 1}$${\ displaystyle 1}$${\ displaystyle 2}$${\ displaystyle E \ kaksoispiste y ^ {2} = x ^ {3} -3x + 1}$${\ displaystyle 0 = 1,0 = -1,1 = 1,1 = -1}$${\ displaystyle 1 = 1}$${\ displaystyle 1 = -1}$${\ displaystyle 2}$${\ displaystyle a_ {1}, a_ {2}, a_ {3}, \ piste}$${\ displaystyle f_ {E} (\ tau)}$

${\ displaystyle f_ {E} (\ tau): = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n} e ^ {2 \ pi in \ tau} = a_ {1} e ^ {2 \ pi i \ tau} + a_ {2} e ^ {4 \ pi i \ tau} + a_ {3} e ^ {6 \ pi i \ tau} + \ piste}$.

Lisäksi Wiles pystyi osoittamaan, että tämä toiminto ei ole vain jaksollinen Fourier -sarjan takia, vaan sillä on myös muita muunnosominaisuuksia. Nämä muunnosominaisuudet tekevät siitä modulaarisen muodon ja mahdollistavat sen käyttämisen integraalien laskemiseen yllä kuvatulla moduulikäyrällä . Laita integraali ${\ displaystyle f_ {E} (\ tau)}$${\ displaystyle f_ {E} (\ tau)}$

${\ displaystyle f (\ tau) = 2 \ pi i \ int _ {i \ infty} ^ {\ tau} f_ {E} (z) \ mathrm {d} z = \ summa _ {n = 1} ^ { \ infty} {\ frac {a_ {n}} {n}} e ^ {2 \ pi in \ tau} = a_ {1} e ^ {2 \ pi i \ tau} + {\ frac {a_ {2} } {2}} e ^ {4 \ pi i \ tau} + {\ frac {a_ {3}} {3}} e ^ {6 \ pi i \ tau} + \ piste}$

Heegnerin piste, jossa piste on äärettömän kaukana ylemmällä puolitasolla, tulos määritetään aluksi selvästi. Summa seurauksena kiinteä saatiin lisäämällä perustavanlaatuinen lause analyysin ja sääntö, jonka mukaan Integraalifunktio on on. Kuitenkaan ei enää haluta ottaa huomioon ylempää puolitasoa, vaan moduulikäyrää, koska Wilesin parametrointi on algebrallisten käyrien välinen ja vain sellaisena se voi edustaa algebrallista kartoitusta. Näin ollen integraalin pitäisi itse asiassa pysyä muuttumattomana, jos sen sijaan käytetään Heegner -pisteitä, jotka tunnistetaan taivutuksen ja perusalueiden taittamisen jälkeen munkin muodostamiseksi. Voidaan osoittaa, että ainutlaatuisuus kompleksilukuna häviää, mutta se palautetaan, jos näet tuloksen pisteverkossa eikä sillä ole väliä, mikä verkko on tarkalleen valittu. Tämä ajanjakso kuuluu pääsääntöisesti nimenomaan alussa tarkasteltuun elliptiseen käyrään. Tällöin tulos on kuitenkin jo katsotulla elliptisellä käyrällä ja sillä on hyvät ominaisuudet. ${\ displaystyle i \ infty}$${\ displaystyle {\ tfrac {e ^ {xa}} {a}}}$ ${\ displaystyle e ^ {ax}}$${\ displaystyle \ tau}$${\ displaystyle \ tau}$

Numero-teoreettisen merkityksen luokittelu

Koivu ja Swinnerton-Dyer-olettamus

Bryan Birchin ja Peter Swinnerton-Dyerin mukaan nimettyjen Birch- ja Swinnerton-Dyer-olettamusten yhteydessä Heegnerin pisteillä on tärkeä rooli. Tämä olettamus antaa lausunnon niin sanotusta elliptisen käyrän asemasta rationaalilukujen suhteen. Sijoitus on ei-negatiivinen kokonaisluku ja kuvaa elliptisen käyrän järkevien pisteiden lukumäärän suuruusluokkaa.

Sijoitus 0 tarkoittaa, että käyrällä on vain rajallinen määrä järkeviä pisteitä. Tästä seuraa, että jokaisella järkevällä pisteellä on oltava äärellinen järjestys, eli jos se lisätään itseensä kuinka monta kertaa tahansa, se kuuluu toistuvaan kaavaan.

Rankista 1 alkaen käyrillä on aina ääretön määrä pisteitä. Siitä huolimatta tässä voidaan silti tehdä ero ääretön laajuuden välillä . Mitä korkeampi sijoitus, sitä enemmän käyrällä on pisteitä. Taajuuden laajuus mitataan siitä, kuinka monta pistettä tarvitaan kaikkien käyrän pisteiden luomiseksi lisäämällä ja vähentämällä nämä valitut pisteet. Tässä mielessä äärettömän monien kokonaislukujen 2- sarjojen joukolla on sijoitus 2, koska tarvitset kaksi pistettä additiivisesti saadaksesi kaikki pisteet lisäämällä ja vähentämällä, ja esim. ${\ displaystyle \ {(x, y) \ mid x, y \ in \ mathbb {Z} \}}$${\ displaystyle (1,0)}$${\ displaystyle (0,1)}$

${\ displaystyle (3, -2) = (1,0) + (1,0) + (1,0) - (0,1) - (0,1)}$

komponenttikohtaisen lisäyksen kautta. Toisaalta sillä on vain sijoitus 1, koska jokainen kokonaisluku voidaan luoda itse lisäämällä tai vähentämällä - eli vain yhdellä elementillä. ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle 1}$

Todellisessa oletuksessa todetaan, että elliptisen käyrän asema järkevien lukujen yläpuolella voidaan lukea niiden "analyyttisistä tiedoista". Tämä tarkoittaa nimenomaan Wilesin luomaa modulaarista muotoa , joka on monimutkaisen analyysin kohde eikä "algebra". Ns L-toiminto liittyvän elliptinen käyrä voidaan laskea: Se johtuu myös numerot${\ displaystyle E}$${\ displaystyle f_ {E} (z)}$${\ displaystyle f_ {E}}$${\ displaystyle a_ {1}, a_ {2}, \ piste \ kaksoispiste}$

${\ displaystyle L (E, s): = \ summa _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {a_ {n}} {n ^ {s}}} = a_ {1} + {\ frac {a_ {2}} {2 ^ {s}}} + {\ frac {a_ {3}} {3 ^ {s}}} + \ piste}$

Tämä on niin sanottu Dirichlet-sarja . Wilesin mukaan tämä voidaan laajentaa funktioksi, joka koskee kaikkia kompleksilukuja. Arveluihin todetaan, että nollat järjestyksen peräisin pisteen suoraan listalla vastaava. Se on yksi matematiikan tärkeimmistä ongelmista ja se on edelleen selittämätön. ${\ displaystyle L (E, s)}$${\ displaystyle s = 1}$${\ displaystyle E (\ mathbb {Q})}$

Rivien 0 ja 1 tapauksessa tämä ongelma voidaan kuitenkin ratkaista Heegnerin pisteiden avulla. Läpimurto syntyi kahden matemaattisen esseen yhdistelmästä, joista toinen kirjoitti Benedict Gross ja Don Zagier , toinen Victor Kolyvagin . Grossin ja Zagierin saavutus koostui siitä, että Heegnerin pisteiden elliptiselle käyrälle rakentamien järkevien pisteiden kanoninen korkeus voidaan ilmaista pisteen L-funktioilla . Kaanoninen korkeus on käyrän pisteen monimutkaisuuden mitta. Kanonisen korkeuden määrittelemiseksi määritellään ensin naiivi korkeus, joka määrittää kullekin pisteelle, kuinka vaikeita sen sisältämät järkevät luvut ovat. Esimerkiksi "yksinkertaisempi" järkevä luku kuin on, koska vaaditut luvut olivat ensimmäisessä tapauksessa pienemmät täysin lyhennettyjen murtolukujen kanssa. Sitten kirjoitetaan pisteen naiivina korkeutena, ja se olisi pelkästään esimerkkinä logaritmisen kasvun ansiosta suurimmalle ilmestyvälle numerolle ${\ displaystyle s = 1}$${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}}}$${\ displaystyle {\ tfrac {997} {1001}}}$${\ displaystyle h (P)}$${\ displaystyle P}$

${\ displaystyle h (({{tfrac {1} {2}}, {\ tfrac {997} {1001}})) = \ log (1001).}$

Kaanonisen korkeuden määrittelee nyt ${\ displaystyle {\ widehat {h}} (P)}$${\ displaystyle P}$

${\ displaystyle {\ widehat {h}} (P) = \ lim _ {k \ to \ infty} {\ frac {h (\ alakiinnike {P + P + \ piste + P} _ {k - {\ text { kertaa}}})}} {k ^ {2}}},}$

jossa parametri pyrkii äärettömyyteen oikeassa murto -osassa . Ajatuksena on, että kanoninen korkeus on yksinkertainen vääntöpisteelle, joka toistuu jatkuvasti lisäyksessä, koska murtoluvun lukija toistetaan ja on siten rajoitettu, kun taas nimittäjä on aina suurempi. Päinvastoin voidaan osoittaa, että on kyseessä olevan ääretön järjestyksen arvo on suurempi kuin ulos, koska summat , , sisältää enemmän ja enemmän monimutkaisia, jne. Järkevän komponentteja. Gross ja Zagier pystyivät osoittamaan, että koko vastaa yhtä tekijää . Jos nyt on nolla järjestyksessä 1 in , sen johdannaisella ei ole nollaa . ${\ displaystyle k}$${\ displaystyle k ^ {2}}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle P + P}$${\ displaystyle P + P + P}$${\ displaystyle P + P + P + P}$${\ displaystyle {\ widehat {h}} (P)}$${\ displaystyle L '(E, 1)}$${\ displaystyle L (E, s)}$${\ displaystyle s = 1}$ ${\ displaystyle s = 1}$

Victor Kolyvagin osoitti kuitenkin, että jos Heegnerin pisteiden tuottamalla järkevällä pisteellä on ääretön järjestys, käyrällä on itse asiassa jo sijoitus 1. Grossin ja Zagierin kaavasta tämä skenaario voidaan kuitenkin lukea käyttämällä L-funktiota, nimittäin vain jos L-funktion tilaus on 1 ja siten koivun ja Swinnerton-Dyerin ennustama suhde on Tässä määritetyn L -funktion nollajärjestys. ${\ displaystyle s = 1}$

Kehon ja luokan numerot

Matematiikassa kiinnostaa joukot, jotka on suljettu mahdollisimman monien rakenteiden suhteen. Joukko saa lisärakennetta, kun sen elementtien välillä on linkkejä . Jos esimerkiksi tarkastelet kokonaislukuja , huomaat, että tämä on suoritettu yhteen- ja kertolaskujen yhdistelmillä: Jos lisäät tai kerrot kaksi kokonaislukua, tuloksena on jälleen kokonaisluku, etkä ole jättänyt alkuperäinen setti. Se on kuitenkin vielä rakenteellisempi, jos voidaan myös jakaa. Tämä ei kuitenkaan aina ole mahdollista kokonaisluvuissa, koska esimerkiksi kokonaislukua ei ole. Siksi aluetta on laajennettava täällä, jotta voidaan saada eristäytymisaste jakamisen aikana. Jos kyseessä on yksi, saadaan järkevät luvut . On edelleen vaadittava, että on olemassa "0" ja "1" (neutraalit summaus- ja kertoelementit), jotta kaikkien numeroiden tosiasia / sääntö antaa algebrallisen rakenteen, jota kutsutaan myös kentäksi. ${\ displaystyle \ mathbb {Z} = \ {\ piste, -3, -2, -1,0,1,2,3, \ piste \}}$${\ displaystyle {\ tfrac {1} {3}}}$${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle \ texttyle {\ frac {a} {a}} = 1}$${\ displaystyle a \ neq 0}$

Ei tietenkään ole ainoa ruumis. Joukko todellisia lukuja, on myös ala, koska edellä kuvattujen sääntöjen pätevät myös tässä. Todellisia numeroita on kuitenkin paljon enemmän kuin rationaalisia, minkä vuoksi monet numeroteorian kysymykset, jotka liittyvät erityisesti numeroiden hajoamiseen "alkeellisempiin numeroihin", eivät enää ole järkeviä. Numeroteoriassa on siis erityisen kiinnostunut kappaleista, jotka ovat paljon enemmän samankaltaisia ​​kuin rationaaliluvut kuin todelliset luvut. On mahdollista lisätä yksittäisiä ei-rationaalisia lukuja ja rakentaa niistä uusi runko muodostamalla kaikki mahdolliset summat, tuotteet ja osamäärät. Esimerkiksi joukko , joka koostuu lomakkeen kaikista numeroista järkevillä numeroilla , on jälleen kenttä. Tällaista järkevien numeroiden laajennusta kutsutaan numerokenttään . ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {2}})}$${\ displaystyle x + y {\ sqrt {2}}}$${\ displaystyle x, y \ in \ mathbb {Q}}$

Luokan numero ja siten Heegnerin pisteet tulevat huomioon, kun on kyse siitä, että kokonaisluvut nähdään rationaalilukujen sukulaisina , koska jälkimmäiset nousevat niistä niin sanotusti muodostamalla osamääriä. Tällaisia ​​"kokonaislukuja" löytyy myös numerokentistä, mutta niiden ei enää tarvitse olla, ne voivat sisältää muita elementtejä. Kokonaiset luvut kehossa olisivat suunnilleen ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {2}})}$

${\ displaystyle 2, \ quad 3, \ quad 1 + {\ sqrt {2}}, \ quad 3-2 {\ sqrt {2}}}$

toisin kuin yleiset kehon elementit, kuten

${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}}, \ quad {\ tfrac {3} {7}}, \ quad {\ tfrac {2} {11}} - {\ tfrac {5} {8}} {\ sqrt {2}}, \ quad - {\ tfrac {11} {89}} {\ sqrt {2}}.}$

Myös yleistettyjen kokonaislukujen tyyppien tapauksessa voidaan tutkia, onko olemassa yksiselitteistä hajoamista "alkuluvuiksi" (lukuun ottamatta elementtejä, kuten yksinkertaisia ​​merkkejä ja tietysti järjestystä). In , tämä tiedetään olevan tapauksessa, esimerkiksi jossa alkulukuja ja , ja ei ole olemassa muita hajoamistuotteita vaihtoehtoja, lukuun ottamatta merkki ja sekvenssin muutokset, kuten . Joten se on jossain määrin "hyvänlaatuista" lukuteorian näkökulmasta - hajoamismahdollisuuksia on vain yksi luokka. Mielivaltaisten numerokenttien tapauksessa voi kuitenkin tapahtua, että niiden kokonaislukuja ei enää voida hajottaa selvästi "alkuluvuiksi" (yleisemmin alkutekijöiksi ). Esimerkki ainutlaatuisuuden puutteesta on ${\ displaystyle \ pm 1}$${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle -50 = -2 \ cdot 5 \ cdot 5}$ ${\ displaystyle 2}$${\ displaystyle 5}$${\ displaystyle 5 \ cdot (-2) \ cdot 5}$${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$

${\ displaystyle 10 = 2 \ cdot 5 = (4 + {\ sqrt {6}}) \ cdot (4 - {\ sqrt {6}})}$

jossa on neljä pääelementtiä kokonaisluvuissa . Viimeisen muutoksen, ero kahden ruutua voidaan kirjoittaa, joka voidaan sitten laskelmiin osaksi tuotetta ja summa ja ero näiden kahden emäksen ja . Nyt voidaan mitata, kuinka paljon tilanne poikkeaa "ihanteellisesta tapauksesta", joka on selkeä hajoavuus. Tätä virhettä kutsutaan numerokentän luokan numeroksi ja se on luonnollinen luku. Esimerkiksi rationaalilukujen kentällä on luokan numero 1.${\ displaystyle 2,5,4 \ pm {\ sqrt {6}}}$${\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {6}})}$${\ displaystyle 10}$ ${\ displaystyle 16-6 = 4 ^ {2} - {\ sqrt {6}} ^ {2}}$ ${\ displaystyle 4}$${\ displaystyle {\ sqrt {6}}}$

Numerokentän luokan numeron määrittäminen on yleensä erittäin vaikeaa, ja tällä alalla on monia ratkaisemattomia ongelmia tähän päivään asti. Heegnerin pisteillä voidaan (epäsuorasti) määrittää joidenkin kappaleiden luokan numero. Esimerkiksi voidaan osoittaa, että ainoat kuvitteellisia numeroita sisältävät neliökenttäkentät, joissa on yksiselitteinen hajoaminen alkutekijöiksi, ovat juuri kenttiä

${\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {-1}}), \, \ mathbb {Q} ({\ sqrt {-2}}), \, \ mathbb {Q} ({\ sqrt {- 3}}), \, \ mathbb {Q} ({\ sqrt {-7}}), \, \ mathbb {Q} ({\ sqrt {-11}}), \, \ mathbb {Q} ({ \ sqrt {-19}}), \, \ mathbb {Q} ({\ sqrt {-43}}), \, \ mathbb {Q} ({\ sqrt {-67}}), \, \ mathbb { Q} ({\ sqrt {-163}})}$

ovat.

Selkeä esimerkki järkevän pisteen muodostamisen menettelystä

Jos halutaan yrittää löytää ei-triviaalinen järkevä piste elliptisellä käyrällä rationaalilukujen yli Heegner-pisteiden avulla, lähtökohtana on käyrän yhtälö. Luodun pisteen järkevyyden kannalta on tärkeää, että kaikki tason Heegner -pisteet ja tietty erottelija virtaavat moduulikäyrään. Involvaatioiden vastaavuudet on jo otettu huomioon, mikä tarkoittaa, että (luokan numero) pisteet on aina pakattu algoritmiin. Esimerkki on esimerkki ${\ displaystyle h (D)}$

${\ displaystyle E \ kaksoispiste y ^ {2} = x ^ {3} -157 ^ {2} x}$

valittu. Ensimmäinen askel on määrittää tämän käyrän taso. Tämä on positiivinen kokonaisluku ja määrittää jälkikäteen, mitkä Heegnerin pisteet voidaan ottaa huomioon rakentamisessa - nimittäin ne, joiden taso on sama kuin käyrä. Elliptisen käyrän taso antaa yksilöllisen numeron niin, että Wilesin mainitsemat parametrit ovat olemassa moduulikäyrästä käyrään . Se voidaan laskea John T. Taten algoritmin käyttämisen algebrallisen yhtälön kertoimista . Tapauksessa yksi saa . Nyt meidän on käytävä läpi systemaattisesti tasolle sopivat syrjijät, jotka lisätään Grossin ja Zagierin kaavaan, jotta voimme tarkistaa numeerisesti, tuleeko myöhemmän järkevän pisteen kanoninen korkeus vai ei. Esimerkiksi tuloksen kaava on hyvin lähellä, minkä vuoksi vääntöpiste tulee todennäköisesti esiin täällä, mikä on vähäpätöistä. Kuitenkin , ei tule ulos, joten tämä syrjijä voidaan valita. Olemme nyt etsimässä Heegner olevia tasosta ja diskriminantti . Luokan numero on 4, minkä vuoksi teoriassa tarvitaan 4 Heegner -pistettä, jotka eivät ole keskenään samanarvoisia, mutta algoritmi voi soveltaa tätä 2 pisteeseen ${\ displaystyle N}$${\ displaystyle X_ {0} (N) \ longrightarrow E}$${\ displaystyle X_ {0} (N)}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle y ^ {2} = x ^ {3} -157 ^ {2} x}$${\ displaystyle N = 32 \ cdot 157 ^ {2} = 788 \, 768}$${\ displaystyle D <0}$${\ displaystyle D = -31}$${\ displaystyle D = -39}$${\ displaystyle N = 788 \, 768}$${\ displaystyle D = -39}$${\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {-39}})}$

${\ displaystyle \ tau _ {1} = {\ frac {-1 \, 275 \, 547 + i {\ sqrt {39}}} {1 \, 577 \, 536}}}$

ja

${\ displaystyle \ tau _ {2} = {\ frac {-1 \, 275 \, 547 + i {\ sqrt {39}}} {3 \, 155 \, 072}}}$

vähentää. Tämä on laskennallinen temppu, joka hyödyntää kahden tarkasteltavan pisteen välistä symmetriaa. Nämä ratkaisevat toisen asteen yhtälöt ja . Lisälaskelmia varten siihen liittyvä moduulilomake on määritettävä numeerisesti riittävän hyvin. Sitten pisteet ja lisätään parametrointeihin ja kaikki muutetaan muotoon ikään kuin kaikki 4 epätasaista pistettä olisi lisätty. Tulos on nyt osa elliptisen käyrän ajanjaksoa, mutta se voidaan siirtää todelliseen käyrään käyttämällä. Näiden Heegnerin pisteiden rakentama järkevä piste on vihdoin${\ displaystyle 788 \, 768 \ tau _ {1} ^ {2} +1 \, 275 \, 547 \ tau _ {1} +515 \, 684 = 0}$${\ displaystyle 1 \, 577 \, 536 \ tau _ {2} ^ {2} +1 \, 275 \, 547 \ tau _ {2} +257 \, 842 = 0}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle f_ {E}}$${\ displaystyle \ tau _ {1}}$${\ displaystyle \ tau _ {2}}$${\ displaystyle z \ mapsto (\ wp (z), \ wp '(z))}$

${\ displaystyle \ left ({\ frac {95732359354501581258364453} {277487787329244632169121}}, {\ frac {834062764128948944072857085701103222940} {1461725457917215265681552544}$

Tunnelin lauseen mukaan tämä järkevä kohta osoittaa , että on olemassa suorakulmainen kolmio, jolla on vain järkevät sivupituudet ja pinta-ala . Määritetyn suorakulmaisen kolmion, jonka on laskenut Don Zagier, sivupituudet ( katetus , hypotenuusa ):${\ displaystyle d = 157}$ ${\ displaystyle 157}$${\ displaystyle a, b}$ ${\ displaystyle c}$

${\ displaystyle a = {\ frac {411340519227716149383203} {21666555693714761309610}}}$, ja${\ displaystyle b = {\ frac {6803298487826435051217540} {411340519227716149383203}}}$${\ displaystyle c = {\ frac {224403517704336969924557513090674863160948472041} {8912332268928859588025535178967163570016480830}}.}$

tarina

Weberin algebra

Kulmakivi Heegner pisteen teoria muurattiin Heinrich Weber 's oppikirjan algebran jo 1908 . Tässä Weber käsitteli intensiivisesti j-funktiota ja sen yhteyttä luokkateoriaan . Häntä pidetään kompleksisen kertolaskun teorian löytäjänä. Kompleksinen kertolasku viittaa elliptisiin käyriin, joilla pisteitä ei voi vain kertoa esimerkiksi kokonaislukuina , vaan joissa on myös kertolasku tietyillä kuvitteellisilla numeroilla, esim . Weberin kehittämä kompleksisen kertolaskun teoria antaa tietoa ruumiista, jossa elää, jos se on ideaali tietystä monimutkaisesta neliörenkaasta. Esimerkiksi Weber osoitti henkilöllisyytensä ${\ displaystyle P \ mapsto P + P + P}$${\ displaystyle P \ mapsto iP}$${\ displaystyle j (A)}$${\ displaystyle A}$

${\ displaystyle j \ left ({\ sqrt {-14}} \ right) = 2 ^ {3} \ left (323 + 228 {\ sqrt {2}} + (231 + 161 {\ sqrt {2}}) {\ sqrt {2 {\ sqrt {2}} - 1}} \ oikea) ^ {3}}$

tässä yhteydessä luotuista kehonlaajennuksista. Vaikka tulo on Heegnerin piste (tässä merkinnässä ), oikea puoli on algebrallinen luku juurilausekkeiden ja kokonaislukujen yhdistämisenä , eli se ratkaisee algebrallisen yhtälön . Jos lisäät tämän numeron neliön numero kenttään kuuluvat sen erotteluanalyysi on Heegner pisteen , tuloksena on Abelin alan laajentamisen numeron kentän . Weber seurasi tätä ohjelmaa yleisemmin kuin vain koko moduuliryhmää, ja myöhemmin Heegner otti sen uudelleen käyttöön.${\ displaystyle j}$${\ displaystyle j}$${\ displaystyle i {\ sqrt {14}}}$${\ displaystyle {\ sqrt {-14}}}$ ${\ displaystyle K (j ({\ sqrt {-14}}))}$${\ displaystyle K = \ mathbb {Q} ({\ sqrt {-14}})}$

Modulaaristen toimintojen teoria meni kuitenkin täysin muodista aivan äkillisesti. Erich Hecke ja Robert Alexander Rankin antoivat tärkeän panoksen, mutta tuon ajan julkaisut osoittavat, että puolen vuosisadan ajan useimmat matemaatikot tuskin tiesivät, että moduulifunktioiden teoria olisi koskaan ollut olemassa.

Heegnerin työ

Vuonna 1952 Kurt Heegner julkaisi Mathematische Zeitschrift -lehdessä paperin , jossa hän käsitteli yhdenmukaisten lukujen ja elliptisten käyrien ongelmaa . Heegner, menestynyt sähköinsinööri, joka oli myös suorittanut habilitaationsa matematiikassa, tunsi hyvin Weberin algebran oppikirjan. Hän antoi ensin historiallisen johdannon yhteneviin numeroihin. Positiivinen kokonaisluku on yhtenevä, jos se esiintyy suorakulmion alueena, jonka sivut ovat ulkonäöltään järkevät (Heegner kutsui tällaisia ​​kolmioita Harpedonapten -Dreieckiksi). Sitten hän esitteli esseessään Weberin eri asioita ja osoitti joitain teoreemeja, jotka osoittavat, että yhdenmukaisten lukujen ongelma on ratkaistavissa tietyille perheille . Lopulta hän yhtäkkiä ratkaisi klassisen ongelman luonnehtia kaikki kuvitteelliset neliölliset numerokentät luokanumerolla 1. Heegnerin haitaksi vuonna 1952 ei ollut jäljellä ketään, joka hallitsisi Weberin algebran riittävän hyvin arvostaakseen hänen saavutustaan.${\ displaystyle m}$${\ displaystyle m}$

Heegnerin työtä oli vaikea seurata, mikä saattaa olla toinen syy, miksi kukaan ei tutkinut sitä yksityiskohtaisesti tuolloin. Oletettiin myös, että hänen argumenttinsa luokan numeroongelmasta olivat hajanaisia, ja vaikka hänen työnsä yhdenmukaisista numeroista tunnustetaan nyt oikeaksi, on pitkään jäänyt selvittämättä, että Heegner oli luonut perustan uudelle perustavanlaatuiselle menetelmälle - Abelian analyyttiselle toteutukselle. laajennukset kuvitteellinen -suorakaide numero kenttä, analoginen Kronecker-Weber tapauksessa edellä . Heegner kuoli tähän epävarmuuteen.${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$

Kehitys 1970 -luvulta

Se oli Bryan Birch jotka selvitetty systemaattisesti Heegner pistettä modulaarinen elliptisiin käyriin ensimmäisen kerran 1970-luvun lopulla ja 1980-luvun alussa . Kerättyjen numeeristen todisteiden perusteella hän päätti, että näiden pisteiden ns. Korkeudet näyttivät liittyvän ensimmäisiin johdannaisiin elliptisen käyrän Hasse-Weil-zeta-funktion keskeisessä kriittisessä kohdassa . Koivun aloittamalla työllä oli tärkeä rooli numeroteoriassa seuraavien kahden vuosikymmenen aikana ja se valaisi sellaisia ​​perustavanlaatuisia kysymyksiä kuin Gaussin luokan numeroongelma ja Koivu ja Swinnerton-Dyer-olettamus.

Heegner-pisteiden tutkimus kiihtyi 1980-luvun puolivälissä kahden läpimurron ansiosta. Ensimmäinen läpimurto oli Gross - Zagier kaava, joka vahvisti Birch huomautukset ja ilmaisi korkeudet Heegner pistettä käyttämällä ensimmäistä johdannainen keskipisteen siihen liittyvän Rankin L-sarja. Toinen tuli muutamaa vuotta myöhemmin, kun Victor Kolyvagin näytti, kuinka elliptisen käyrän ns. Heegner-järjestelmät hallitsevat Selmer-ryhmänsä kokoa ja rakennetta. Yhdessä nämä kaksi havaintoa johtavat täydelliseen todisteeseen Birch- ja Swinnerton-Dyer-oletuksista (hieman heikommassa muodossaan, joka määrää tasavertaisuuden elliptisen käyrän asteen ja sen L-sarjan välillä ) kaikille modulaarisille elliptiset käyrät, joiden L-funktiolla on korkeintaan yksi yksinkertainen nolla . Menetelmä tuotti todistuksen niin sanotuista Schafarewitsch-Tate-oletuksista myös näille käyrille.${\ displaystyle s = 1}$${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle s = 1}$

Osa-todiste Shimura-Taniyama olettamuksiin 1994 osoitti, että tulokset Gross ja Zagier sekä Kolyvagin pitää ehdoitta kaikki elliptinen käyrät järkevä numerot.

määritelmä

Heegner-pisteet ylemmällä puolitasolla voidaan määritellä Bryan Birchin mukaan seuraavasti.${\ displaystyle \ tau}$${\ displaystyle \ mathbb {H}}$

1. Arvo on kompleksinen kertolasku (CM ), ts. että on, se on ratkaisu toisen asteen yhtälön muotoa kokonaislukuja , joille pätee.${\ displaystyle \ tau}$${\ displaystyle A \ tau ^ {2} + B \ tau + C = 0}$${\ displaystyle A, B, C}$${\ displaystyle B ^ {2} -4AC <0}$
2. Jos suurin yhteinen tekijä on  1, se määrittelee binary neliömäinen muoto . Jos tämä pätee myös , muoto on positiivinen . Sillä on sitten määritetään yksikäsitteisesti ja (kokonaisluku) erotteluanalyysi on kutsutaan .${\ displaystyle A, B, C}$${\ displaystyle (A, B, C): = Axe ^ {2} + Bxy + Cy ^ {2}}$${\ displaystyle A> 0}$${\ displaystyle \ tau}$${\ displaystyle (A, B, C)}$${\ displaystyle D (\ tau): = B ^ {2} -4AC}$${\ displaystyle \ tau}$
3. ${\ displaystyle \ tau}$kutsutaan nyt Heegnerin pisteeksi tasolla ${\ displaystyle N}$ (luonnollisella luvulla ), jos .${\ displaystyle N}$${\ displaystyle D (N \ tau) = D (\ tau)}$

Syrjijällä on erittely tekijöihin numerokentän ns . Missä on suurin neliön numero, niin se pätee. Koko numeroa kutsutaan myös Heegnerin pisteen johtajaksi . Määritelmä osoittaa, että CM- ja Heegner -pisteet liittyvät läheisesti toisiinsa, vaikka Heegner -piste liittyy aina tasoon  . Tämä mahdollistaa moduulikäyrän määrittelyn myöhemmin . Tämän muutoksen se sitten tulee kätevä ajatella Heegner pisteen kuin luokan CM pistettä.${\ displaystyle D (\ tau) = D}$${\ displaystyle D = c ^ {2} D_ {0}}$${\ displaystyle D_ {0}}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle c ^ {2}}$${\ displaystyle D / c ^ {2} \ equiv 0,1 {\ pmod {4}}}$${\ displaystyle c> 0}$${\ displaystyle N}$ ${\ displaystyle X_ {0} (N) = \ Gamma _ {0} (N) \ kenoviiva {\ overline {\ mathbb {H}}}}$

Benedict Gross määritelty Heegner toteaa eri: Onko moduuli käyrä, sitten (teoreettisesti) jokaisen pisteen on graafinen esitys kahden elliptisten käyrien ja jossa ydin isogeny isomorfisen ja on. Syynä tähän on se, että moduulikäyrät ovat myös moduulitiloja ja tässä tapauksessa jokainen piste vastaa kahden elliptisen käyrän välistä isogoniaa. Erityisesti käyrät voivat (yli ) läpi tai vastaavasti. ja isogeniaa voidaan kuvata peittokuvien välisen identiteetin rajoituksena . Tällainen kohta on nyt kutsutaan Heegner pisteen taso , jos se on myös totta, että molemmat ja kompleksisen kertolaskun ja niillä on myös sama endomorphism rengas , so varten , jotta kuvitteellinen-asteen numero kenttään . Sitä sovelletaan yhtä jota kutsutaan myös johtaja Heegner pisteen. Numeroa kutsutaan ikään kuin siihen liittyvän tilauksen johtajaksi .${\ displaystyle X_ {0} (N)}$${\ displaystyle \ tau}$${\ displaystyle X_ {0} (N)}$${\ displaystyle \ phi \ kaksoispiste E \ longrightarrow E '}$ ${\ displaystyle E}$${\ displaystyle E '}$ ${\ displaystyle \ phi}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} / N \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle \ mathbb {C}}$${\ displaystyle E (\ mathbb {C}) \ cong \ mathbb {C} / \ mathbb {Z} + \ tau \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle E '(\ mathbb {C}) \ cong \ mathbb {C} / {\ tfrac {1} {N}} \ mathbb {Z} + \ tau \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle \ mathrm {id} \ kaksoispiste \ mathbb {C} \ longrightarrow \ mathbb {C}}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle E '}$${\ displaystyle \ mathrm {End} (E) = \ mathrm {End} (E ') = {\ mathcal {O}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {O}}}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} = \ mathbb {Z} + c {\ mathcal {O}} _ {K}}$${\ displaystyle c> 0}$${\ displaystyle c> 0}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}}}$

Joissakin sovelluksissa, esimerkiksi Henri Darmonissa, Heegner -pisteet liittyvät myös pisteisiin, jotka syntyvät elliptisiin käyriin sen jälkeen, kun parametrointi on sovellettu (Heegner) -pisteisiin (katso alla). Tätä merkintää käytetään pääasiassa silloin, kun Heegner -pisteiden ominaisuuksia käytetään johdannaisena elliptisen käyrän ominaisuuksista, esimerkiksi Heegner -järjestelmien yhteydessä.${\ displaystyle \ tau}$

Perusominaisuudet

Invarianssin ominaisuudet

Heegner -pisteen tason ei tarvitse olla ainutlaatuinen. Esimerkiksi kaikilla Heegnerin pisteillä on taso 1, koska ilmeisesti aina . Ylemmän tason tapaukset ovat mielenkiintoisia. Voit esimerkiksi määrittää yksinkertaisia ​​menetelmiä rakentaa minkä tahansa määrän uusia Heegner -pisteitä tasoilla  Heegner -pisteestä tasolla  . Ensin havaitaan, että edellä määritelty erottelija ei muutu yksimodulaarisen muutoksen aikana . Tämä tarkoittaa: Jos toisin sanoen kokonaislukumatriisi , jonka determinantti on 1 (koko moduuliryhmä toimii ylemmällä puolitasolla Möbiuksen muunnoksen avulla ), niin ${\ displaystyle D (1 \ cdot \ tau) = D (\ tau)}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle \ texttyle \ gamma = \ left ({\ begin {smallmatrix} a & b \\ c & d \ end {smallmatrix}} \ right) \ in \ mathrm {SL} _ {2} (\ mathbb {Z })}$${\ displaystyle \ mathrm {SL} _ {2} (\ mathbb {Z})}$

${\ displaystyle D (\ gamma (\ tau)) = D \ left ({\ frac {a \ tau + b} {c \ tau + d}} \ right) = D (\ tau).}$

Joten jos on Heegnerin piste tasolla 1, on myös Heegnerin piste tasolla 1. Korkeammille tasoille voidaan käyttää samanlaista mutta valikoivampaa lähestymistapaa. Koska tason N omaisuuden ylläpito tulee yhä vaikeammaksi arvojen kasvaessa  , vain tietyt matriisit voivat pitää tämän ominaisuuden vakaana. Kaikki yhdenmukaisuusalaryhmän matriisit täyttävät tämän - vain ominaisuus on oletettava. Joten jos on Heegnerin piste, jolla on taso  ja matriisi, niin on jälleen Heegnerin piste, jolla on taso  , ja molemmat ja joilla on sama erottelija.${\ displaystyle \ tau}$${\ displaystyle \ gamma (\ tau)}$${\ displaystyle N}$ ${\ displaystyle \ Gamma _ {0} (N)}$${\ displaystyle N | c}$${\ displaystyle \ tau}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle \ gamma \ in \ Gamma _ {0} (N)}$${\ displaystyle \ gamma (\ tau)}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle \ tau}$${\ displaystyle \ gamma (\ tau)}$

Ominaisuus, että sekä syrjijät että Heegner -pisteen tasot, joilla on muutosvaiheessa oleva taso  , säilyvät, on äärimmäisen tärkeä lukuteorian kannalta. Se mahdollistaa käsite Heegner kohdan (jossa taso  ) on moduulin käyrä määritellä, koska kaikki kriittiset ominaisuudet kunkin elementin luokan alla muuttumaton. Kautta Möbius muutos , ryhmä toimii ylemmän puoli-tasossa sekä ns huiput , että on , ja osamäärä on asetettu kaikkien luokkien kohdat, jotka vastaavat yli toimintaa. ${\ displaystyle N}$${\ displaystyle \ gamma \ in \ Gamma _ {0} (N)}$${\ displaystyle N}$ ${\ displaystyle X_ {0} (N) = \ Gamma _ {0} (N) \ kenoviiva {\ overline {\ mathbb {H}}}}$${\ displaystyle [\ tau]}$${\ displaystyle \ Gamma _ {0} (N)}$ ${\ displaystyle \ Gamma _ {0} (N)}$${\ displaystyle \ mathbb {H}}$${\ displaystyle \ mathbb {Q} \ cup \ {i \ infty \}}$${\ displaystyle {\ overline {\ mathbb {H}}}: = \ mathbb {H} \ cup \ mathbb {Q} \ cup \ {i \ infty \}}$${\ displaystyle \ Gamma _ {0} (N) \ kenoviiva {\ overline {\ mathbb {H}}}}$

Olemassaolo ja Heegnerin hypoteesi

Ei ole selvää, onko tietylle tasolle ja johtajalle olemassa Heegnerin piste. Olemassaolon takaamiseksi ns. Heegnerin hypoteesi on täytettävä: Tämä on oletus vastaavasta järjestyksestä . Siinä sanotaan, että on ihanteellinen sellainen, että ${\ displaystyle N}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {n}} \ subseteq {\ mathcal {O}}}$

${\ displaystyle {\ mathcal {O}} / {\ mathfrak {n}} \ cong \ mathbb {Z} / N \ mathbb {Z}.}$

Tämä on ryhmien isomorfismi . Tämä voidaan tulkita seuraavasti: Ihanne voidaan valita siten, että rikkoutuneiden ihanteiden ryhmässä , jossa Heegnerin piste vastaa isogeniaa . Sitä vastoin isogeniassa on ydin, joka on isomorfinen . Näin ollen voidaan osoittaa, että Heegnerin hypoteesi on riittävä ja tarpeellinen Heegnerin pisteiden olemassaololle.${\ displaystyle {\ mathfrak {n}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {n}} = {\ mathfrak {a}} {\ mathfrak {b}} ^ {- 1}}$${\ displaystyle \ tau}$${\ displaystyle \ mathbb {C} / {\ mathfrak {a}} \ rightarrow \ mathbb {C} / {\ mathfrak {b}}}$${\ displaystyle \ mathbb {C} / {\ mathfrak {a}} \ rightarrow \ mathbb {C} / {\ mathfrak {a}} {\ mathfrak {n}} ^ {- 1}}$${\ displaystyle \ mathbb {Z} / N \ mathbb {Z}}$

Heegnerin johtajat huomauttavat

Moduulikäyrän valintaan liittyvän tason lisäksi Heegnerin pisteillä on määritelmänsä mukaan toinen parametri, ns. Tähän viitataan usein nimellä (englantilaisesta kapellimestarista ). Sen merkitys on niin sanottujen rengasluokan kenttien , tiettyjen kuvitteellisen neliön peruskappaleen abelilaisten laajennusten rakentamisessa . Niillä on ominaisuus, että yksittäisen Heegner -pisteen rakentama piste määritellään alun perin siihen liittyvällä elliptisellä käyrällä . Lisätietoja on tämän artikkelin luokan kenttäteoriaa käsittelevässä osassa . ${\ displaystyle N}$${\ displaystyle X_ {0} (N)}$${\ displaystyle c}$ ${\ displaystyle H_ {c}}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle \ tau}$${\ displaystyle H_ {c}}$

Joissakin Heegner-pisteiden sovelluksissa on tärkeää tarkastella kokonaisia ​​(ääretön) Heegner-pisteiden järjestelmiä yhdellä tasolla, ns. Heegner-järjestelmiä. Pisteet on merkitty tai vaihtoehtoisesti niiden johtajat on nimetty ja täytetty. Heegner -järjestelmät ovat olemassa vain tietyissä olosuhteissa. Lisätietoja on tässä artikkelissa kohdassa Heegner -järjestelmät . ${\ displaystyle N}$${\ displaystyle \ tau _ {n}}$${\ displaystyle (P_ {n})}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle (n, N) = 1}$

Erityisen mielenkiintoista on tapaus , jossa valittu syrjijä on jopa perustavanlaatuinen syrjijä . Siihen liittyvä rengas luokka kenttä on niin Hilbertin Luokkakunta on , että on sen maksimaalisesti haarautumaton Abelin laajennus. ${\ displaystyle c = 1}$${\ displaystyle \ tau}$${\ displaystyle K = \ mathbb {Q} ({\ sqrt {D}})}$

karakterisointi

Annetun määritelmän lisäksi kvadratiivisesti irrationaalisia Heegner -pisteitä voidaan luonnehtia käyttämällä alkeislukuteoriaa. Jos ylemmän puolitason neliömäinen, irrationaalinen CM-piste ja siihen liittyvä binäärinen neliömuoto , se on Heegner-piste, jolla on taso,  jos ja .${\ displaystyle \ tau}$${\ displaystyle (A, B, C)}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle N | A}$${\ displaystyle \ operaattorinimi {ggT} (A / N, B, CN) = 1}$

Tästä luonnehdinnasta voidaan päätellä, että jos on olemassa Heegnerin piste, jossa on taso  ja erottelija, niin  on myös Heegnerin piste, jossa on taso  ja syrjivä  . Operaattori tunnetaan myös nimellä Fricke involution .${\ displaystyle \ tau}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle D (\ tau)}$${\ displaystyle \ texttyle - {\ frac {1} {N \ tau}}}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle D (\ tau)}$${\ displaystyle \ texttyle \ tau \ mapsto - {\ frac {1} {N \ tau}}}$

Jos taso ja erottimet (joilla on tarvittavat ominaisuudet) on kiinteä, käyrällä on Heegner -pisteitä . Tässä viitataan useiden erillisten alkutekijöiden määrään . Pisteet permutoidaan välillä on ryhmän toimintaa , jossa ryhmä eri involutions tarkoittaa kohteeseen.${\ displaystyle N}$${\ displaystyle D}$${\ displaystyle 2 ^ {s} \ cdot h (D)}$${\ displaystyle X_ {0} (N)}$${\ displaystyle s}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle W \ times \ mathrm {Gal} (H / K)}$${\ displaystyle X_ {0} (N)}$${\ displaystyle W}$${\ displaystyle X_ {0} (N)}$

Käytännöllinen käyttö

Pi: n laskeminen

Natural-number tyyppinen Heegner pisteitä voi auttaa löytämään sarjan että lähentyvät kuin pyöreä numero hyvin nopeasti , koska veljekset David ja Gregory Chudnovsky löytynyt. Heidän nimensä saaneelle Chudnovskin algoritmille he käyttivät myös hyväkseen sitä, että näiden numeroiden arvo on mahdollisimman kokonaisluku, minkä vuoksi lähentyminen saavutetaan mahdollisimman nopeasti. Nopean lähentymisen eli sarjan vahvan likimääräisen arvioinnin vuoksi vain muutaman sen termin jälkeen numeroon on mahdollista laskea annetulla tarkkuudella suhteellisen vähän askelia. ${\ displaystyle \ tau = {\ tfrac {1 + i {\ sqrt {n}}} {2}}}$${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle \ pi}$ ${\ displaystyle j \ vasen ({\ tfrac {1 + i {\ sqrt {163}}} {2}} \ oikea)}$${\ displaystyle \ tau = {\ tfrac {1 + i {\ sqrt {163}}} {2}}}$${\ displaystyle \ pi}$${\ displaystyle \ pi}$

Salaus

Heegnerin pisteillä on tärkeä rooli perustutkimuksen alalla elliptisten käyrien ympärillä (erityisesti niillä, joilla on ns. Monimutkainen kertolasku ). Elliptikäyriä käytetään ECL (Elliptic Curve Cryptography) -tekstin yhteydessä viestien salauksessa. Tehokkuuden puute diskreettien logaritmien laskemisessa tietokoneilla hyödynnetään, mikä tekee salausjärjestelmän murtamisesta erittäin vaikeaa.

Jos Heegnerin pisteet tuottavat äärettömän järkeviä järkeviä pisteitä, on taattu, että suhteellisen suuri määrä järkeviä pisteitä on tarkasteltavana olevalla elliptisellä käyrällä. Birchin ja Swinnerton-Dyerin olettamusten vuoksi globaalin ja paikallisen tapauksen (eli elliptisten käyrien pisteiden määrä rationaalilukujen ja ns. Äärellisten kenttien välillä) välillä (oletettavasti) on läheinen yhteys , ja pisteitä on paljon globaalissa tapauksessa pisteiden määrä paikallisissa tapauksissa pyrkii kasvamaan. Tämä seuraa kaavasta, jossa vahvistetaan "paikallinen-globaali periaate": Jos järkevien lukujen, alkuluvun ja pienennettävän käyrän pisteiden yli määritelty elliptinen käyrä on sovellettava seuraavaa: ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle E (\ mathbb {Q})}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle N_ {p}}$${\ displaystyle E (\ mathbb {Q})}$${\ displaystyle E (\ mathbb {F} _ {p})}$

${\ displaystyle \ prod _ {p <M} {\ frac {N_ {p}} {p}} \ sim C_ {E} \ log (M) ^ {r}, \ qquad M \ to \ infty,}$

vakio ja elliptisen käyrän sijoitus ; tarkoittaa äärellistä kappaletta elementeillä. Kaava ilmaisee asymptoottisen vastaavuuden , joten molempien osapuolten osamäärä pyrkii päinvastaiseen, jos luonnollinen luku kasvaa loputtomiin. Numeeriset laskelmat tukevat tätä todistamatonta väitettä. Suuri määrä pisteitä paikallisen tapauksessa lopulta mahdollistaa suuren valikoiman mahdollisuuksia salatekstien ja tekee brute force hyökkäys ja purkaa viestien hyvin aikaa vievää. Siksi tämän ominaisuuden elliptiset käyrät ovat hyviä salausmenetelmiä.${\ displaystyle C_ {E}> 0}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle \ mathbb {F} _ {p}}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle 1}$${\ displaystyle M}$

Vuonna 2003 David Kohel kehitti algoritmin, joka käyttää Heegnerin pisteitä moduulikäyrissä laskeakseen pisteiden määrän elliptisissä käyrissä äärellisissä kappaleissa. Tätä tarkoitusta varten - adic -hissit (nämä ovat kohteita, jotka lähetetään "moduulin käyrän yläpuolella olevan objektin" kuvasta moduulikäyrään Heegner -pisteisiin) näistä Heegner -pisteistä, joissa on pieni alkuluku. Jotta salausjärjestelmät voitaisiin toteuttaa elliptisten käyrien yli, algoritmit, jotka laskevat pisteiden määrän elliptisissä käyrissä (äärellisten kenttien yli), ovat erittäin tärkeitä. Kohel antoi myös selkeitä lausuntoja tapauksista .${\ displaystyle p}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle p = 2,3,5,7,13}$

Merkitys numeroteoriassa

Analyyttiset sovellukset

Grossin ja Zagierin kaavan suora seuraus (katso alla) on ensimmäisen (ja tällä hetkellä ainoan) L-funktion luokan tunnistaminen , jonka järjestys on osoitettavissa . Nämä esimerkit syntyvät löytää elliptinen käyriä  yli , jonka L-toiminto katoaa pariton jotta vuoksi merkki niiden funktionaaliyhtälö, ja jonka liittyvät Heegner piste on rajallinen järjestyksessä, niin että on. Tällaisen L-funktion olemassaolo antaa tehokkaat alemmat rajat kuvitteellisten neliöllisten kenttien luokkamäärien kasvulle. Ennen Dorian Goldfeldin teosta tällaiset esteet tunnettiin vain nollapisteiden mahdollisen olemassaolon vuoksi (tehoton). Goldfeldin tehokas ratkaisu Gaussin luokan numeroongelmaan oli yksi Grossin ja Zagierin kaavan varhaisista sovelluksista.${\ displaystyle s = 1}$${\ displaystyle \ geq 3}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle L (E / \ mathbb {Q}, s)}$${\ displaystyle E (\ mathbb {Q})}$${\ displaystyle L '(E / \ mathbb {Q}, 1) = 0}$

Diofantinen yhtälöiden ratkaisut ja Sylvesterin ongelma

Heegner -pisteiden teorian avulla voidaan hyökätä olettamuksiin tietyistä diofanttilaisista yhtälöistä . Tämä koskee muun muassa tyypin yhtälöitä

${\ displaystyle E_ {n} \ kaksoispiste x ^ {3} + y ^ {3} = n.}$

Yksi Sylvesterin mukaan nimetty ongelma kysyy, mitkä alkuluvut voidaan kirjoittaa kahden järkevän kuution summana. Joten se kysyy rakennetta . Esimerkiksi on ${\ displaystyle p}$${\ displaystyle E_ {p} (\ mathbb {Q})}$

${\ displaystyle 7 = 2 ^ {3} + (- 1) ^ {3},}$

${\ displaystyle 13 = \ vasen ({\ frac {7} {3}} \ oikea) ^ {3} + \ vasen ({\ frac {2} {3}} \ oikea) ^ {3},}$

${\ displaystyle 31 = \ vasen ({\ frac {137} {42}} \ oikea) ^ {3} + \ vasen (- {\ frac {65} {42}} \ oikea) ^ {3}.}$

Heegnerin pisteitä käyttämällä näissä tapauksissa voidaan aina rakentaa ei-triviaaleja ratkaisuja. Tämä hyödyntää että Mordell-Weil ryhmä on aina vääntöä vapaana , jos on ongelmia. Tähän päivään mennessä julkaisematon todiste tästä menetelmästä on peräisin Noam Elkiesiltä vuodelta 1994. Elkies pystyi jopa todistamaan sen.${\ displaystyle p \ equiv 4,7 {\ pmod {9}}}$${\ displaystyle E_ {p} (\ mathbb {Q})}$${\ displaystyle p> 2}$${\ displaystyle | E_ {p ^ {2}} (\ mathbb {Q}) | = \ infty}$

Sovellus elliptisiin käyriin ja luokan kenttäteoriaan

valmistautuminen

Elliptiset käyrät

Elliptisten käyrien yli (algebrallisesti suljettu) runko on sileä projektiivisen käyrät on tasa-  1, jossa on ryhmä, rakenne ja erottaa -rational piste , joka on neutraali elementti ryhmään. Tällaista käyrää voidaan aina käyttää "normalisoituna" affiniaalisena yhtälönä kentille, joilla on muut ominaisuudet kuin 2 ja 3 ${\ displaystyle K}$ ${\ displaystyle K}$${\ displaystyle O}$

${\ displaystyle y ^ {2} = x ^ {3} + kirves + b}$

kirjoitetaan näppäimillä ja .${\ displaystyle a, b \ in K}$${\ displaystyle D_ {E}: = - 2 ^ {4} (4a ^ {3} + 27b ^ {2}) \ neq 0}$

Kukin elliptinen käyrä  yli Level  voidaan osoitetaan L-toiminto , joka osana analyyttinen esine, koodaa kaikki aritmeettinen ominaisuudet. Tällä on esitys Euler -tuotteena : ${\ displaystyle E}$${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle N}$ ${\ displaystyle L (E, s)}$

${\ displaystyle L (E, s) = \ prod _ {p \ mid N} (1-a_ {p} p ^ {- s}) ^ {- 1} \ prod _ {p \ not \ mid N} ( 1-a_ {p} p ^ {- s} + p ^ {1-2s}) ^ {- 1}, \ qquad \ mathrm {Re} (s)> {\ frac {3} {2}},}$

jossa alkuluvuille, joilla on hyvä pienennys, annetut ja merkitsevät joukon ratkaisuja modulo . Samanlainen määritelmä valitaan alkuluvuille, joilla on huono pienennys . Jos käyrän kertoimet eivät ole kokonaislukuja, on ensin suoritettava alkiomuunnos käyttäen projektiivisia koordinaatteja. L-funktioita voidaan myös määrittää minkä tahansa numerokentän elliptisten käyrien tapauksessa . Modulaarisuuslauseen todistuksella Andrew Wiles ja muut onnistuivat vahvistamaan väitteen, jonka mukaan koko toimintoa voidaan jatkaa ja toiminnallinen yhtälö riittää: itse asiassa se vastaa painon 2 modulaarista muotoa , jonka taso on sama elliptisen käyrän johtajalle. Erityisesti on ns. Hecke-ominaismuodon osalta yhtymäkohdan alaryhmä . Suhde klassisen Mellin -muunnoksen välillä ja sen kautta johtaa kaavaan : ${\ displaystyle a_ {p}}$${\ displaystyle p + 1 - \ # E (\ mathbb {F} _ {p})}$${\ displaystyle E (\ mathbb {F} _ {p})}$${\ displaystyle (x, y) \ in \ mathbb {F} _ {p} ^ {2}}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle E / K}$ ${\ displaystyle K}$${\ displaystyle L (E, s)}$${\ displaystyle L (E, s)}$${\ displaystyle f_ {E} (z)}$${\ displaystyle f_ {E}}$${\ displaystyle \ Gamma _ {0} (N)}$${\ displaystyle L (E, s)}$${\ displaystyle f_ {E} (z)}$

${\ displaystyle \ Lambda (E, s): = (2 \ pi) ^ {- s} N ^ {s / 2} \ Gamma (s) L (E, s) = N ^ {s / 2} \ int _ {0} ^ {\ infty} f_ {E} (it) t ^ {s-1} \ mathrm {d} t.}$

Funktionaalinen yhtälö lukee sitten

${\ displaystyle \ Lambda (E, 2-s) = \ operaationimi {sgn} (E, \ mathbb {Q}) \ Lambda (E, s),}$

jossa merkillä on tärkeä rooli . Esimerkiksi parillisella / parittomalla järjestyksellä in katoaa, jos arvo tai oletetaan.${\ displaystyle \ operaattorinimi {sgn} (E, \ mathbb {Q}) \ in \ {\ pm 1 \}}$${\ displaystyle E (\ mathbb {Q})}$${\ displaystyle \ Lambda (E, s)}$${\ displaystyle s = 1}$${\ displaystyle \ operaattorinimi {sgn} (E, \ mathbb {Q})}$${\ displaystyle +1}$${\ displaystyle -1}$

Merkinnät Heegnerille osoittavat ihanteellisten luokkien yläpuolelle

Se on pohjimmiltaan syrjivä ja kuvitteellinen-neliöllinen numerokenttä. Sellaisena hänellä on eheysrengas , johon viitataan. Tämä koostuu kaikista elementeistä, jotka ovat kokonaiskertoimisen moni -polynomin ratkaisu, eli ne täyttävät minkä tahansa . ${\ displaystyle D <0}$${\ displaystyle K = \ mathbb {Q} ({\ sqrt {D}})}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {K}}$${\ displaystyle x \ in K}$${\ displaystyle x ^ {n} + a_ {n-1} x ^ {n-1} + \ piste + a_ {0} = 0}$${\ displaystyle a_ {n-1}, \ dotsc, a_ {0} \ mathbb {Z}}$

Erittäin tärkeä tulos algebrallisesta lukuteoriasta on nyt se, että joukko rikkoutuneita ihanteita , jotka kaikki rajallisesti syntyvät - moduulit , ryhmä kertomuksen alla. Tämä ryhmä on tietysti äärettömän suuri. Jos kuitenkin mainitaan kaksi rikki ihanteita toisiaan, jos ne eroavat vain yhdellä tärkeimmistä ihanteellinen tekijänä (jos kyseessä on rikki ihanteiden nämä ovat tarkalleen kaikki ihanteita , niin että yhdellä ja yksi tärkeimmistä ihanteellinen ), ja katsoa luokkien ryhmä, joka johtuu tästä, joten tämä on rajallinen. Elementtien lukumäärä on luokkaryhmä sitten kutsutaan myös luokan numero rungon ja on usein viitataan nimellä. Tähän mennessä kuvatut tulokset eivät koske vain neliökenttiä , vaan yleensä kaikkia numerokenttiä . ${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {K}}$ ${\ displaystyle 0 \ neq {\ mathfrak {a}} \ subseteq K}$${\ displaystyle {\ mathfrak {a}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {a}} = c {\ mathfrak {b}}}$${\ displaystyle c \ K ^ {\ kertaa}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {b}} \ subseteq {\ mathcal {O}} _ {K}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {Cl} (K)}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle h_ {K}}$

Seuraavassa ideaali on aina yleensä tarkoitettu rikki ideaaliksi. Muissa tapauksissa koko ideaali ilmaistaan ​​nimenomaisesti. Jotta voidaan ymmärtää yhteys Heegnerin pisteiden ja toisen asteen lukukenttien välillä, seuraavat asiat on pohdittava yksi toisensa jälkeen.

1. Jos kyseessä on kuvitteellinen-toisen asteen numerokenttä, jossa on perustavanlaatuisia  erottelijoita , edellä mainitun lisäksi pätee lause, että luokkaryhmä on yhtä suuri kuin binäärisen toisen asteen muotojen luokkien joukko, jossa on erottelija . 1: 1 Korrepondenz kahden määrän annetaan seuraavasti: Yhtäältä, ihanteellinen, se määrittää tämän binary neliöllinen muoto on kanssa ${\ displaystyle D}$${\ displaystyle \ mathrm {Cl} (K)}$${\ displaystyle (A, B, C) = Axe ^ {2} + Bxy + Cy ^ {2}}$${\ displaystyle D}$${\ displaystyle {\ mathfrak {a}} = \ mathbb {Z} \ alpha + \ mathbb {Z} \ beta}$${\ displaystyle (A, B, C)}$

${\ displaystyle A = {\ frac {\ alpha {\ overline {\ alpha}}} {{\ varvec {N}} ({\ mathfrak {a}})}}, \ qquad B = {\ frac {\ alpha {\ overline {\ beta}} + {\ overline {\ alpha}} \ beta} {{\ boldsymbol {N}} ({\ mathfrak {a}})}}, \ qquad C = {\ frac {\ beta {\ overline {\ beta}}} {{\ boldsymbol {N}} ({\ mathfrak {a}})}}}}$

Tässä tapauksessa viitataan ns. Ihanteen standardiin , ihanteet kokonaisuudessaan osamäärän elementtien lukumäärällä . Kaikille ihanteille se voidaan laskea moninkertaisella jatkolla, koska kaikkien ihanteiden yksiselitteinen hajoaminen ensisijaisiksi ihanteiksi tapahtuu . Jos toisaalta annetaan binäärinen neliömuoto , sitä rakennetaan vastaavan ihanteen avulla. Voidaan pohjimmiltaan laskea, että tämä on itse asiassa hyvin määritelty bijektio.${\ displaystyle {\ boldsymbol {N}} ({\ mathfrak {a}})}$${\ displaystyle {\ mathfrak {a}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {K} / {\ mathfrak {a}}}$${\ displaystyle (A, B, C)}$${\ displaystyle {\ mathfrak {a}} = \ mathbb {Z} + \ mathbb {Z} {\ tfrac {b + {\ sqrt {D}}} {2a}}}$

2. Heegner -pisteiden välillä on jälleen 1: 1 -vastaavuus (suhteessa ) syrjijöihin , tasoihin  ja pareihin , ${\ displaystyle \ Gamma _ {0} (N)}$${\ displaystyle D <0}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle (\ beta, [{\ mathfrak {a}}])}}$

• Arvot , niin että jokainen pitää sitä ,${\ displaystyle \ beta \ in \ mathbb {Z} / 2N \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle b \ equiv \ beta {\ pmod {2}} N}$${\ displaystyle b ^ {2} \ equiv D {\ pmod {4}} N}$
• Ihanteelliset luokat .${\ displaystyle [{\ mathfrak {a}}]}$

Yhtäältä on positiivisesti selvä binary neliön kanssa ja (huomaa, että on olemassa ). Heegner kohta vastaa näitä tietoja. On huomattava, että jos unimodular muutos kanssa liuoksen vastaavan muodossa on silloin myös , mutta myös täyttyvät, niin että osoitus luokkiin pisteitä on hyvin määritelty. Jos toisaalta annetaan vastaava Heegner -pisteiden luokka  , kaksi edustajaa ovat ratkaisuja sellaisille muodoille , että ja . Laitat ja . Edustajan valinnalla ei ole merkitystä edustajan ihanteen valinnassa .${\ displaystyle [{\ mathfrak {a}}]}$${\ displaystyle (A, B, C)}$${\ displaystyle N | A}$${\ displaystyle B \ equiv \ beta {\ pmod {2}} N}$${\ displaystyle D = B ^ {2} -4AC \ equiv B ^ {2} {\ pmod {4}} N}$${\ displaystyle 4N | 4AC}$${\ displaystyle \ tau = {\ tfrac {-B + {\ sqrt {D}}} {2A}}.}$${\ displaystyle \ tau '= {\ tfrac {a \ tau + b} {c \ tau + d}}}$${\ displaystyle c | N}$${\ displaystyle (A ', B', C ')}$${\ displaystyle N | A '}$${\ displaystyle B '\ equiv B {\ pmod {2}} N}$${\ displaystyle [\ tau]}$${\ displaystyle \ tau _ {1}, \ tau _ {2} \ in [\ tau]}$${\ displaystyle (A_ {1}, B_ {1}, C_ {1}), (A_ {2}, B_ {2}, C_ {2})}$${\ displaystyle N | A_ {1}, A_ {2}}$${\ displaystyle B_ {1} \ equiv B_ {2} {\ pmod {2}} N}$${\ displaystyle \ beta = B_ {1} {\ bmod {2}} N}$${\ displaystyle {\ mathfrak {a}} = \ mathbb {Z} + \ tau _ {1} \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle \ tau _ {1} = {\ tfrac {a \ tau _ {2} + b} {c \ tau _ {2} + d}}}$${\ displaystyle a, c}$${\ displaystyle b, d}$

${\ displaystyle \ mathbb {Z} + \ tau _ {1} \ mathbb {Z} = \ mathbb {Z} + {\ frac {a \ tau _ {2} + b} {c \ tau _ {2} + d}} \ mathbb {Z} \ sim (c \ tau _ {2} + d) \ mathbb {Z} + (a \ tau _ {2} + b) \ mathbb {Z} = \ mathbb {Z} + \ tau _ {2} \ mathbb {Z}}$

päätellään.

Monimutkaisen lisääntymisen laki

Heegnerin pisteet kiinnostavat muun muassa tiettyjen pisteiden rakentamisesta elliptisiin käyriin. Tämä hyödyntää sitä, että on olemassa parametrointi

${\ displaystyle \ varphi \ kaksoispiste X_ {0} (N) \ longrightarrow E (\ mathbb {C})}$

moduulikäyrästä elliptiseen käyrään (oppaan kanssa  ). Toisin kuin Weierstrasse -funktion (erittäin yksinkertainen) parametrointi , sillä on ominaisuus olla paitsi holomorfinen kartoitus kompaktien Riemann -pintojen välillä, myös morfismi rationaalilukujen käyrien välillä. Joten jos pisteitä kuljetetaan välillä on tietyllä jatkokappale , niin nämä ovat jopa , että on, mutta niihin taas määräytyvät ajan. Nyt Heegnerin pisteet tasolla ovat kuitenkin  vain moduulikäyrän alueella , minkä vuoksi on mielenkiintoista tutkia vastaavia kuvaajan  kuvapisteitä . Monimutkaisen kertomisen päälause antaa nyt lausuman näiden pikselien algebrallisesta luonteesta  . ${\ displaystyle E}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle H / \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle X_ {0} (N)}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle E (H)}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle X_ {0} (N)}$${\ displaystyle \ varphi (\ tau)}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle \ varphi (\ tau)}$

Elliptisen käyrän modulaarinen parametrointi

Jotta monimutkaisen kertomisen päälause voidaan muotoilla ja sen seuraukset ymmärtää, elliptisen käyrän modulaarinen parametrointi on tunnettava. Elliptiselle käyrälle  on olemassa painon 2 modulaarinen muoto suhteessa yhdenmukaisuuden alaryhmään . Karkeasti ottaen modulaarinen muoto on holomorfinen funktio ylemmällä puolitasolla, jota voidaan jatkaa holomorfisesti kärkiin ja jolla on invarianssit ominaisuuksiltaan yhdenmukaisuuden alaryhmän toiminnassa. Se on jopa niin sanottu kärjen muoto, mikä tarkoittaa, että se katoaa kaikkiin kärkiin . Sellaisena on melko kehittynyt Fourier -sarjana: ${\ displaystyle E}$ ${\ displaystyle f_ {E} (z)}$${\ displaystyle \ Gamma _ {0} (N)}$${\ displaystyle \ mathbb {Q} \ cup \ {i \ infty \}}$${\ displaystyle f_ {E}}$${\ displaystyle f_ {E} (z)}$${\ displaystyle \ mathbb {Q} \ cup \ {i \ infty \}}$${\ displaystyle f_ {E}}$${\ displaystyle \ mathbb {H}}$

${\ displaystyle f_ {E} (z) = \ summa _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n} e ^ {2 \ pi iz}}$

Oletetaan, että kaikki kertoimet ovat sekä kokonaislukuja - nämä vastaavat kertoimien L-sarjan . Puhtaasti kompleksinen analyyttinen näkökulmasta, on holomorphic ero muoto on kompakti Riemannin pinta ja sen käyrä olennainen ${\ displaystyle a_ {n}}$${\ displaystyle f_ {E}}$${\ displaystyle L (E, s)}$${\ displaystyle f_ {E} (z) \ mathrm {d} z}$ ${\ displaystyle X_ {0} (N)}$

${\ displaystyle \ phi (\ tau): = 2 \ pi i \ int _ {i \ infty} ^ {\ tau} f_ {E} (z) \ mathrm {d} z}$

on riippumaton integraatiopolun valinnasta välillä ja . Kaikkien arvojen osalta se voidaan nimenomaisesti läpi ${\ displaystyle i \ infty}$${\ displaystyle \ tau}$${\ displaystyle \ tau \ in \ mathbb {H}}$

${\ displaystyle \ phi (\ tau) = \ summa _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {a_ {n}} {n}} q ^ {n}}$

kanssa lasketaan. Modulaarisena painon 2 muodona muunnoskaava täyttyy${\ displaystyle q: = e ^ {2 \ pi i \ tau}}$${\ displaystyle \ Gamma _ {0} (N)}$${\ displaystyle f_ {E} (z)}$

${\ displaystyle f_ {E} \ left (\ gamma (z) \ right) = (cz + d) ^ {2} f_ {E} (z), \ qquad \ gamma = {\ begin {pmatrix} a & b \\ c & d \ end {pmatrix}} \ in \ Gamma _ {0} (N).}$

Tästä ominaisuudesta integraalin kauden ominaisuus voidaan päätellä korvaamalla :

${\ displaystyle 2 \ pi i \ int _ {i \ infty} ^ {\ gamma (\ tau)} f_ {E} (z) \ mathrm {d} z = 2 \ pi i \ int _ {i \ infty} ^ {\ gamma (i \ infty)} f_ {E} (z) \ mathrm {d} z + 2 \ pi i \ int _ {\ gamma (i \ infty)} ^ {\ gamma (\ tau)} f_ {E} (z) \ mathrm {d} z = 2 \ pi i \ int _ {i \ infty} ^ {\ gamma (i \ infty)} f_ {E} (z) \ mathrm {d} z + 2 \ pi i \ int _ {i \ infty} ^ {\ tau} f_ {E} (z) \ mathrm {d} z}$

Ensimmäinen integraali oikealla puolella on aina ruudukossa (tämä ei ole vähäpätöinen, mutta voidaan näyttää Hecke-operaattoreiden avulla ). Tämä saa aikaan holomorfisen kartoituksen ${\ displaystyle \ Lambda _ {f}}$

${\ displaystyle \ phi \ kaksoispiste X_ {0} (N) \ longrightarrow \ mathbb {C} / \ Lambda _ {f}}$

ja avulla liittyvän Weierstrassin ℘-toiminto tulokset yksinkertainen ketjutusta${\ displaystyle \ Lambda _ {f}}$

${\ displaystyle \ varphi \ kaksoispiste X_ {0} (N) \, \, {\ overset {\ phi} {\ longrightarrow}} \, \, \ mathbb {C} / \ Lambda _ {f} \, \, {\ overset {(\ wp, \ wp ')} {\ longrightarrow}} \, \, E (\ mathbb {C})}$.

Tämän arvioinnin avulla voi kuitenkin teoriassa tapahtua, että tapahtuu ei-triviaalivakio, ns. Manin-vakio . Oletetaan, että se pitää aina paikkansa, mutta tätä ei voida näyttää yleisesti. Tämä olettamus on kuitenkin oikea tapaukselle, joka on neliötön. Yleensä termi ${\ displaystyle c}$${\ displaystyle c = 1}$${\ displaystyle N}$

${\ displaystyle \ phi (\ tau) = c \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {a_ {n}} {n}} q ^ {n}}$

lasketaan.

Hilbert -luokan kenttä ja rengasluokan kenttä

Kun tutkitaan Heegner-pisteen kuvapisteitä oppaan kanssa , myös niin sanotut Hilbert-luokan kappaleet tulevat näkyviin. Kun otetaan huomioon kuvitteellinen-neliöllinen numerokenttä , voidaan osoittaa, että äärellinen Abelin laajennus on olemassa sillä ominaisuudella, että Galois-ryhmä on kanonisesti isomorfinen luokkaryhmälle . Vastaavaa lukua kutsutaan joskus nimellä ( Emil Artinin mukaan ), toisin sanoen ${\ displaystyle \ varphi (\ tau)}$${\ displaystyle c = 1}$${\ displaystyle K = \ mathbb {Q} ({\ sqrt {D}})}$ ${\ displaystyle H}$${\ displaystyle K}$ ${\ displaystyle \ mathrm {Gal} (H / K)}$${\ displaystyle \ mathrm {Cl} (K)}$${\ displaystyle \ mathrm {Art}}$

${\ displaystyle \ mathrm {Art} \ kaksoispiste \ mathrm {Cl} (K) \, \, {\ overset {\ sim} {\ longrightarrow}} \, \, \ mathrm {Gal} (H / K).}$

Jokainen ihanteellinen tulee tärkein ihanteellinen . Voidaan osoittaa, että jos on kuvitteellinen neliökappale ja elliptinen käyrä , runko on yhtä suuri kuin Hilbert -luokan kenttä . Tässä tarkoittaa j: n invarianttia . Joten jos Heegnerin piste, jossa on erottelija, on yhtä suuri kuin perusperusteinen syrjijä , niin se on tuottaja yli . Galois-ryhmän vaikutus arvoon on ns. Shimura-vastavuoroisuuden aihe .${\ displaystyle K}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle K / \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle E / \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle \ mathrm {End} (E) \ cong {\ mathcal {O}} _ {K}}$${\ displaystyle H = K (j (E))}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle j (E)}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle \ tau}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle j (\ tau)}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle j (\ tau)}$

Tulokset voidaan yleistää Heegnerin pisteisiin oppaiden avulla . Tätä varten on tarpeen yleistää Hilbertin luokkakentän teoria rengasluokan kenttiin. Esteitä syntyy kuitenkin mm. toisen asteen luokkaryhmän käsitteellä. Nämä kiertävät ottamalla huomioon vain sopivat (oikeat) ihanteet, esimerkiksi kun muodostetaan yleinen luokkaryhmä . Nämä ovat niitä, joille tasa -arvo on ${\ displaystyle c> 1}$${\ displaystyle \ mathrm {Cl} ({\ mathcal {O}})}$

${\ displaystyle {\ mathcal {O}} = \ {\ beta \ K \ mid \ beta {\ mathfrak {a}} \ osajoukko {\ mathfrak {a}} \}}$

on sovellettavissa. Rengas luokkakenttä zu on määritelty yksilöllisesti Abelin laajennus on , että kaikki alkuideaali vuonna jotka haarautuvat vuonna jo osuuden ja että Artin isomorfismi myös koskee. Jokaista sopivaa ihanteellinen järjestyksessä on selkeästi määritelty yksi , niin että ${\ displaystyle {\ mathcal {O}}}$${\ displaystyle H_ {c}}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle H_ {c}}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle \ mathrm {Cl} ({\ mathcal {O}}) \ cong \ mathrm {Gal} (H_ {c} / K)}$${\ displaystyle {\ mathfrak {a}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}}}$${\ displaystyle \ sigma _ {\ mathfrak {a}}}$

${\ displaystyle \ sigma _ {\ mathfrak {a}} (j ({\ mathfrak {b}})) = j ({\ overline {\ mathfrak {a}}} {\ mathfrak {b}})}$

täyttyy jokaiselle sopivan erinomaisesti ja merkitsee ihanteellinen on konjugoitu. Tämä suhde viime kädessä sanelee luokan kenttäteorian ennustaman isomorfismin . Jos on Heegnerin piste ja siihen liittyvä toisen asteen järjestys , niin on .${\ displaystyle {\ mathfrak {b}}}$${\ displaystyle {\ overline {\ mathfrak {a}}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {a}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {a}} \ mapsto \ sigma _ {\ mathfrak {a}}}$${\ displaystyle \ mathrm {Cl} ({\ mathcal {O}}) \ cong \ mathrm {Gal} (H_ {c} / K)}$${\ displaystyle \ tau}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}}}$${\ displaystyle H_ {c} = K (j (\ tau))}$

Jos elliptisellä käyrällä on yleensä monimutkainen kertolasku, arvo on kokonaislukumääräinen algebrallinen luku. Tämän seurauksena Heegnerin pisteiden j-invariantti on täysin algebrallinen. Käyttämällä j-invarianttia, sovelletaan lomakkeen Heegner-pisteisiin ${\ displaystyle E / \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle j (E)}$

${\ displaystyle j \ vasen ({\ sqrt {D}} \ oikea) \ qquad {\ text {ja}} \ qquad j \ left ({\ frac {1 + {\ sqrt {D}}} {2}} \ oikein),}$

voidaan osoittaa, että negatiivisia neliöttömiä numeroita on täsmälleen 9  , joten luokan numerolla on 1. Todiste suorittaa by David A. Cox käyttää myös joitakin moduulitoiminnot jotka menevät takaisin Heinrich Weber.${\ displaystyle D}$${\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {D}})}$

Päälausekkeen muotoilu ja Heegnerin kohtien soveltaminen

Onko Heegnerin piste perustavaa laatua olevaan erottelijaan , joka käsittelee paria, voidaan tunnistaa, on mahdollista Hilbert -luokan kentän  kanssa  sanoa seuraavasti: Se on aina (kuva on siten piste, jonka koordinaatit  ovat siksi erityisen algebrallisia numerot). Myös laskentasääntöjä sovelletaan: ${\ displaystyle \ tau}$${\ displaystyle D}$${\ displaystyle (\ beta, [{\ mathfrak {a}}])}}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle \ varphi (\ tau) \ in E (H)}$${\ displaystyle \ varphi (\ tau)}$${\ displaystyle (x, y)}$${\ displaystyle H}$

• Kaikki totta${\ displaystyle [{\ mathfrak {b}}] \ in \ mathrm {Cl} (K)}$${\ displaystyle \ varphi ((\ beta, [{\ mathfrak {a}}])) ^ {\ mathrm {Art} ([{\ mathfrak {b}}])}} = \ varphi ((\ beta, [{ \ mathfrak {a}} {\ mathfrak {b}} ^ {- 1}])))}$
• Kun Fricke involution koskee , missä ja${\ displaystyle W}$${\ displaystyle \ varphi (W (\ beta, [{\ mathfrak {a}}])) = \ varphi ((- \ beta, [{\ mathfrak {a}} {\ mathfrak {n}} ^ {- 1 }]))}$${\ displaystyle {\ mathfrak {n}} = N \ mathbb {Z} + {\ frac {B + {\ sqrt {D}}} {2}} \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle B \ equiv \ beta {\ pmod {2}} N.}$
• Lopuksi seuraa monimutkainen konjugaatio ${\ displaystyle {\ overline {\ varphi ((\ beta, [{\ mathfrak {a}}]))}} = \ varphi ((- \ beta, [{\ mathfrak {a}} ^ {- 1}] )).}$

Max Deuringin ja Goro Shimuran lause todistettiin . Se tukee monimutkaisen kertolaskun "ihmettä", koska transsendenttisen funktion ei normaalisti voida odottaa yhdistävän algebrallisia lukuja algebrallisiin numeroihin. Päälause voidaan yleistää periaatteesta, jonka mukaan transsendenttinen funktio , joka Eulerin kaavan mukaan parametrisoi ympyrän säteellä 1 todellisten argumenttien perusteella, tuottaa algebrallisia arvoja järkevissä paikoissa.${\ displaystyle K = \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle f (z) = e ^ {2 \ pi iz}}$

Päälauseen ensimmäinen kaava tarjoaa selkeitä lausekkeita Galois -ryhmän konjugaateille ja tunnetaan myös nimellä Shimura -vastavuoroisuus. Niiden avulla voidaan laskea jäljityskaava yksi piste  kaikista konjugaateista  : ${\ displaystyle P}$${\ displaystyle \ varphi (\ tau)}$

${\ displaystyle P = \ summa _ {\ sigma \ in \ mathrm {Gal} (H / K)} \ varphi (\ tau) ^ {\ sigma} = \ summa _ {[{\ mathfrak {b}}] \ \ mathrm {Cl} (K)} \ varphi ((\ beta, [{\ mathfrak {b}}]))}$

Galois -efekti jättää tämän kohdan kiinteäksi ja on siksi tasainen . Jos elliptisen käyrän tekijällä on arvo , voidaan myös näyttää tasa -arvo , josta sen on viime kädessä seurattava. Samankaltaista argumenttia voidaan käyttää osoittamaan, että jos on , piste on vääntöpiste.${\ displaystyle E (K)}$${\ displaystyle \ operaattorinimi {sgn} (E, \ mathbb {Q})}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle -1}$${\ displaystyle \ varphi \ circ W = \ varphi}$${\ displaystyle {\ overline {P}} = P}$${\ displaystyle P \ in E (\ mathbb {Q})}$${\ displaystyle \ mathrm {sgn} (E, \ mathbb {Q}) = 1}$${\ displaystyle P}$

Grossin ja Zagierin kaava

Monimutkaisen kertomisen päälause tarjoaa menetelmän pisteen rakentamiseksi , mutta kysymys on edelleen, onko se "triviaali" vääntöpiste. Radan kaavojen laskelmiin on myös vaikea vastata ilman yksityiskohtaisia ​​tuntemuksia ihanteellisista luokista . Brutto - Zagierin kaava tarjoaa toisaalta kriteerin, joka päättää, onko Heegnerin pisteitä käyttäen löydetty piste oikeastaan ​​vain vääntöpiste, ja toisaalta tekniikoita, jotka yksinkertaistavat algoritmisia laskelmia.${\ displaystyle P \ in E (\ mathbb {Q})}$${\ displaystyle [{\ mathfrak {a}}]}$

Korkeudet

Ratkaisevaa Gross ja Zagier kaava on, että määrä IS määritelty nimenomaisesti laskettavissa vakioita. Korkeus määritellään seuraavan periaatteen mukaisesti: Ensinnäkin määritetään järkevän luvun "monimutkaisuuden" mitta (tätä kutsutaan myös yksinkertaisesti korkeudeksi ). Täysin lyhennetyn jakeen osalta käytetään :${\ displaystyle P}$${\ displaystyle \ texttyle x = {\ frac {n} {d}}}$

${\ displaystyle h (x): = \ max (\ log | n |, \ log | d |)}$

On huomattava, että monimutkaisuus murto tässä tapauksessa ei riipu itseisarvo on , vaan koko nimittäjä ja osoittaja. Joten numero johtuu "hyvin yksinkertaisesta", kun taas sen vieressä oleva luku on "huomattavasti monimutkaisempi". Mittaria käytetään määrittämään pisteen  kanoninen korkeus . Koska algebrallinen suhde välillä , riittää harkita koordinaattia. Tämä asettaa ja lopulta kanonisen korkeuden${\ displaystyle x}$${\ displaystyle 1}$${\ displaystyle h (1) = 0}$${\ displaystyle \ texttyle x = {\ frac {999} {1000}} = 0 {,} 999}$${\ displaystyle h (x) \ noin 6 {,} 908}$${\ displaystyle h}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle h ((x, y)): = h (x)}$

${\ displaystyle {\ widehat {h}} (P): = \ lim _ {k \ to \ infty} {\ frac {h (kP)} {k ^ {2}}}.}$

Kertainen summa piste tarkoittaa itse. Voidaan osoittaa, että tämä arvo on aina olemassa ja on ei-negatiivinen. Jos vääntöpiste , joka on äärellinen, pätee tiettyyn äärelliseen määrään kutsuja, siitä seuraa ilmeisesti, että lauseke on jaksollinen. Se, että tämä väite voidaan kääntää, on vähemmän ilmeinen: jos näin on , vääntöpisteen on täytynyt olla jo olemassa.${\ displaystyle kP}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle P + \ dotsb + P = O}$${\ displaystyle {\ widehat {h}} (P) = 0}$${\ displaystyle kP}$${\ displaystyle {\ widehat {h}} (P) = 0}$${\ displaystyle P}$

Grossin ja Zagierin lausunto kaavasta

Grossin ja Zagierin kaava tarjoaa nyt pisteen kanonisen korkeuden, joka on Heegner -pisteiden kautta saatu pääteeman mukaisesti, pisteessä oleviin elliptisiin käyriin kuuluvien funktioiden perusteella . Jos käyrä on annettu, merkitsee toisen asteen kierre on suhteessa perustavanlaatuinen diskriminaattori . Onko sarjan kehitys ${\ displaystyle P \ in E (\ mathbb {Q})}$${\ displaystyle L}$${\ displaystyle s = 1}$${\ displaystyle E \ kaksoispiste ^ ^ {2} = x ^ {3} + kirves ^ {2} + bx + c}$${\ displaystyle E_ {D} \ kaksoispiste Dy ^ {2} = x ^ {3} + kirves ^ {2} + bx + c}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle D}$${\ displaystyle L (E, s)}$

${\ displaystyle L (E, s) = \ summa _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {a_ {n}} {n ^ {s}}},}$

joten sen voi osoittaa

${\ displaystyle L (E_ {D}, s) = \ summa _ {n = 1} ^ {\ infty} \ vasen ({\ frac {D} {n}} \ oikea) {\ frac {a_ {n} } {n ^ {s}}}}$

kanssa Jacobi symboli . Grossin ja Zagierin kaava on nyt: Jos ja , niin se soveltuu nimenomaisesti ${\ displaystyle \ texttyle \ left ({\ frac {p} {q}} \ oikea)}$${\ displaystyle \ mathrm {ggT} (2N, D) = 1}$${\ displaystyle D \ neq -3}$

${\ displaystyle {\ widehat {h}} (P) = {\ frac {\ sqrt {| D |}} {4 \ mathrm {Vol} (E)}} L '(E, 1) L (E_ {D }, 1).}$

Ja oikealla puolella on kerrottuna kertoimella . Näistä tosiasioista ja Kolyvaginin työstä seuraa, että Heegner-Punkt-menetelmä toimii tarkalleen tilanteessa, jolla on  sijoitus 1.${\ displaystyle D = -3}$${\ displaystyle 9}$${\ displaystyle E}$

Versio Heegner -jakajien kautta

Myöhemmässä työn Gross, Kohnen ja Zagier, korkeus kaava on esitetty hieman eri muodossa. Siellä yleistys voitaisiin saavuttaa Jacobiforms -teorian avulla . Karkeasti ottaen Gross-Kohnen-Zagierin lause sanoo, että korkeudet Heegnerin jakajiin kuvaavat painon 2 Jacobiformin kertoimet.

Heegner-pisteitä voidaan antaa ns. Heegner-jakajille . Tätä varten käytetään pääasiassa Abelin teoriaa. Jos on olemassa kompakti Riemann -pinta sukupuolen kanssa , voimme harkita kaikkien sen jakavien ryhmää . Jakaja on vain rajallinen muodollinen summa pisteiden kokonaislukuista . Nyt tarkastellaan niin sanottuja nollajakajia , joilla on ominaisuus, että kaikkien pisteiden kokonaiskertoimien summa on arvo. Määrä ns. Jakoluvut , että nollia ja navat meromorphic toiminto on muodostaa, on alaryhmä . Mukaan Abel lause, on nyt isomorfismi välillä Jacobin erilaisia ja ja osamäärä , joka on alaryhmä Picard ryhmä : ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle g}$${\ displaystyle \ mathrm {Div} (X)}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ mathrm {Div} ^ {0} (X)}$ ${\ displaystyle P ^ {0} (X)}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ mathrm {Div} ^ {0} (X)}$ ${\ displaystyle \ mathrm {Jac} (X)}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ mathrm {Pic} ^ {0} (X) = \ mathrm {Div} ^ {0} (X) / P ^ {0} (X)}$

${\ displaystyle \ mathrm {Pic} ^ {0} (X) \ {\ overset {\ sim} {\ longrightarrow}} \ \ mathrm {Jac} (X)}$

${\ displaystyle \ vasen [\ summa _ {x} n_ {x} (x) \ oikea] \ longmapsto \ summa _ {x} n_ {x} \ int _ {x_ {0}} ^ {x},}$

missä on peruspiste. On mainittava, että lajike on korkeamman ulottuvuuden monimutkainen torus, jossa on hila, ja siten sillä on ryhmärakenne. Sen antaa nimenomaisesti se, missä globaalisti holomorfisten differentiaalimuotojen vektoriavaruus on päällä, ja alaryhmä, jonka elementit differentiaali lähettää integraaliensa kokonaislukuisille lineaarisille yhdistelmille (lukuun ottamatta homotopiaa ) mahdollisten suljettujen käyrien yli (kausihila). Abelin lauseen seurauksena on nyt injektiivinen kartoitus , jos . Jos on piste, sille voidaan määrittää jakajaluokka .${\ displaystyle x_ {0} \ in X}$${\ displaystyle \ mathrm {Jac} (X)}$${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {g} / \ Lambda _ {g}}$${\ displaystyle \ Lambda _ {g} \ cong \ mathbb {Z} ^ {2g}}$${\ displaystyle \ mathrm {Hom} (\ Omega (X), \ mathbb {C}) / H_ {1} (X, \ mathbb {Z})}$${\ displaystyle \ Omega (X)}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle H_ {1} (X, \ mathbb {Z})}$${\ displaystyle 2g}$${\ displaystyle \ lambda \ kaksoispiste X \ longrightarrow \ mathrm {Pic} (X)}$${\ displaystyle g \ geq 1}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle [(x)]}$

Jos on nyt moduuli käyrä sukupuolen ja taso , on kartoitus muodon , jossa kärki . Koska se on algebrallinen käyrä, sen Heegner -pisteet voidaan tunnistaa kiinteälle erottelijalle pisteillä Hilbert -luokan kentän yli , koska . On täsmälleen kuten pistettä kiinteän ja jossa ( ) , ja nämä määrittävät jakaja , joka voidaan tulkita niin vaiheessa - on huomattava, että on myös algebrallinen käyrä, määritellään . Tämä periaate säilyy, jos käyrä valitaan sen sijaan, että Fricken involution on erotettu. Tällä on se etu, että vastaava jakaja on invariantti ja määritellään siten .${\ displaystyle X = X_ {0} (N)}$${\ displaystyle g \ geq 1}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle X_ {0} (N) \ longrightarrow \ mathrm {Jac} (X_ {0} (N))}$${\ displaystyle x \ mapsto (x) - (x_ {0})}$${\ displaystyle x_ {0}}$${\ displaystyle X_ {0} (N)}$${\ displaystyle X_ {0} (N)}$${\ displaystyle \ tau}$${\ displaystyle D <0}$${\ displaystyle H / K}$${\ displaystyle K (j (\ tau)) = H}$${\ displaystyle \ beta \ equiv b \ mod 2N}$${\ displaystyle D = b ^ {2} -4ac}$${\ displaystyle a \ tau ^ {2} + b \ tau + c = 0}$${\ displaystyle N \ mid a}$${\ displaystyle h (D)}$${\ displaystyle x_ {1}, \ piste, x_ {h (D)}}$${\ displaystyle P_ {D, \ beta} = (x_ {1}) + (x_ {2}) + \ piste + + (x_ {h (D)}) - h (D) \ cdot (\ infty)}$${\ displaystyle \ mathrm {Jac} (X_ {0} (N)) (H)}$${\ displaystyle \ mathrm {Jac} (X_ {0} (N))}$${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle X_ {0} (N)}$${\ displaystyle X_ {0} ^ {*} (N)}$${\ displaystyle P_ {D, \ beta} ^ {*}}$${\ displaystyle \ mathrm {Gal} (H / \ mathbb {Q})}$${\ displaystyle \ mathrm {Jac} ^ {*} (X_ {0} (N)) (\ mathbb {Q})}$

Kaava Zagier Gross ja on nyt menetelmä, korkeus pariutumisen (kahden parametrin lasketaan) erikseen, jolloin suojaus ominaismuotoa (Neuform oppaan ) nähden ja ns. Komponentti on jakaja on. On huomattava, että jaakobilaisen lajikkeen isogeenia esiintyy muodon suorissa kutsuissa ${\ displaystyle \ langle (P_ {D, \ beta _ {0}} ^ {*}) _ {f}, (P_ {D, \ beta _ {1}} ^ {*}) _ {f} \ rangle _ {\ matematiikka {Q}}}$${\ displaystyle \ beta _ {0}, \ beta _ {1} \ equiv b \ mod 2N}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle M_ {f} \ mid N}$${\ displaystyle \ Gamma _ {0} (N)}$${\ displaystyle P_ {f}}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle P}$

${\ displaystyle \ mathrm {Jac} (X_ {0} (N)) \ longrightarrow \ bigoplus _ {f} A_ {f} ^ {m_ {f}}}$

kanssa siellä. Tässä ovat alialgebra, joka syntyi Hecke -algebralle, joka kartoitetaan 0: ksi, ja jakajien lukumäärä . Suora summa kulkee ominaistilojen ekvivalenssiluokkien yli, jolloin kaksi ominaistilaa ovat samanarvoisia, jos ne nousevat toisistaan ​​upottamisen (kertoimen mukaan) konjugoimalla . Tässä on numero kenttä syntyy kertoimilla normalisoidun eigenform . Kaava yhdistää nyt korkeuden Jacobin muotojen kertoimiin. Siitä tulee kaava ${\ displaystyle A_ {f} = \ mathrm {Jac} (X_ {0} (M_ {f})) / I_ {f} \ mathrm {Jac} (X_ {0} (M_ {f}))}$${\ displaystyle I_ {f}}$${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle m_ {f}}$${\ displaystyle {\ tfrac {N} {M_ {f}}}}$${\ displaystyle \ sigma \ kaksoispiste K_ {f} \ longrightarrow \ mathbb {C}}$${\ displaystyle K_ {f}}$${\ displaystyle f}$

${\ displaystyle \ langle (P_ {D_ {0}, \ beta _ {0}} ^ {*}) _ {f}, (P_ {D_ {1}, \ beta _ {1}} ^ {*}) _ {f} \ rangle = {\ frac {L '(f, 1)} {4 \ pi || \ phi _ {f} || ^ {2}}} c (n_ {0}, \ beta _ { 0}) c ​​(n_ {1}, \ beta _ {1})}$

osoittautui kanssa ( ), joka Jacobiform ${\ displaystyle D_ {j} = \ beta _ {j} ^ {2} -4Nn_ {j}}$${\ displaystyle j = 0,1}$${\ displaystyle \ phi _ {f}}$

${\ displaystyle \ phi _ {f} (\ tau, z) = \ summa _ {n = 0} ^ {\ infty} \ summa _ {r ^ {2} \ leq 4Nn} c (n, r) e ^ {2 \ pi i (n \ tau + rz)}}$

johon viitataan, joka liittyy noin lukuun. On myös osoitettu, että kaikki komponentit sijaitsevat yhteisellä suoralla linjalla ja että niiden sijainnit määritetään jakobilaisen muodon kertoimien avulla. Tämä yhteys muodostetaan kaavan kautta ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle P_ {D, r} ^ {*}}$${\ displaystyle (\ mathrm {Jac} ^ {*} (X_ {0} (N)) (\ mathbb {Q}) \ otimes \ mathbb {R}) _ {f}}$

${\ displaystyle P_ {D, r} ^ {*} = c \ left ({\ frac {r ^ {2} -D} {4N}}, r \ right) P_ {f}}$

jossa riippumaton ja joissa ${\ displaystyle P_ {f} \ in (\ mathrm {Jac} ^ {*} (X_ {0} (N)) (\ mathbb {Q}) \ otimes \ mathbb {R}) _ {f}}$${\ displaystyle (D, 2N) = 1}$${\ displaystyle r}$

${\ displaystyle \ langle P_ {f}, P_ {f} \ rangle = {\ frac {L '(f, 1)} {4 \ pi || \ phi _ {f} || ^ {2}}}}$

ilmaistuna. Näin ollen aliavaruus , joka syntyy kaikkien -komponentit on Heegner jakajia on 1 tai 0 , riippuen tai ulottuvuus.${\ displaystyle U \ osajoukko \ mathrm {Jac} ^ {*} (X_ {0} (N)) (\ mathbb {Q}) \ otimes \ mathbb {R}}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle L '(f, 1) \ neq 0}$${\ displaystyle L '(f, 1) = 0}$

Teoksia Gross, Kohnen ja Zagier olivat muutoin todistettu vuonna 1997 (julkaistu vuonna 1999) Richard Borcherds ja samalla yleistynyt korkeamman ulottuvuuden osamäärät Hermite symmetrinen tiloja .

Heegner -järjestelmät ja Kolyvaginin lause

motivaatio

Jos on elliptinen käyrä yli järkevä numerot ja useita kentän (jossa algebrallinen sulkeuma ), useista teoreettinen näkökulmasta on kiinnostavaa ymmärtää Mordell-Weil ryhmä on rationaalinen pistettä ja Shafarevich-Tate ryhmä . On kokonaisluku,  jossa alaryhmän ryhmän on tarkoitus, että jokaisen on, seuraava sekvenssi on täsmälleen : ${\ displaystyle E}$${\ displaystyle K}$ ${\ displaystyle {\ overline {K}}}$ ${\ displaystyle E (K)}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle E}$ ${\ displaystyle \ mathrm {Sha} (E / K)}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle G [n]}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle nP = 0}$${\ displaystyle P \ G: ssä}$

${\ displaystyle 0 \ longrightarrow E ({\ overline {K}}) [n] \ longrightarrow E ({\ overline {K}}) \ {\ overset {n} {\ longrightarrow}}} \ E ({\ overline {{101} K}}) \ \ longrightarrow \ 0}$

Muodostamiseksi Galois Kohomologia kanssa tuloksia seuraavista tarkka sekvenssi: ${\ displaystyle G_ {K} = \ mathrm {Gal} ({\ overline {K}} / K)}$

${\ displaystyle 0 \ \ longrightarrow E (K) [n] \ \ longrightarrow E (K) \ {\ overset {n} {\ longrightarrow}} \ E (K) \ {\ overset {\ delta} {\ longrightarrow} } \ H ^ {1} (G_ {K}, E ({\ overline {K}}) [n]) \ \ longrightarrow \ H ^ {1} (G_ {K}, E ({\ overline {K}) })) \ {\ overset {n} {\ longrightarrow}} \ H ^ {1} (G_ {K}, E ({\ overline {K}})),}$

josta lopulta lyhyt tarkka sekvenssi

${\ displaystyle 0 \ longrightarrow E (K) / nE (K) \ longrightarrow H ^ {1} (G_ {K}, E ({\ overline {K}}) [n]) \ longrightarrow H ^ {1} ( G_ {K}, E ({\ overline {K}})) [n] \ longrightarrow 0}$

tulee esiin (laskeutumisjärjestys). Nyt voidaan käyttää paikallista-globaalia periaatetta. Tämä määrittelee lopulta:

${\ displaystyle \ mathrm {Sha} (E / K): = \ mathrm {ker} \ left (H ^ {1} (G_ {K}, E ({\ overline {K}})) \ longrightarrow \ prod _ {v} H ^ {1} (G_ {K}, E ({\ overline {K_ {v}}})) \ right)}$

Jokainen vastaa numeroa . Ryhmän jokainen elementti vastaa homogeenisten tilojen luokkaa kautta  - tämä tarkoittaa sileitä kaaria , joilla algebrallinen ryhmä  määrittää operaation kautta  . Luokat määräytyvät isomorfismien kanssa , jotka ovat yhteensopivia toiminnan kanssa . Luokka on triviaali, jos ja vain jos se on jokin -rational pistettä.${\ displaystyle v}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle H ^ {1} (G_ {K}, E ({\ overline {K}}))}$ ${\ displaystyle E / K}$${\ displaystyle C / K}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle E / K}$${\ displaystyle K}$

Jos takatutkimusryhmiä rajoitetaan asianmukaisesti ylemmässä tarkassa järjestyksessä, tarkka sekvenssi saadaan uudelleen

${\ displaystyle 0 \ longrightarrow E (K) / nE (K) \ longrightarrow \ mathrm {Sel} _ {n} (E / K) \ longrightarrow \ mathrm {Sha} (E / K) [n] \ longrightarrow 0. }$

Tämä viittaa niin sanottuun Selmer-ryhmään. Tämä määritellään seuraavasti: ${\ displaystyle \ mathrm {Sel} _ {n} (E / K)}$${\ displaystyle n}$

${\ displaystyle \ mathrm {Sel} _ {n} (E / K): = \ mathrm {ker} \ left (H ^ {1} (G_ {K}, E ({\ overline {K}})) [n ]) \ longrightarrow \ prod _ {v} H ^ {1} (G_ {K_ {v}}, E ({\ overline {K_ {v}}})) \ right)}$

Vaikka tiedetään, että -Selmer -ryhmä on aina äärellinen (josta seuraa, että ryhmät ovat aina äärellisiä, mikä on tärkeä askel todistettaessa, että rajallisesti syntyneet abelilaiset ryhmät ovat), Shaferevich -Tate -ryhmä pysyy yleensä salaperäisenä. Oletetaan, että ryhmät ja eroavat vain yhden itsenäisen rajallinen koko ja ovat jopa samat ääretön määrä tapauksia. Näin olisi, jos se olisi rajallinen, mutta tämä on todistamaton tähän päivään asti. Sen rajallisuus on osa Birchin ja Swinnerton-Dyerin (vahvaa) olettamusta ja sillä olisi suuri merkitys lukuteoriassa: Määritelmän mukaan sen koko koodaa, kuinka voimakkaasti Hasse-Minkowskin periaate epäonnistuu elliptisen käyrän tapauksessa .${\ displaystyle n}$${\ displaystyle \ mathrm {Sel} _ {n} (E / K)}$${\ displaystyle E (K) / nE (K)}$${\ displaystyle E (K)}$ ${\ displaystyle E (K) / nE (K)}$${\ displaystyle \ mathrm {Sel} _ {n} (E / K)}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle \ mathrm {Sha} (E / K)}$${\ displaystyle \ mathrm {Sha} (E / K)}$${\ displaystyle E}$

Toisin kuin cohomologiset menetelmät, Heegner -järjestelmiä voidaan nyt käyttää samaan aikaan opiskeluun ja tutkimukseen rajoittamalla Selmer -ryhmien kokoa. Hänen johdanto luentojen päälle Euler järjestelmissä (yleistetty käsite on Heegner järjestelmät ovat huonommassa), Barry Mazur korostaa tärkeyttä Heegner järjestelmien ja antaa seuraavan "view" on verrattuna Kohomologia : ${\ displaystyle E (K)}$${\ displaystyle \ mathrm {Sha} (E / K)}$

Heegner -järjestelmien määritelmä

Heegner järjestelmät ovat kokoelmia Heegner pistettä että oppaan omistaa. Heegnerin hypoteesin vuoksi on tärkeää olettaa, että johtajat ja tasot ovat yhteisvastuuta. On huomattava, että Heegnerin pisteitä tulkitaan pisteiksi elliptisellä käyrällä (parametroinnin soveltamisen jälkeen). Tämä on käytännöllistä, koska Heegner -järjestelmillä on tärkeimmät sovelluksensa tällä elliptisellä käyrällä (eikä osana moduulikäyrää). Se koskee aina vastaavaa rengasluokan runkoa . Lisäksi seuraavien teknisten ehtojen on täytyttävä:${\ displaystyle (P_ {n}) _ {(n, N) = 1}}$${\ displaystyle P_ {n}}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle P_ {n} \ in E (H_ {n})}$${\ displaystyle H_ {n}}$

1. Järjestelmään on merkitty vain ne numerot , joita yllä oleva koskee. ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle \ mathrm {ggT} (n, N) = 1}$

2. Kun alkuluku ei hajoa, sovelletaan seuraavia sääntöjä: ${\ displaystyle K / \ mathbb {Q}}$

${\ displaystyle \ mathrm {Spur} _ {H_ {n \ ell} / H_ {n}} (P_ {n \ ell}) = {\ aloita {tapaukset} a _ {\ ell} P_ {n}, \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ ell \ not {|} \, \, n \, \, \, {\ text {inert in}} \, K / \ mathbb {Q} \\ (a _ {\ ell } - \ sigma _ {\ lambda} - \ sigma _ {\ lambda} ^ { - 1}) P_ {n}, \ qquad \ ell = \ lambda {\ overline {\ lambda}} \ ei {|} \, \, n \, \, \, {\ teksti {hajoaa}}} \, K / \ mathbb {Q}, \\ (a _ {\ ell} - \ sigma _ {\ lambda}) P_ {n} , \ qquad \ qquad \ quad \ ell = \ epsilon \ lambda ^ {2} \ ei {|} \, \, n \, \, \, {\ text {on haarautunut}}}, K / \ mathbb { Q}, \ \ a _ {\ ell} P_ {n} -P_ {n / \ ell}, \ qquad \ qquad \ quad \ ell | n. \ End {tapaukset}}}$

Tässä rengasluokkakenttä, jossa on johtaja  ja tärkeimmät ihanteet, merkitsevät vastaavia Frobenius -elementtejä. Numerot ovat L-funktion kertoimia ja näkyvät Hecke-operaattoreiden yhteydessä, jotka vaikuttavat vastaavaan elliptiseen käyrään.${\ displaystyle H_ {n}}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle \ sigma _ {\ lambda} \ in \ mathrm {Gal} (H_ {n} / K)}$${\ displaystyle a _ {\ ell}}$${\ displaystyle E}$

3. Elementti on heijastus (heijastus) , viittaa, jos sen rajoitus ei ole identiteetti. Voidaan osoittaa, että kaikki heijastukset ovat järjestyksessä 2 tämän ominaisuuden vuoksi. ${\ displaystyle \ kappa \ in \ mathrm {Gal} (H / \ mathbb {Q})}$${\ displaystyle K}$

Nyt pitäisi aina olla elementti niin, että ${\ displaystyle \ sigma \ in \ mathrm {Gal} (H_ {n} / \ mathbb {Q})}$

${\ displaystyle \ kappa P_ {n} = - \ operaattorinimi {sgn} (E, \ mathbb {Q}) \ sigma P_ {n} \ qquad \ mod E (H_ {n}) _ {\ mathrm {tors}} ,}$

joten yhtä vääntöosan elementtiä lukuun ottamatta . Missä on funktionaalisen yhtälön tekijä ${\ displaystyle E (H_ {n})}$${\ displaystyle \ operaattorinimi {sgn} (E, \ mathbb {Q})}$

${\ displaystyle \ Lambda (E, 2-s) = \ operaationimi {sgn} (E, \ mathbb {Q}) \ Lambda (E, s)}$

koskien elliptiseen käyrään kuuluvaa L-funktiota. ${\ displaystyle E}$

Heegner-järjestelmää kutsutaan sitten ei-triviaaliksi, ellei jokainen piste ole vääntöpiste.

Suhde Birchin ja Swinnerton-Dyerin olettamuksiin

Ja aluksi mielivaltainen määrä alalla , L-toiminto voidaan osoitetaan kullekin elliptisen käyrän kautta ${\ displaystyle K}$${\ displaystyle E / K}$

${\ displaystyle L (E / K, s) = \ prod _ {v} L_ {v} (E / K, s),}$

kun tuote menee kaikkien äärellisten alkukohtien ( eli kaikkien pääideaalien) yli, paikalliset Euler -tekijät on annettu ${\ displaystyle K}$

${\ displaystyle L_ {v} (E / K, s) = {\ begin {tapaukset} (1-a_ {| v |} | v | ^ {-s} + | v | ^ {1-2s}) ^ {-1}, \ qquad v \ not {|} \, N, \\ (1-a_ {| v |} | v | ^ {- s}) ^ {- 1}, \ qquad \ qquad \ qquad v \ keskellä N \ loppu {tapaukset}}}$

ja merkitsee normia. Tässä ne ovat tapauksen L-funktion kertoimet . Jos on toisen asteen laajennus, käyrä  hajoaa ns  . Käänteen käyttäminen hahmon kanssa${\ displaystyle | v | \ in \ mathbb {Q} _ {+}}$${\ displaystyle a_ {n}}$${\ displaystyle K = \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle L (E / K, s) = L (E, s) L (E ', s)}$${\ displaystyle E '}$${\ displaystyle E}$

${\ displaystyle \ chi \ colon \ mathrm {Gal} (H / K) \ longrightarrow \ mathbb {C} ^ {\ times}}$

saat jokaiselle rengasluokan rungolle oppaan  ja L-toiminnon ${\ displaystyle H_ {c}}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle (c, N) = 1}$

${\ displaystyle L (E / K, \ chi, s) = \ prod _ {v} L_ {v} (E / K, \ chi, s),}$

jossa vääntyneet Euler -tekijät voidaan määritellä samalla tavalla . Tällä L-funktiolla on analyyttinen jatko koko kompleksilukutasolle ja se täyttää toiminnallisen yhtälön . Nyt L-funktio hajoaa tekijöiksi ${\ displaystyle L_ {v} (E / K, s)}$${\ displaystyle L (E / H, s)}$

${\ displaystyle L (E / H_ {c}, s) = \ prod _ {\ chi} L (E / K, \ chi, s)}$

kaikkien merkkien välillä, joista se soveltuvin osin jo seuraa kaikkien tarkasteltavien merkkien osalta. Siten , kanssa otaksuman Birch ja Swinnerton-Dyer, suhde on oletettava kanssa laajennuksen kuvaava indeksi elin . Tämän perusteella oletetaan, että jos on, voidaan lisätä ei-triviaali Heegner-järjestelmä .${\ displaystyle \ chi \ colon \ mathrm {Gal} (H_ {c} / K) \ to \ mathbb {C} ^ {\ times},}$${\ displaystyle \ operaattorinimi {sgn} (E, K) = - 1}$${\ displaystyle L (E / K, \ chi, 1) = 0}$${\ displaystyle \ mathrm {ord} _ {s = 1} (L (E / H_ {c})) \ geq [H_ {c}: K]}$${\ displaystyle [H_ {c}: K]}$${\ displaystyle \ mathrm {Rank} (E (H_ {c})) \ geq [H_ {c}: K]}$${\ displaystyle \ operaattorinimi {sgn} (E, K) = - 1}$${\ displaystyle (E, K)}$

Kolyvaginin lause

Helyner -järjestelmiä käytetään todistamaan Kolyvaginin lause. Näin tehdessään hyödynnetään sitä, että he hallitsevat Mordell-Weil-ryhmää ja Selmer-ryhmää. Lause sanoo, että jos piste, jonka järjestelmä erottaa

${\ displaystyle P_ {K} = \ mathrm {Spur} _ {H_ {1} / K} (P_ {1}) \ in E (K)}$

ei ole vääntöpiste, seuraava koskee jo:

1. Mordell-Weil-ryhmä on listalla 1, joten se luo rajallisen indeksin alaryhmän.${\ displaystyle E (K)}$${\ displaystyle P_ {K}}$
2. Shafarevich-Tate-ryhmä on rajallinen.${\ displaystyle E / K}$

Tämä on hämmästyttävää, koska esimerkiksi Shafarevich-Tate-ryhmän rajallisuus ei ole läheskään selvä ja aiheena on syviä olettamuksia (kuten Birchin ja Swinnerton-Dyerin olettamus).

Kolyvaginin lause voidaan yhdistää yhdessä Grossin ja Zagierin tuloksen kanssa Birch-ja-Swinnerton-Dyer-olettaman ratkaisemiseksi . Jos tämä toteutuu, voidaan jo päätellä, ja molemmissa tapauksissa Shafaervich-Tate-ryhmä on rajallinen. Todiste, jossa molemmat tulokset kulkevat, käyttää L-funktioiden teknisiä ominaisuuksia, jotka on kierretty merkillä .${\ displaystyle \ mathrm {ord} _ {s = 1} L (E, s) \ leq 1}$${\ displaystyle \ mathrm {rank} (E (\ mathbb {Q})) = \ mathrm {ord} _ {s = 1} L (E, s)}$${\ displaystyle \ varepsilon}$${\ displaystyle L (E, \ varepsilon, s)}$

Suhteet modulaarisiin toimintoihin ja yksikkömoduuleihin

Heegner -pisteiden ja modulaaristen muotojen välillä on lukuisia yhteyksiä . J-invariant , modulaarinen toiminto painon 0, aina kestää algebrallinen arvot Heegner pistettä. Tämän väitteen taustalla on, että jokaiselle luonnolliselle numerolle on  asteen polynomi (symmetrinen merkkiin asti) , jossa klassinen jakajafunktio merkitsee, joten (eli vakio nollafunktiossa) on jokaiselle kokonaislukumatriisille,  jolla on determinantti  . Tutkinto koskee rakennustekniikkaa ${\ displaystyle m}$${\ displaystyle \ Psi _ {m} (X, Y) \ in \ mathbb {Z} [X, Y]}$${\ displaystyle \ sigma _ {1} (m)}$${\ displaystyle \ sigma _ {1}}$${\ displaystyle \ Psi _ {m} (j (Mz), j (z)) \ equiv 0}$${\ displaystyle z}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle m}$

${\ displaystyle \ prod _ {M \ in \ mathrm {SL} _ {2} (\ mathbb {Z}) \ kenoviiva {\ mathcal {M}} _ {m}} (Xj (Mz)) = \ Psi _ {m} (X, j (z))}$

selkeämpi, kun joukko kaikkia kokonaislukumatriiseja on merkitty determinantilla  , joka toimii vasemmalta ja muodostaa tarkasti luokkia osamäärässä . Tällaisen identiteetin pätevyys voidaan osoittaa sillä, että vasemman puolen kertoimet ovat holomorfisia moduulitoimintoja, joiden paino on 0 (ja siksi jo polynomeja sisään ). Koska Fourierin laajeneminen , kerroimet voidaan valita myös rationaaliluvuiksi. Jokainen Heegner -piste  on kiinteä matriisilla, jossa on kokonaislukumäärittely . Tämä merkitsee jo ja on nolla ei-triviaaliselle polynomille, jolla on järkevät kertoimet. Samoin on algebrallinen - argumentti pätee myös, jos , koska funktiot eivät ole koskaan identtisiä. Nämä arvot ovat perinteisesti yksikkömoduuleja (englanninkielisiä yksikkömoduuleja ).${\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {m}}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle \ mathrm {SL} _ {2} (\ mathbb {Z})}$${\ displaystyle \ sigma _ {1} (m)}$${\ displaystyle \ mathbb {H}}$${\ displaystyle j}$${\ displaystyle j (z)}$${\ displaystyle \ Psi _ {m} (X, Y)}$${\ displaystyle \ tau}$${\ displaystyle M = \ left ({\ begin {smallmatrix} 0 & -C \\ A&B \ end {smallmatrix}} \ right)}$${\ displaystyle \ texttyle m = AC = {\ frac {B ^ {2} -D} {4}}}$${\ displaystyle \ Psi _ {m} (j (\ tau), j (\ tau)) = 0}$${\ displaystyle j (\ tau)}$${\ displaystyle j (\ tau)}$${\ displaystyle (XY) | \ Psi _ {m} (X, Y)}$${\ displaystyle j (z)}$${\ displaystyle j (Mz)}$${\ displaystyle j (\ tau)}$

Tätä tosiasiaa voidaan tarkentaa ottamalla käyttöön ns. Luokkapolynomi (luokkapolynomi)

${\ displaystyle H_ {D} (X) = \ prod _ {{\ mathfrak {z}} \ in \ mathrm {SL} _ {2} (\ mathbb {Z}) \ backslash {\ mathfrak {Z}} _ {D}} (Xj ({\ mathfrak {z}})).}$

Se koostuu kaikista Heegnerin pisteistä johtajan 1 ja syrjijän kanssa  , jolla ryhmä toimii. Jäljelle jää asteen polynomi . Voidaan osoittaa, että jopa ja aina on pelkistämätön. Tämä olettaa kokonaislukuarvon erityisesti kohdassa , nimittäin että tälle syrjivälle on siis vain yksi Heegner -pisteiden luokka. Tämä luo uteliaisuuden, joka on helppo näyttää tietokoneella${\ displaystyle {\ mathfrak {Z}} _ {D}}$${\ displaystyle D}$${\ displaystyle \ mathrm {SL} _ {2} (\ mathbb {Z})}$${\ displaystyle H_ {D} (X)}$${\ displaystyle h (D)}$${\ displaystyle H_ {D} (X) \ in \ mathbb {Z} [X]}$${\ displaystyle j (\ tau)}$${\ displaystyle \ texttyle \ tau = {\ frac {1 + i {\ sqrt {163}}} {2}}}$${\ displaystyle j (\ tau) = - 640 \, 320 ^ {3}}$${\ displaystyle h (-163) = 1}$

${\ displaystyle e ^ {\ pi {\ sqrt {163}}} = 262 \, 537 \, 412 \, 640 \, 768 \, 743 {,} \, 999 \, 999 \, 999 \, 999 \, 250 \ piste.}$

Identiteetin avulla voidaan luoda erittäin nopeasti lähentyvät sarjat ${\ displaystyle j (\ tau) = - 640 \, 320 ^ {3}}$

${\ displaystyle {\ frac {1} {\ pi}} = {\ frac {12} {640 \, 320 ^ {3/2}}} \ summa _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(6k)! (163 \ cdot 3 \, 344 \, 418k + 13 \, 591 \, 409)} {(3k)! (K!) ^ {3} (- 640 \, 320) ^ {3k} }}}$

verrata, verrata myös Chudnovskin algoritmia . Tämä mahdollistaa erittäin nopean laskennan : Tähän mennessä (elokuussa 2021) tällä menetelmällä on laskettu yli 62  biljoonaa desimaalia.${\ displaystyle \ pi}$

Avulla kaavan mukaan Sarvadaman Chowla ja Atle Selberg , yksikkö moduli voidaan myös ”siirretään” tapaukseen modulimuoto algebrallisia kertoimia. Lausunto on, että jos kyseessä on kuvitteellinen-toisen asteen numerokenttä, on olemassa "piste", joka on riippuvainen vain tästä kentästä , niin että jokaiselle modulaariselle lomakkeelle,  jossa on algebralliset kertoimet kaikille . Mahdollinen arvo voidaan laskea nimenomaisesti muodossa ${\ displaystyle K}$${\ displaystyle \ Omega _ {K}}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f (\ tau) \ in {\ overline {\ mathbb {Q}}} \ cdot \ Omega _ {K} ^ {k}}$${\ displaystyle \ tau \ in \ mathbb {H} \ cap K}$${\ displaystyle \ Omega _ {K}}$

${\ displaystyle \ Omega _ {K} = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi | D |}}} \ prod _ {j = 1} ^ {| D | -1} \ Gamma \ left ( {\ frac {j} {| D |}} \ oikea) ^ {\ frac {\ chi _ {D} (j) w (D)} {4h (D)}},}$

jossa syrjijän luonne suhteessa  numerokenttään  , luokan numero, yksiköiden lukumäärä koko renkaassa ja vastaavasti gammafunktio . Chowla ja Selberg julkaisivat tämän kaavan vuonna 1949, mutta Matyáš Lerch oli jo löytänyt sen vuonna 1897.${\ displaystyle \ chi _ {D}}$${\ displaystyle D}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle h (D)}$${\ displaystyle w (D)}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {K}}$${\ displaystyle \ Gamma (s)}$

Algoritminen käyttö

Sijoitusluokan 1 elliptisille käyrille , joilla on  johtavuus järkeviin lukuihin, voidaan Grossin ja Zagierin kaavan avulla antaa algoritmi äärettömän järjestyksen järkevien pisteiden luomiseksi. Yleistetyssä Weierstrasse -yhtälössä oletetaan olevan elliptinen käyrä${\ displaystyle E}$${\ displaystyle N}$

${\ displaystyle E \ kaksoispiste ^ ^ {2} + g_ {1} xy + g_ {3} y = x ^ {3} + g_ {2} x ^ {2} + g_ {4} x + g_ {6} }$

erotus- , j-invariantti- ja kokonaislukukertoimilla . Se on myös pakollinen. ${\ displaystyle D_ {E}}$${\ displaystyle j (E)}$${\ displaystyle g_ {j}}$${\ displaystyle b_ {2} = g_ {1} ^ {2} + 4g_ {2}}$

Heegnerin pistemenetelmän muotoilu

Menettely on seuraava:

1. (Berechnung notwendiger Genauigkeit) In diesem ersten Schritt wird berechnet, auf wie viele Nachkommastellen alle darauffolgenden Hauptberechnungen stimmen müssen. Ist bekannt, dass hinreichend gute Genauigkeit vorliegt, kann dieser Schritt übergangen werden. Berechne das Produkt ${\displaystyle |\mathrm {Sha} (E)|R(E)}$ mit Hilfe der Formel von Birch und Swinnerton-Dyer:
    ${\displaystyle |\mathrm {Sha} (E)|R(E)={\frac {|E(\mathbb {Q} )_{\mathrm {tors} }|^{2}L'(E,1)}{c(E)\omega _{1}(E)}}}$
Dabei bezeichnet ${\displaystyle R(E)}$ den sog. Regulator, ${\displaystyle \omega _{1}(E)\in \mathbb {R} _{>0}}$ die reelle Standardperiode der elliptischen Kurve (über ${\displaystyle \mathbb {C} }$ als Torus betrachtet), ${\displaystyle c(E)}$ das Produkt der Tamagawa-Zahlen ${\displaystyle c_{p}(E)}$ von ${\displaystyle E}$ (einschließlich ${\displaystyle c_{\infty }(E)}$) und ${\displaystyle \mathrm {Sha} (E)}$ die Shafarevich-Tate-Gruppe der elliptischen Kurve. Der Wert ${\displaystyle L'(E,1)}$ sollte effizient mittels
    ${\displaystyle L'(E,1)=2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n}}\int _{\frac {2\pi n}{\sqrt {N}}}^{\infty }{\frac {e^{-t}}{t}}\mathrm {d} t}$
berechnet werden. Alle späteren Rechnungen müssen auf mindestens ${\displaystyle dd=[d/\log(10)]+10}$ Stellen genau getätigt werden, wobei
    ${\displaystyle d=2\left(|\mathrm {Sha} (E)|R(E)+{\frac {h(j(E))}{12}}+{\frac {\log(|D_{E}|)+\max\{\log(|j(E)|),1\}}{6}}+\max\{1,\log(|b_{2}/12|)\}+\log(2^{*})+1{,}946\right)}$
mit ${\displaystyle 2^{*}=2}$ falls ${\displaystyle b_{2}\neq 0}$ und ${\displaystyle 2^{*}=1}$ sonst.

2. (Schleife über Fundamentaldiskriminanten) In diesem Teil des Algorithmus muss eine passende Fundamentaldiskriminante bestimmt werden. Aus dieser werden dann später geeignete Heegner-Punkte berechnet (für weitere Zusammenhänge siehe im Abschnitt über den Zusammenhang zu imaginär-quadratischen Zahlkörpern). Prüfe für absteigende Fundamentaldiskriminanten ${\displaystyle D=-3,-4,\dotsc }$ folgende Bedingungen:
* ${\displaystyle D}$ ist ein Quadrat modulo ${\displaystyle 4N}$
* Es ist ${\displaystyle a_{p}=-1}$ für alle Primzahlen ${\displaystyle p|\mathrm {ggT} (N,D)}$
* Der Wert ${\displaystyle L(E_{D},1)}$ ist nicht 0. Für dessen Berechnung kann die schnell konvergente Reihe
    ${\displaystyle L(E_{D},1)=2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n}}\left({\frac {D}{n}}\right)\exp \left({\frac {-2\pi n}{\sqrt {ND^{2}/\mathrm {ggT} (D,N)}}}\right)}$
verwendet werden.
Ist irgendeine dieser Bedingungen nicht erfüllt, fahre mit der nächsten Fundamentaldiskriminanten fort. Falls aber doch, fixiere ${\displaystyle \beta \equiv B\mod 2N}$, sodass ${\displaystyle D\equiv \beta ^{2}\mod 4N}$, und berechne den Wert ${\displaystyle m>0}$ mit
  ${\displaystyle m^{2}=\omega _{1}(E){\frac {c(E){\sqrt {|D|}}(w(D)/2)^{2}}{4\mathrm {Vol} (E)|E(\mathbb {Q} )_{\mathrm {tors} }|^{2}}}2^{\omega (\mathrm {ggT} (D,N))}L(E_{D},1).}$
Dabei ist ${\displaystyle \omega (n)}$ die Anzahl unterschiedlicher Primfaktoren in der Zerlegung von ${\displaystyle n}$. Dieser numerische Wert von ${\displaystyle m}$ sollte sehr nahe an einer ganzen Zahl oder an einer rationalen Zahl mit verhältnismäßig kleinem Nenner sein. In letzterem Fall sollten entsprechende Vielfache von ${\displaystyle m}$ gewählt werden, sodass Ganzzahligkeit erreicht wird – bezeichne die ganze Zahl dann wieder als ${\displaystyle m}$.

3. (Liste von Klassen quadratischer Formen) Berechne eine Liste ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ von ${\displaystyle |\mathrm {Cl} (\mathbb {Q} ({\sqrt {D}}))|}$ Repräsentanten positiv definiter quadratischer Formen ${\displaystyle (A,B,C)}$ mit Diskriminante ${\displaystyle D}$, sodass ${\displaystyle N|A}$ und ${\displaystyle \beta \equiv B\mod 2N}$ (dies ist stets möglich). Fasse Listenelemente ${\displaystyle (A,B,C)}$ und ${\displaystyle (A',B',C')}$ paarweise zusammen, wenn letzteres äquivalent zu ${\displaystyle (CN,B,A/N)}$ ist.

4. (Hauptrechnung) Berechne die komplexe Zahl
   ${\displaystyle \sum _{(A,B,C)\in {\mathcal {L}}}\phi \left({\frac {-B+{\sqrt {D}}}{2A}}\right)\in \mathbb {C} }$
mittels der Formel
   ${\displaystyle \phi (\tau )=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n}}q^{n}}$
und verwende die Tatsache, dass die Paarungen aus Schritt 3 die Relation
   ${\displaystyle \phi \left({\frac {-B'+{\sqrt {D}}}{2A'}}\right)={\overline {\phi \left({\frac {-B+{\sqrt {D}}}{2A}}\right)}}}$
erfüllen. Für die nötige Genauigkeit sollten stets mindestens ${\displaystyle Ad/(\pi {\sqrt {|D|}})}$ Summanden in den Reihen verwendet werden.

5. (Bestimmung des rationalen Punktes) Bezeichnet ${\displaystyle e}$ den Exponenten der Gruppe ${\displaystyle E(\mathbb {Q} )_{\mathrm {tors} }}$, so wird ${\displaystyle \ell =\mathrm {ggT} (e,m^{3})}$ und definiere ${\displaystyle m'=\ell m}$. Für jedes ganzzahlige Paar ${\displaystyle (u,v)\in [0,m'-1]^{2}}$ definiere
   ${\displaystyle z_{u,v}={\frac {\ell z+u\omega _{1}(E)+v\omega _{2}(E)}{m'}}.}$
Berechne ${\displaystyle x_{u,v}=\wp (z_{u,v})}$, wobei ${\displaystyle (\wp ,\wp ')}$ den Isomorphismus zwischen ${\displaystyle \mathbb {C} /\Lambda _{E}}$ und ${\displaystyle E(\mathbb {C} )}$ bezeichnet. Wurde alles mit hinreichend guter Genauigkeit durchgeführt, liegt eines der ${\displaystyle x_{u,v}}$ erkennbar nahe an einer rationalen Zahl ${\displaystyle p/f^{2}}$. Falls nicht, erhöhe die Genauigkeit und vollziehe die vorherigen Schritte erneut. Falls ja, berechne unter Nutzung der Weierstraß-Gleichung den entsprechenden Koordinatenteil ${\displaystyle y}$, der von der Form ${\displaystyle q/f^{3}}$ ist und beende den Algorithmus.

Algoritmin tausta

Koska Heegner -pisteiden sarjat lähentyvät yhä hitaammin tason noustessa , menetelmä luokitellaan käyttökelvottomaksi nykypäivän laskentavälineillä alueen suuruusluokista . Algoritmin yksittäiset vaiheet voidaan perustella seuraavasti: ${\ displaystyle \ phi}$${\ displaystyle N> 10 ^ {8}}$

1. Pisteen kanoninen korkeus ei ainoastaan ​​mittaa sitä, onko se vääntöpiste, vaan liittyy myös sen korkeuteen eli mitta, joka mittaa järkevän luvun monimutkaisuuden. Tämä tapahtuu epätasa -arvon kautta ${\ displaystyle {\ widehat {h}} (P)}$${\ displaystyle P \ in E (\ mathbb {Q})}$

${\ displaystyle 0 \ leq h (P) \ leq {\ widehat {h}} (P) + {\ frac {h (j (E))} {12}} + {\ frac {\ log (| D_ { E} |) + \ max \ {\ log (| j (E) |), 1 \}} {6}} + \ max \ {1, \ log (| b_ {2} / 12 |) \} + \ loki (2 ^ {*}) + 1 {,} 946}$

ilmeinen. Samaan aikaan kanoninen määrä liittyy määrään Grossin ja Zagierin kaavan sekä Birchin ja Swinnerton-Dyerin oletuksen kaavan kautta , vaikkakin on edelleen pieni riippuvuus syrjivästä  . Valintaa varten, korvaavien yhteenlaskettava 10 lukumäärän  desimaalin tarkkuudella riittää.${\ displaystyle {\ widehat {h}} (P)}$${\ displaystyle | \ mathrm {Sha} (E) | R (E)}$${\ displaystyle D}$${\ displaystyle | D | <10 ^ {6}}$${\ displaystyle dd}$

2. Koska tarkasteltavalla käyrällä on  johtaja  , sitä parametroidaan. Näin ollen Heegnerin tasot ovat  merkityksellisiä. Tätä varten kuitenkin edellä kuvatun Heegner-pisteiden ja imaginaarisen-neliöllisten lukukenttien ihanteellisten luokkien välisen suhteen vuoksi on valittava yhden tyyppiset erottimet . Sijoitus 1: ssä säädin on yhtä suuri kuin arvo , jolloin tuottaja kuuluu Mordell-Weil-ryhmään. Koska sen muoto on vääntöpiste , seuraavaa lauseketta voidaan ehdottaa Grossin ja Zagierin kaavan yhdistelmästä Birchin ja Swinnerton-Dyerin oletuksen kanssa: ${\ displaystyle E}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle \ varphi \ kaksoispiste X_ {0} (N) \ longrightarrow E (\ mathbb {C})}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle D \ equiv b ^ {2} \ mod 4N}$${\ displaystyle b \ \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle R (E)}$${\ displaystyle {\ widehat {h}} (G)}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle \ ell G + Q}$${\ displaystyle Q}$${\ displaystyle {\ widehat {h}} (P) = \ ell ^ {2} {\ widehat {h}} (G)}$

${\ displaystyle {\ frac {\ ell ^ {2}} {| \ mathrm {Sha} (E) |}} = \ omega _ {1} (E) {\ frac {c (E) {\ sqrt {| D |}} (w (D) / 2) ^ {2}} {4 \ mathrm {Vol} (E) | E (\ mathbb {Q}) _ {\ mathrm {tors}} | ^ {2}} } 2 ^ {\ omega (\ mathrm {ggT} (D, N))} L (E_ {D}, 1)}$

Se on renkaan kokonaisuuden yksiköiden lukumäärä . Tätä kaavaa on tarkoitus soveltaa jopa tapaukseen , mutta se vaatii lisäehtoa kaikille . Se on kuitenkin vain arvaus, eikä sitä ole todistettu tähän päivään mennessä . Tarkasteltavana olevan käyrän tiedetään olevan äärellinen ja neliö.${\ displaystyle w (D)}$${\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {D}})}$${\ displaystyle \ mathrm {ggT} (D, N)> 1}$${\ displaystyle a_ {p} = - 1}$${\ displaystyle p | \ mathrm {ggT} (D, N)}$${\ displaystyle | \ mathrm {Sha} (E) |}$

3. Pariliitosjärjestely auttaa puolittamaan suuret laskentatyöt 4. optimaalisessa tapauksessa. Lähentymisen nopeuden vuoksi on myös tärkeää valita arvot pieniksi. Henri Cohen ja Christophe Delaunay kuvaavat yksityiskohtaisesti alialgoritmin, joka toteuttaa vaaditun neliömuodoluokkien luettelon laskemisen .${\ displaystyle A '}$${\ displaystyle {\ mathcal {L}}}$

4. Tämä on juuri edellä mainitun jäljityskaavan soveltaminen. Tämä vaihe vie ylivoimaisesti eniten aikaa.

5. Kompleksilukua ei pitäisi yksinkertaisesti kartoittaa käyrälle Weierstrasse -funktiolla , koska se edellyttäisi erittäin suurta tarkkuutta vastaavan rationaaliluvun tunnistamiseksi. Sen sijaan, se ei ole suositeltavaa tuottaa generaattori ryhmän (modulo vääntö) suoraan , vaan välittömästi  . Siksi käytetään vaiheessa 2 laskettua . Vääntöpisteet ovat juuri (modulo ) -pisteitä . ${\ displaystyle z}$${\ displaystyle \ wp}$${\ displaystyle E (\ mathbb {C})}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle E (\ mathbb {Q})}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle \ mathbb {C} / \ Lambda _ {E}}$${\ displaystyle \ mathbb {Q} \ omega _ {1} (E) + \ mathbb {Q} \ omega _ {2} (E)}$${\ displaystyle \ Lambda _ {E}}$

Käytännön esimerkki

Hänen monografia on järkevä pistettä modulaarinen elliptisiin käyriin , Henri Darmon vie elliptisen käyrän perustana matemaattisen esittelyä

${\ displaystyle y ^ {2} + y = x ^ {3} -x ^ {2} -10x -20}$

oppaan kanssa . Heegnerin pointti ${\ displaystyle N = 11}$

${\ displaystyle \ tau = {\ frac {-9 + i {\ sqrt {7}}} {22}}}$

taso on valittu. Joko laskemalla käyrän modulo -pisteitä tai identiteetin kautta ${\ displaystyle N = 11}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle p}$

${\ displaystyle f (z) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a (n) e ^ {2 \ pi inz} = \ eta ^ {2} (z) \ eta ^ {2} ( 11z) = e ^ {2 \ pi iz} \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} (1-e ^ {22 \ pi inz}) ^ {2} (1-e ^ {2 \ pi inz }) ^ {2} = e ^ {2 \ pi iz} -2e ^ {4 \ pi iz} -e ^ {6 \ pi iz} -\ piste}$

Normalisoiduissa Hecke eigenform painoa 2 löytyy suhteessa congruence alaryhmä (ts ), jossa dedekindin eetafunktio tarkoittaa. Eichler -integraalin numeerinen arviointi sisältää 1000 kutsua: ${\ displaystyle \ Gamma _ {0} (11)}$${\ displaystyle X_ {0} (11)}$${\ displaystyle \ eta (z)}$

${\ displaystyle z = \ summa _ {n = 1} ^ {1000} {\ frac {a (n)} {n}} q ^ {n}}$

ja Weierstrass -parametroinnin käytön jälkeen piste

${\ displaystyle (x, y) = \ left ({\ frac {1-i {\ sqrt {7}}} {2}},-2-2i {\ sqrt {7}} \ right)}$

35 desimaalin tarkkuudella.

Yleistykset

Heegner osoittaa Shimura -käyrillä

Heegner -pisteitä voidaan määritellä myös Shimura -käyrillä. Moduulikäyrän tapaan nämä käyrät näkyvät ylemmän puolitason osana diskreettisesti toimivaa ryhmää . Päinvastoin äärellistä määrää pisteitä (ns. Huippuja) ei tarvitse lisätä osamäärään, jotta käyrästä tulee kompakti Riemannin pinta : Voidaan osoittaa, että tällaisten käyrien osamäärä on aina kompakti. Toisaalta tämä yksinkertaistaa modulaarisen muodon määritelmää suhteessa , koska vain kaikille (ja tietysti holomorfismille) on määrättävä. Toisaalta kanoninen Fourier -laajennus ei ole käytettävissä ilman huippuja.${\ displaystyle X_ {0} (N)}$${\ displaystyle \ Gamma \ osajoukko \ mathrm {SL} _ {2} (\ mathbb {R})}$${\ displaystyle X_ {0} (N)}$ ${\ displaystyle \ mathbb {H} / \ Gamma}$${\ displaystyle f (z)}$${\ displaystyle \ mathbb {H}}$${\ displaystyle \ Gamma}$${\ displaystyle f (\ gamma z) = (cz + d) ^ {k} f (z)}$${\ displaystyle \ gamma \ in \ Gamma}$

Erityisen kiinnostavia tässä ovat erillisiä ryhmiä , jotka ovat yhteydessä tekijöihinjakoalgoritmi niin että , neliön vapaa ja koostuu parillisen määrän alkulukuja. Tehtävä suoritetaan kvaternionalgebran kautta, ja Henri Darmon kuvailee sen yksityiskohtaisesti.${\ displaystyle \ Gamma _ {N ^ {+}, N ^ {-}} \ osajoukko \ mathrm {SL} _ {2} (\ mathbb {R})}$${\ displaystyle N ^ {+} N ^ {-} = N}$${\ displaystyle \ mathrm {gcd} (N ^ {+}, N ^ {-}) = 1}$${\ displaystyle N ^ {-}}$

Mitä tulee ryhmiin , tilat , jotka (kuten klassisen tapauksessa) luonnollisesti kuljettaa rakennetta Hilbert tilan kautta kiilan tuote on ero muotoja on tutkittu erityisesti . Anna myös tässä Hecken operaattoreiden määritellä. Mitä työmatkan ja itsensä adjoint ovat, tila on diagonalisoida vaikutuksesta nämä toimijat, d. eli samanaikaisten Hecke -ominaistilojen ortonormaali perusta löytyy. Jos nyt on samanaikainen ominaistila, tämä voidaan tehdä käyttämällä paikallisia Euler -tekijöitä ${\ displaystyle \ Gamma _ {N ^ {+}, N ^ {-}}}$${\ displaystyle S_ {2} (\ Gamma _ {N ^ {+}, N ^ {-}})}$${\ displaystyle \ mathbb {H} / \ Gamma _ {N ^ {+}, N ^ {-}}}$ ${\ displaystyle T_ {n} \ kaksoispiste S_ {2} (\ Gamma _ {N ^ {+}, N ^ {-}}) \-S_ {2} (\ Gamma _ {N ^ {+}, N ^ {-}})}$${\ displaystyle \ mathrm {ggT} (n, N) = 1}$${\ displaystyle T_ {n}}$${\ displaystyle S_ {2} (\ Gamma _ {N ^ {+}, N ^ {-}})}$${\ displaystyle f}$

${\ displaystyle (1-a_ {p} (f) p ^ {- s} + p ^ {1-2s}) ^ {- 1}, \ qquad T_ {p} f = a_ {p} f}$

alkuluvuille, jotka eivät jaa, voidaan määrittää L-funktio.${\ displaystyle N}$

Modulaarisuusperiaate koskee myös tällaisia ​​modulaarisia muotoja: ohjaimella varustetulla elliptisellä käyrällä on ainutlaatuinen ominaismuoto , joten kaikille . Tämä voidaan päätellä (klassinen) modulaarisuuslause itse ja lause, jonka Hervé Jacquet ja Robert Langlands , jossa todetaan, että jokainen uusi muoto ja paino 2 suhteen on, ominaismuodolle löytyy, niin että (lukuun ottamatta rajallinen määrä Euler -tekijöistä).${\ displaystyle E / \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle N = N ^ {+} N ^ {-}}$${\ displaystyle f \ in S_ {2} (\ Gamma _ {N ^ {+}, N ^ {-}})}$${\ displaystyle T_ {p} (f) = a_ {p} (E) f}$${\ displaystyle p \ not \ mid N}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle \ Gamma _ {0} (N)}$${\ displaystyle N = N ^ {+} N ^ {-}}$${\ displaystyle g \ in S_ {2} (\ Gamma _ {N ^ {+}, N ^ {-}})}$${\ displaystyle L (f, s) = L (g, s)}$

Tämän perusteella voidaan määrittää muita elliptisen käyrän parametrointeja . Lisäksi Heegnerin pisteiden valinta on myös tässä mahdollista, vaikka nämä eivät ole toisen asteen yhtälöiden ratkaisuja täysin erilaisen ryhmämuodon vuoksi. Näiden pisteiden avulla voidaan muodostaa analogia päälauseelle Shimura -käyrien monimutkaisesta kertomisesta.${\ displaystyle E / \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle \ tau \ in \ mathbb {H} / \ Gamma _ {N ^ {+}, N ^ {-}}}$

Korkeampi ulottuvuus

Heegnerin pisteet mahdollistavat useita korkeamman ulottuvuuden analogioita, kuten B. "ortogonaalisen tyyppisten" Shimura -lajikkeiden aritmeettiset syklit . Stephen Kudla antaa teoksessaan yleiskatsauksen kauaskantoisesta ohjelmastaan, jossa hän yhdistää näiden syklien korkeudet (Arakelovin merkityksessä) vastaavan Eisenstein-sarjan johdannaisiin; Vaikka tähän suuntaan on vielä kehitettävä valtavasti matematiikkaa, on edistytty jo huomattavasti (esimerkiksi Tonghai Yangin kautta, jonka avulla selvitettiin yksi Kudlan ohjelman yksinkertaisimmista tapauksista).

Stark-Heegner-tapauksen epäilty erityistapaus

Heegner pisteitä voidaan pitää analogisena elliptisen käyrän erityisiä yksiköitä, kuten pyöreä tai elliptinen yksikköä , logaritmit , jotka voidaan jäljittää takaisin ensimmäiseen johdannaisia Artin L-toiminto on , aivan kuten korkeudet Heegner pisteet ovat ensimmäiset Rankin L -sarjan koodin johdannaiset käyttäen kaavaa Gross ja Zagier. Bertolinin, Darmonin ja Greenin artikkeli kuvaa useita suurelta osin arvailuihin perustuvia analyyttisiä "Heegner-tyyppisten" pisteiden rakenteita, joita voitaisiin pitää Stark-yksiköiden elliptisen käyrän analogina. Tästä syystä termi "Stark-Heegnerin pisteet" keksittiin kuvaamaan niitä.${\ displaystyle s = 0}$

kirjallisuus

• Jan Hendrik Bruinier , Gerard van der Geer , Günter Harder , Don Zagier : Modulaaristen lomakkeiden 1-2-3. Luentoja kesäkoulussa Nordfjordeidissa, Norjassa, Springer-Verlagissa, Berliinissä / Heidelbergissä.
• Henri Cohen : Numeroteoria. Osa I: Työkalut ja diofantiset yhtälöt. Springer, 2007.
• Henri Darmon : Rationaaliset pisteet modulaarisissa elliptisissä käyrissä. Alueellinen konferenssisarja matematiikassa, American Mathematical Society, numero 101.
• Henri Darmon , Shou-Wu Zhang (toim.): Heegner-pisteet ja L-sarjan sijoitus. Cambridge University Press, 2004.
• Kurt Heegner : Diofantinen analyysi ja moduulitoiminnot. Mathematical Journal 56, 227-253.

Yksilöllisiä todisteita

1. ^ Joseph Silverman, John Tate: Rational Points on Elliptic Curves. Springer, s.11.
2. ^ Joseph Silverman, John Tate: Rational Points on Elliptic Curves. Springer, s.15.
3. ^ Joseph Silverman, John Tate: Rational Points on Elliptic Curves. Springer, s.17.
4. ^ Joseph Silverman, John Tate: Rational Points on Elliptic Curves. Springer, s.18.
5. ^ Joseph H. Silverman: Elliptisten käyrien aritmetiikka. 2. painos, Springer, s. Xviii.
6. ^ Gary Cornell, Joseph H. Silverman, Glenn Stevens: Modulaariset muodot ja Fermatin viimeinen lause. Springer, s.1.
7. ^ Henri Cohen: Numeroteoria. Osa I: Työkalut ja diofantiset yhtälöt. Springer, 2007, s.465.
8. ^ Henri Darmon: Rationaaliset pisteet modulaarisissa elliptisissä käyrissä. Alueellinen konferenssisarja matematiikassa, American Mathematical Society, numero 101, s.8.
9. ^ Joseph H. Silverman: Elliptisten käyrien aritmetiikka. 2. painos, Springer, s.309.
10. ↑ Gerd Faltings : Abelilaisten lajikkeiden rajallisuuslauseet numerokenttien yli. Inventiones Mathematicae 73, 349-366, 1983.
11. ^ Fields -mitalistit, listattu aikajärjestyksessä. Lähde : mathunion.org. IMU, käytetty 18. lokakuuta 2020 . 
12. ^ Neal Koblitz: Numeroteorian ja salauksen kurssi. Toinen painos, Springer, s.171-173.
13. ^ ^{A b} Neal Koblitz: Johdatus elliptisiin käyriin ja modulaarisiin muotoihin. Springer-Verlag New York, s. 14 ja sitä seuraava.
14. ^ Neal Koblitz: Johdatus elliptisiin käyriin ja modulaarisiin muotoihin. Springer-Verlag New York, s.14.
15. ^ Benedict Gross, Don Zagier: Heegner-pisteet ja L-sarjan johdannaiset. Inventiones mathematicae 84, 225-320, 1986, s.227.
16. ↑ Fred Diamond, Jerry Shurman: Ensimmäinen kurssi modulaarisissa muodoissa. Springer Science + Business Media New York, 4. painos, 2016, s.296.
17. ^ Jan Hendrik Bruinier, Gerard van der Geer, Günter Harder, Don Zagier: Modulaaristen lomakkeiden 1-2-3. Luentoja kesäkoulussa Nordfjordeidissa, Norjassa, Springer-Verlag, Berliini / Heidelberg, s.70.
18. ↑ Don Zagier: Zeta -funktiot ja toisen asteen numerokentät. Springer-Verlag, Berliini / Heidelberg / New York, 1981, s.90.
19. ↑ Don Zagier: Zeta -funktiot ja toisen asteen numerokentät. Springer-Verlag, Berliini / Heidelberg / New York, 1981, s.62.
20. ↑ Jürgen Neukirch: Algebrallinen lukuteoria. Springer-Verlag, Berliini / Heidelberg 1992, s.39.
21. ↑ Don Zagier: Zeta -funktiot ja toisen asteen numerokentät. Springer-Verlag, Berlin / Heidelberg / New York, 1981, s. 83-84.
22. ↑ Fred Diamond, Jerry Shurman: Ensimmäinen kurssi modulaarisissa muodoissa. Springer Science + Business Media New York, 4. painos, 2016, s.328.
23. ^ Neal Koblitz: Johdatus elliptisiin käyriin ja modulaarisiin muotoihin. Springer-Verlag New York, s.143.
24. ^ Henri Cohen: Numeroteoria. Osa I: Työkalut ja diofantiset yhtälöt. Springer, 2007, s.599.
25. ^ Neal Koblitz: Johdatus elliptisiin käyriin ja modulaarisiin muotoihin. Springer-Verlag New York, s.221.
26. ^ Max Koecher, Aloys Krieg: Elliptiset toiminnot ja modulaariset muodot , Springer, s.72 .
27. ↑ David A.Cox: Lomakkeen alkulaitteet . ${\ displaystyle x ^ {2} + ny ^ {2}}$Pure and Applied Mathematics, Wiley, 1993, s.240.
28. ^ Bryan Birch: Heegner Points: The Beginnings. Julkaisussa: Heegner Points and Ranking L-Series, Cambridge University Press, 2004, s.3 .
29. ^ Bryan Birch: Heegner Points: The Beginnings. Julkaisussa: Heegner Points and Ranking L-Series, Cambridge University Press, 2004, s.4 .
30. ↑ Kurt Heegner: Diofantinen analyysi ja moduulitoiminnot. Mathematische Zeitschrift 56, s. 227-253.
31. ↑ ^{a b} Bryan Birch: Heegner Points: The Beginnings. Julkaisussa: Heegner Points and Ranking L-Series, Cambridge University Press, 2004, s. 4–5.
32. ↑ Max Deuring: Kuvitteelliset toisen asteen numerokentät luokan ykkönen kanssa. Keksii matematiikkaa. 5, s.169.
33. ^ Bryan Birch: Heegner Points: The Beginnings. Julkaisussa: Heegner Points and Ranking L-Series, Cambridge University Press, 2004, s.5 .
34. ↑ ^{a b c d} Henri Darmon, Shou-Wu Zhang (toim.): Heegner-pisteet ja ranking L-sarja. Cambridge University Press, 2004, s. Ix.
35. ^ ^{A b c d} Henri Cohen: Numeroteoria. Osa I: Työkalut ja diofantiset yhtälöt. Springer, 2007, s.586.
36. ^ Benedict Gross: Heegner huomauttaa . ${\ displaystyle X_ {0} (N)}$Julkaisussa: RA Rankin (toim.): Modulaariset muodot. Ellis Horwood, Chichester 1984. s.88.
37. ^ David A. Cox: Lomakkeen alkulaitteet . ${\ displaystyle x ^ {2} + ny ^ {2}}$Pure and Applied Mathematics, Wiley, 1993, s.120.
38. ^ ^{A b} Henri Darmon: Rationaaliset pisteet modulaarisissa elliptisissä käyrissä. Alueellinen konferenssisarja matematiikassa, American Mathematical Society, numero 101, s.35.
39. ^ Henri Cohen: Numeroteoria. Osa I: Työkalut ja diofantiset yhtälöt. Springer, 2007, s. 586-587.
40. ^ Benedict Gross: Heegner huomauttaa . ${\ displaystyle X_ {0} (N)}$Julkaisussa: RA Rankin (toim.): Modulaariset muodot. Ellis Horwood, Chichester 1984. s. 88-89.
41. ^ Henri Darmon: Rationaaliset pisteet modulaarisissa elliptisissä käyrissä. Alueellinen konferenssisarja matematiikassa, American Mathematical Society, numero 101, s.33.
42. ^ ^{A b} Henri Cohen: Numeroteoria. Osa I: Työkalut ja diofantiset yhtälöt. Springer, 2007, s.587.
43. ^ Benedict Gross, Don Zagier: Heegner-pisteet ja L-sarjan johdannaiset. Inventiones mathematicae 84, 225-320, 1986, s. 226-227.
44. ^ Joseph H. Silverman: Elliptisten käyrien aritmetiikka. 2. painos, Springer, s.376.
45. ^ Henri Darmon: Rationaaliset pisteet modulaarisissa elliptisissä käyrissä. Alueellinen konferenssisarja matematiikassa, American Mathematical Society, numero 101, s.7.
46. ^ Neal Koblitz: Numeroteorian ja salauksen kurssi. Toinen painos, Springer, s. 184 ja sitä seuraavat sivut.
47. ↑ David Kohel: AGM-X ₀ (N) Heegner-pisteen nostoalgoritmi ja elliptisen käyrän pistelaskenta. Julkaisussa: Chi Sung Laih (Toim.): Advances in Cryptology - ASIACRYPT 2003. Lecture Notes in Computer Science, Vuosikerta 2894. Springer, Berlin / Heidelberg 2003.
48. ^ Henri Darmon, Shou-Wu Zhang (toim.): Heegner-pisteet ja L-sarjan sijoitus. Cambridge University Press, 2004, s. X.
49. ^ Jan Hendrik Brunier, Gerard van der Geer, Günter Harder, Don Zagier: Modulaaristen lomakkeiden 1-2-3. Luentoja kesäkoulussa Nordfjordeidissa, Norjassa, Springer-Verlag, Berliini / Heidelberg, s.97.
50. ↑ Samit Dasgupta, John Voight: Heegnerin pisteet ja Sylvesterin arvaus. S.9.
51. ^ Henri Darmon: Rationaaliset pisteet modulaarisissa elliptisissä käyrissä. Alueellinen konferenssisarja matematiikassa, American Mathematical Society, numero 101, s.1.
52. ^ Gary Cornell, Joseph H. Silverman, Glenn Stevens (toim.): Modular Forms and Fermat's Last Theorem. Springer, s.97.
53. ^ Joseph Silverman, John Tate: Rational Points on Elliptic Curves. Springer, s. 251-252.
54. ^ Gary Cornell, Joseph H. Silverman, Glenn Stevens (toim.): Modular Forms and Fermat's Last Theorem. Springer, s.32.
55. ^ Henri Darmon: Rationaaliset pisteet modulaarisissa elliptisissä käyrissä. Alueellinen konferenssisarja matematiikassa, American Mathematical Society, numero 101, s. 17-21.
56. ↑ Don Zagier: Zeta -funktiot ja toisen asteen numerokentät. Springer-Verlag, Berliini / Heidelberg / New York, 1981, s. 92–94.
57. ^ ^{A b} Henri Cohen: Numeroteoria. Osa I: Työkalut ja diofantiset yhtälöt. Springer, 2007, s.588.
58. ^ Henri Darmon: Rationaaliset pisteet modulaarisissa elliptisissä käyrissä. Alueellinen konferenssisarja matematiikassa, American Mathematical Society, numero 101, s.24.
59. ^ Henri Darmon: Rationaaliset pisteet modulaarisissa elliptisissä käyrissä. Alueellinen konferenssisarja matematiikassa, American Mathematical Society, numero 101, s.19.
60. ^ Joseph H. Silverman: Edistyneet aiheet elliptisten käyrien aritmetiikassa. Springer, s. 121.
61. ↑ David A.Cox: Lomakkeen alkulaitteet . ${\ displaystyle x ^ {2} + ny ^ {2}}$Pure and Applied Mathematics, Wiley, 1993, s. 121-122.
62. ↑ David A.Cox: Lomakkeen alkulaitteet . ${\ displaystyle x ^ {2} + ny ^ {2}}$Pure and Applied Mathematics, Wiley, 1993, s. 162-163.
63. ↑ David A.Cox: Lomakkeen alkeet . ${\ displaystyle x ^ {2} + ny ^ {2}}$Pure and Applied Mathematics, Wiley, 1993, s.318.
64. ^ David A.Cox: Lomakkeen alkulaitteet . ${\ displaystyle x ^ {2} + ny ^ {2}}$Pure and Applied Mathematics, Wiley, 1993, s.200.
65. ^ Joseph H. Silverman: Edistyneet aiheet elliptisten käyrien aritmetiikassa. Springer, s.140.
66. ^ David A.Cox: Lomakkeen alkulaitteet . ${\ displaystyle x ^ {2} + ny ^ {2}}$Pure and Applied Mathematics, Wiley, 1993, s.247.
67. ^ ^{A b c} Henri Cohen: Numeroteoria. Osa I: Työkalut ja diofantiset yhtälöt. Springer, 2007, s.589.
68. ^ ^{A b c} Henri Cohen: Numeroteoria. Osa I: Työkalut ja diofantiset yhtälöt. Springer, 2007, s.590.
69. ^ Henri Cohen: Numeroteoria. Osa I: Työkalut ja diofantiset yhtälöt. Springer, 2007, s.52.
70. ^ Henri Cohen: Numeroteoria. Osa I: Työkalut ja diofantiset yhtälöt. Springer, 2007, s.530.
71. ^ ^{A b} Henri Cohen: Numeroteoria. Osa I: Työkalut ja diofantiset yhtälöt. Springer, 2007, s.531.
72. ↑ Fred Diamond, Jerry Shurman: Ensimmäinen kurssi modulaarisissa muodoissa. Springer Science + Business Media New York, 4. painos, 2016, s.218.
73. ↑ Fred Diamond, Jerry Shurman: Ensimmäinen kurssi modulaarisissa muodoissa. Springer Science + Business Media New York, 4. painos, 2016, s.215-219.
74. ^ Benedict Gross, Winfried Kohnen, Don Zagier: Heegnerin pisteet ja L-funktioiden johdannaiset II . 278, 497-562, 1987, s. 499.
75. ^ ^{A b} Benedict Gross, Winfried Kohnen, Don Zagier: Heegnerin pisteet ja L-funktioiden johdannaiset II Matematiikka Ann. 278, 497-562, 1987, s. 498.
76. ↑ Fred Diamond, Jerry Shurman: Ensimmäinen kurssi modulaarisissa muodoissa. Springer Science + Business Media New York, 4. painos, 2016, s.246.
77. ↑ Fred Diamond, Jerry Shurman: Ensimmäinen kurssi modulaarisissa muodoissa. Springer Science + Business Media New York, 4. painos, 2016, s.238.
78. ^ ^{A b} Benedict Gross, Winfried Kohnen, Don Zagier: Heegnerin pisteet ja L-funktioiden johdannaiset II Matematiikka Ann. 278, 497-562, 1987, s. 503.
79. ^ Richard Borcherds: Gross-Kohnen-Zagier-lause korkeammissa ulottuvuuksissa. Duke Mathematical Journal, Vuosikerta 97, nro. 2, s. 219-233, 1999.
80. ^ Joseph H. Silverman: Elliptisten käyrien aritmetiikka. 2. painos, Springer, s. 331-332.
81. ^ Joseph H. Silverman: Elliptisten käyrien aritmetiikka. 2. painos, Springer, s.324.
82. ^ Joseph H. Silverman: Elliptisten käyrien aritmetiikka. 2. painos, Springer, s.333.
83. ^ Henri Darmon: Rationaaliset pisteet modulaarisissa elliptisissä käyrissä. Alueellinen konferenssisarja matematiikassa, American Mathematical Society, numero 101, s.6.
84. ^ Joseph H. Silverman: Elliptisten käyrien aritmetiikka. 2. painos, Springer, s.310.
85. ↑ Barry Mazur: Johdantoluento Euler Systemsistä. 2.
86. ↑ Barry Mazur: Johdantoluento Euler Systemsistä. S.3.
87. ^ Henri Darmon: Rationaaliset pisteet modulaarisissa elliptisissä käyrissä. Alueellinen konferenssisarja matematiikassa, American Mathematical Society, numero 101, s.35-36.
88. ^ Henri Darmon: Rationaaliset pisteet modulaarisissa elliptisissä käyrissä. Alueellinen konferenssisarja matematiikassa, American Mathematical Society, numero 101, s.36.
89. ^ Benedict H. Gross: Heegner huomauttaa . ${\ displaystyle X_ {0} (N)}$Julkaisussa: Modular Forms, Durham 1983, s. 87-105.
90. ^ ^{A b} Henri Darmon: Rationaaliset pisteet modulaarisissa elliptisissä käyrissä. Alueellinen konferenssisarja matematiikassa, American Mathematical Society, numero 101, s.38.
91. ^ ^{A b} Henri Darmon: Rationaaliset pisteet modulaarisissa elliptisissä käyrissä. Alueellinen konferenssisarja matematiikassa, American Mathematical Society, numero 101, s.40.
92. ^ Henri Darmon: Rationaaliset pisteet modulaarisissa elliptisissä käyrissä. Alueellinen konferenssisarja matematiikassa, American Mathematical Society, numero 101, s.40-41.
93. ^ Jan Hendrik Bruinier, Gerard van der Geer, Günter Harder, Don Zagier: Modulaaristen lomakkeiden 1-2-3. Luentoja kesäkoulussa Nordfjordeidissa, Norjassa, Springer-Verlag, Berliini / Heidelberg, s.69.
94. ^ Jan Hendrik Bruinier, Gerard van der Geer, Günter Harder, Don Zagier: Modulaaristen lomakkeiden 1-2-3. Luentoja kesäkoulussa Nordfjordeidissa, Norjassa, Springer-Verlag, Berliini / Heidelberg, s. 67–68.
95. ^ Jan Hendrik Bruinier, Gerard van der Geer, Günter Harder, Don Zagier: Modulaaristen lomakkeiden 1-2-3. Luentoja kesäkoulussa Nordfjordeidissa, Norjassa, Springer-Verlag, Berliini / Heidelberg, s.67.
96. ^ ^{A b} Jan Hendrik Bruinier, Gerard van der Geer, Günter Harder, Don Zagier: Modulaaristen lomakkeiden 1-2-3. Luentoja kesäkoulussa Nordfjordeidissa, Norjassa, Springer-Verlag, Berliini / Heidelberg, s.73.
97. ↑ Alexander J. Yee: Pi. In: numberworld.org/. 19. elokuuta 2021, käytetty 26. elokuuta 2021 . 
98. ↑ Pi -Challenge - Graubündenin ammattikorkeakoulun maailmanennätysyritys - Graubündenin ammattikorkeakoulu. Julkaisussa: University of Applied Sciences Graubünden - University of Applied Sciences Graubünden. Ammattikorkeakoulu Graubünden, käytetty 26. elokuuta 2021 . 
99. ^ ^{A b} Jan Hendrik Bruinier, Gerard van der Geer, Günter Harder, Don Zagier: Modulaaristen lomakkeiden 1-2-3. Luentoja kesäkoulussa Nordfjordeidissa, Norjassa, Springer-Verlag, Berliini / Heidelberg, s.84.
100. ^ Henri Cohen: Numeroteoria. Osa II: Analyyttiset ja modernit työkalut. Springer, 2007, s.223.
101. ^ Henri Cohen: Numeroteoria. Osa I: Työkalut ja diofantiset yhtälöt. Springer, 2007, s. 591-593.
102. ^ ^{A b} Henri Cohen: Numeroteoria. Osa I: Työkalut ja diofantiset yhtälöt. Springer, 2007, s.591.
103. ^ Henri Cohen: Numeroteoria. Osa I: Työkalut ja diofantiset yhtälöt. Springer, 2007, s.532.
104. ^ Henri Cohen: Numeroteoria. Osa I: Työkalut ja diofantiset yhtälöt. Springer, 2007, s.595.
105. ^ Henri Cohen: Numeroteoria. Osa I: Työkalut ja diofantiset yhtälöt. Springer, 2007, s. 592-593.
106. ^ Henri Cohen: Numeroteoria. Osa I: Työkalut ja diofantiset yhtälöt. Springer, 2007, s. 593-594.
107. ^ Henri Cohen: Numeroteoria. Osa I: Työkalut ja diofantiset yhtälöt. Springer, 2007, s.593.
108. ^ Henri Darmon: Rationaaliset pisteet modulaarisissa elliptisissä käyrissä. Alueellinen konferenssisarja matematiikassa, American Mathematical Society, numero 101, s.34-35.
109. ^ ^{A b} Henri Darmon: Rationaaliset pisteet modulaarisissa elliptisissä käyrissä. Alueellinen konferenssisarja matematiikassa, American Mathematical Society, numero 101, s.48.
110. ^ Henri Darmon: Rationaaliset pisteet modulaarisissa elliptisissä käyrissä. Alueellinen konferenssisarja matematiikassa, American Mathematical Society, numero 101, s.49.
111. ^ Hervé Jacquet, Robert P.Langlands: Automorphic Forms on GL (2). Lecture Notes in Mathematics, Vuosikerta 143, Springer-Verlag, Berliini / New York 1970.
112. ^ Henri Darmon: Rationaaliset pisteet modulaarisissa elliptisissä käyrissä. Alueellinen konferenssisarja matematiikassa, American Mathematical Society, numero 101, s.51.
113. ^ Henri Darmon: Rationaaliset pisteet modulaarisissa elliptisissä käyrissä. Alueellinen konferenssisarja matematiikassa, American Mathematical Society, numero 101, s.52.
114. ^ Henri Darmon, Shou-Wu Zhang (toim.): Heegner-pisteet ja L-sarjan sijoitus. Cambridge University Press, 2004, s. Xii.
115. ^ Henri Darmon, Shou-Wu Zhang (toim.): Heegner-pisteet ja L-sarjan sijoitus. Cambridge University Press, 2004, s. Xiii.